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Dans cette thèse, nous étudions les statistiques des valeurs extrêmes du modèle à énergies aléatoires généralisé (GREM) à deux niveaux en présence d'un champ magnétique aléatoire (CMA). Ce modèle généralise à la fois le modèle à énergies aléatoires (REM) avec un CMA dans [1,10] et le modèle GREM avec un champ magnétique déterministe dans [6]. L'objectif du présent ouvrage consiste à déterminer les statistiques des valeurs extrêmes d'un point de vue de la mécanique statistique. Plus précisément, nous étudions le maximum, l'entropie et l'énergie libre du modèle GREM avec CMA à deux niveaux, généralisant le comportement obtenu en [1,6]. Les résultats présentés dans cette thèse aident à éclaircir et à cerner l'influence du champ magnétique aléatoire sur l'ordre de grandeur du maximum, de l'entropie ainsi que de l'énergie libre. Les démonstrations du premier ordre du maximum et de l'entropie se base sur une application de la théorie des grandes déviations qui permet de réduire le problème à l'étude d'un GREM sans CMA sur un nombre diminué de configurations. Les techniques introduites dans cette thèse sont générales et s'étendent à l'étude du modèle GREM avec un CMA à plusieurs niveaux et de la marche aléatoire branchante (MAB) avec un CMA., In this doctoral thesis we study the extreme value statistics of the two level Generalized Random Energy Model (GREM) coupled with a random magnetic field. This model generalizes both the Random Energy Model (REM) combined with a random magnetic field in [1, 10] and that of the GREM in the presence of a uniform external field found in [6]. This dissertation aims to determine the extreme value statistics from a statistical mechanics perspective, specifically the maximum, entropy as well as free energy, generalizing the behavior found in [1, 6]. The results herein explain clearly the effects of the random magnetic field on the maximum’s order of magnitude, as well as that of entropy and of free energy. The proofs for the maximum and for the entropy rely greatly on an application of large deviation theory which reduces the problem to that of a GREM in the absence of the random magnetic field on a lesser amount of configurations. The methods introduced in this thesis are general and extend to the k-level GREM in the presence of a random magnetic field and to the Branching Random Walk Model (BRM) coupled with a random magnetic field.

The experimental work developed during this PhD is situated at the interface of two fields of condensed matter physics, namely spin glasses and mesoscopic physics. Spin glasses have been widely studied and are one of the problem that has been the most discussed over the years, both on a theoretical and experimental point of view. This state is characterized by very peculiar properties that come to light as it exhibits a magnetic phase transition at low temperatures that is already unusual. Indeed, this transition is due to a mix of frustration and disorder in the magnetic structure of the system, making it an exceptional model system for glasses and frustrated systems in general. After many efforts, theoreticians managed to described the fundamental state of the system by the mean of two different and apparently incompatible approaches. The first one, called RSB theory, is based on a mean-field approximation and predicts a complex phase space with an unconventional hierarchical organization. The second is based on more phenomenological approach and is named Droplet theory. It points towards a unique ground state and explain all the observation by slow relaxation processes. However, the question of the true nature of the spin glass phase is still heavily debated. Mesoscopic physics, for its part, addresses the question of electronic transport for samples in which the electrons keep their phase coherence. If the electrons remains coherent, it is possible to see interference effects that are quantum signs of what happens at the atomic level. In this work, it is used to probe the magnetic and static disorder in spin glasses. Indeed, it is possible to interpret the change in those interferences as changes in the microscopic disorder configuration and to know exactly how the spin glass state evolves. Some work have already tried to use coherent transport in spin glasses but this remains an open field. This work has then be dedicated to the implementation of transport measurement in spin glasses and mesocopic conductors. The first part will be focused on a the experimental setup that was used to perform very precise transport measurements and on the processing of the data taken out of them. In a second part, we will present some general physical characteristics of our samples such as their resistance dependence to the temperature or magnetic field, before extracting the quantum signature in magnetoresistance measurements. Finally, we will discuss the results obtained. We show that strong changes in the microscopic disorder happen even at low temperatures, in opposition to what is believed. We argue that those observed changes are purely structural and come from systems that are widely distributed in energy.; Le travail expérimental développé pendant cette thèse se situe à l'interface de deux champs en physique de la matière condensée, à savoir les verres de spins et la physique mésoscopique. Les verres de spins ont été largement étudié et font partie des problèmes les plus débattus au cours des années tant d'un point de vue expérimental que théorique. Cet état est caractérisé par des propriétés très particulières qui se font jour lors d'une transition de phase magnétique à très basses températures qui est elle-même inhabituelle. En effet, cette transition est due à un mélange de frustration et de désordre dans la structure magnétique du système. Ce faisant, c'est un système modèle pour les verres et les systèmes frustrés en général. Après bien des efforts, des travaux théoriques ont réussi à décrire l'état fondamental du système au moyen de deux approches différentes et apparemment incompatibles. Cependant, la question de la vraie nature de la phase verre de spin reste grandement débattue.La physique mésoscopique, de son côté, traite du transport électronique dans les échantillons pour lesquels les électrons gardent leur cohérence de phase. Si les électrons restent cohérents, il est possible de voir des effets d'interférences qui sont des signes quantiques de ce qu'il se passe au niveau atomique. Dans cette thèse, il est utilisé pour sonder le désordre aussi bien magnétique que statique dans un verre de spins.Nous montrons que, contrairement à ce qui est cru, de forts changements se déroulent dans le désordre microscopique même à basses températures. Nous prétendons également que ces changements sont purement structuraux et viennent du fait de systèmes dont la distribution en énergie est très large.

The experimental work developed during this PhD is situated at the interface of two fields of condensed matter physics, namely spin glasses and mesoscopic physics. Spin glasses have been widely studied and are one of the problem that has been the most discussed over the years, both on a theoretical and experimental point of view. This state is characterized by very peculiar properties that come to light as it exhibits a magnetic phase transition at low temperatures that is already unusual. Indeed, this transition is due to a mix of frustration and disorder in the magnetic structure of the system, making it an exceptional model system for glasses and frustrated systems in general. After many efforts, theoreticians managed to described the fundamental state of the system by the mean of two different and apparently incompatible approaches. The first one, called RSB theory, is based on a mean-field approximation and predicts a complex phase space with an unconventional hierarchical organization. The second is based on more phenomenological approach and is named Droplet theory. It points towards a unique ground state and explain all the observation by slow relaxation processes. However, the question of the true nature of the spin glass phase is still heavily debated. Mesoscopic physics, for its part, addresses the question of electronic transport for samples in which the electrons keep their phase coherence. If the electrons remains coherent, it is possible to see interference effects that are quantum signs of what happens at the atomic level. In this work, it is used to probe the magnetic and static disorder in spin glasses. Indeed, it is possible to interpret the change in those interferences as changes in the microscopic disorder configuration and to know exactly how the spin glass state evolves. Some work have already tried to use coherent transport in spin glasses but this remains an open field. This work has then be dedicated to the implementation of transport measurement in spin glasses and mesocopic conductors. The first part will be focused on a the experimental setup that was used to perform very precise transport measurements and on the processing of the data taken out of them. In a second part, we will present some general physical characteristics of our samples such as their resistance dependence to the temperature or magnetic field, before extracting the quantum signature in magnetoresistance measurements. Finally, we will discuss the results obtained. We show that strong changes in the microscopic disorder happen even at low temperatures, in opposition to what is believed. We argue that those observed changes are purely structural and come from systems that are widely distributed in energy., Le travail expérimental développé pendant cette thèse se situe à l'interface de deux champs en physique de la matière condensée, à savoir les verres de spins et la physique mésoscopique. Les verres de spins ont été largement étudié et font partie des problèmes les plus débattus au cours des années tant d'un point de vue expérimental que théorique. Cet état est caractérisé par des propriétés très particulières qui se font jour lors d'une transition de phase magnétique à très basses températures qui est elle-même inhabituelle. En effet, cette transition est due à un mélange de frustration et de désordre dans la structure magnétique du système. Ce faisant, c'est un système modèle pour les verres et les systèmes frustrés en général. Après bien des efforts, des travaux théoriques ont réussi à décrire l'état fondamental du système au moyen de deux approches différentes et apparemment incompatibles. Cependant, la question de la vraie nature de la phase verre de spin reste grandement débattue.La physique mésoscopique, de son côté, traite du transport électronique dans les échantillons pour lesquels les électrons gardent leur cohérence de phase. Si les électrons restent cohérents, il est possible de voir des effets d'interférences qui sont des signes quantiques de ce qu'il se passe au niveau atomique. Dans cette thèse, il est utilisé pour sonder le désordre aussi bien magnétique que statique dans un verre de spins.Nous montrons que, contrairement à ce qui est cru, de forts changements se déroulent dans le désordre microscopique même à basses températures. Nous prétendons également que ces changements sont purement structuraux et viennent du fait de systèmes dont la distribution en énergie est très large.

This thesis deals with the development and application in statistical physics of a general framework for irreversible and rejection-free Markov-chain Monte Carlo methods, through the implementation of the factorized Metropolis filter and the lifting concept. The first two chapters present the Markov-chain Monte Carlo method and its different implementations in statistical physics. One of the main limitations of Markov-chain Monte Carlo methods arises around phase transitions, where phenomena of dynamical slowing down greatly impede the thermalization of the system. The third chapter introduces the new class of irreversible factorized Metropolis algorithms. Building on the concept of lifting of Markov chains, the factorized Metropolis filter allows to decompose a multidimensional potential into several unidimensional ones. From there, it is possible to define a rejection-free and completely irreversible Markov-chain Monte Carlo algorithm. The fourth chapter reviews the performance of the irreversible factorized algorithm in a wide variety of systems. Clear accelerations of the thermalization time are observed in bidimensional soft-particle systems, bidimensional ferromagnetic XY spin systems and three-dimensional XY spin glasses. Finally, an important reduction of the critical slowing down is exhibited in three-dimensional ferromagnetic Heisenberg spin systems.; Cette thèse porte sur le développement et l'application en physique statistique d'un nouveau paradigme pour les méthodes sans rejet de Monte-Carlo par chaînes de Markov irréversibles, grâce à la mise en œuvre du filtre factorisé de Metropolis et du concept de lifting. Les deux premiers chapitres présentent la méthode de Monte-Carlo et ses différentes applications à des problèmes de physique statistique. Une des principales limites de ces méthodes se rencontre dans le voisinage des transitions de phase, où des phénomènes de ralentissement dynamique entravent fortement la thermalisation des systèmes. Le troisième chapitre présente la nouvelle classe des algorithmes de Metropolis factorisés et irréversibles. Se fondant sur le concept de lifting des chaînes de Markov, le filtre factorisé de Metropolis permet de décomposer un potentiel multidimensionnel en plusieurs autres unidimensionnels. De là, il est possible de définir un algorithme sans rejet de Monte-Carlo par chaînes de Markov irréversibles. Le quatrième chapitre examine les performances de ce nouvel algorithme dans une grande variété de systèmes. Des accélérations du temps de thermalisation sont observées dans des systèmes bidimensionnels de particules molles, des systèmes bidimensionnels de spins XY ferromagnétiques et des systèmes tridimensionnels de verres de spins XY. Finalement, une réduction importante du ralentissement critique est exposée pour un système tridimensionnel de spins Heisenberg ferromagnétiques.

This thesis deals with the development and application in statistical physics of a general framework for irreversible and rejection-free Markov-chain Monte Carlo methods, through the implementation of the factorized Metropolis filter and the lifting concept. The first two chapters present the Markov-chain Monte Carlo method and its different implementations in statistical physics. One of the main limitations of Markov-chain Monte Carlo methods arises around phase transitions, where phenomena of dynamical slowing down greatly impede the thermalization of the system. The third chapter introduces the new class of irreversible factorized Metropolis algorithms. Building on the concept of lifting of Markov chains, the factorized Metropolis filter allows to decompose a multidimensional potential into several unidimensional ones. From there, it is possible to define a rejection-free and completely irreversible Markov-chain Monte Carlo algorithm. The fourth chapter reviews the performance of the irreversible factorized algorithm in a wide variety of systems. Clear accelerations of the thermalization time are observed in bidimensional soft-particle systems, bidimensional ferromagnetic XY spin systems and three-dimensional XY spin glasses. Finally, an important reduction of the critical slowing down is exhibited in three-dimensional ferromagnetic Heisenberg spin systems., Cette thèse porte sur le développement et l'application en physique statistique d'un nouveau paradigme pour les méthodes sans rejet de Monte-Carlo par chaînes de Markov irréversibles, grâce à la mise en œuvre du filtre factorisé de Metropolis et du concept de lifting. Les deux premiers chapitres présentent la méthode de Monte-Carlo et ses différentes applications à des problèmes de physique statistique. Une des principales limites de ces méthodes se rencontre dans le voisinage des transitions de phase, où des phénomènes de ralentissement dynamique entravent fortement la thermalisation des systèmes. Le troisième chapitre présente la nouvelle classe des algorithmes de Metropolis factorisés et irréversibles. Se fondant sur le concept de lifting des chaînes de Markov, le filtre factorisé de Metropolis permet de décomposer un potentiel multidimensionnel en plusieurs autres unidimensionnels. De là, il est possible de définir un algorithme sans rejet de Monte-Carlo par chaînes de Markov irréversibles. Le quatrième chapitre examine les performances de ce nouvel algorithme dans une grande variété de systèmes. Des accélérations du temps de thermalisation sont observées dans des systèmes bidimensionnels de particules molles, des systèmes bidimensionnels de spins XY ferromagnétiques et des systèmes tridimensionnels de verres de spins XY. Finalement, une réduction importante du ralentissement critique est exposée pour un système tridimensionnel de spins Heisenberg ferromagnétiques.

This thesis deals with the dynamical nature of the glass transition. In a first part, we study a class of mean field spin glass models. We show that the nature of the spin glass transition, either continue with full replica symetry breaking or structural with one step replica symetry breaking, can be infered directly from the density of eigenvalues of the coupling matrix, and more precisely from its behavior around its largest eigenvalue, that is to say the one with lowest energy. The dynamical transition corresponding to the appearence of a very large number of metastable states, we study their number in the generalized random orthogonal model, which is a kind of Hopfield model with extensive number of patterns but where the patterns are strictly orthogonals. We study the influence of pattern orthogonality on the number of one flip stable states. The analytical studies are complemented with numerical simulations. We carry out both the Monte Carlo simulations and exact enumerations on small systems which directly gives access to the equilibrium quantities or the number of one flip stable states with excellent agreement with analytical predictions.\\ In a second part, we study a model without disorder where the order parameter possesses $O(N)$ symmetry but where the ground states are not all equivalent. This model schematically describes the relaxation towards a cristalline or amorph state of a system of hard spheres colloids. We show that the amorphe state is favoured by the dynamics and we study the attraction bassin of both phases for the zero temperature dyanamics : analytically in the large $N$ limit and numerically when $N$ is finite.; Cette thèse s'interesse à la nature dynamique de la transition vitreuse. Dans une première partie, nous nous intéressons à une classe de modèles de verres de spins en champ moyen. Nous montrons que la nature continue -avec brisure complète de la symétrie des répliques- ou structurelle -avec brisure à un pas de la symétrie des répliques- de la transition vitreuse peut être prédite en regardant le spectre de la matrice des couplages et plus précisément la zone de ce spectre située au voisinage de la valeur propre la plus grande, c'est-à-dire correspondant à l'état d'énergie minimale. La transition dynamique correspondant à l'apparition d'une multitude d'états métastables, nous nous intéressons au nombre de ceux-ci dans le modèle orthogonal aléatoire généralisé, qui est un modèle analogue au modèle de Hopfield avec un nombre extensif de motifs, mais où les motifs sont strictement orthogonaux. Nous étudions l'influence de l'orthogonalité des motifs sur le nombre d'états 1-stables (états stables par retournement d'un spin quelconque). Les études analytiques précédentes par la méthode des répliques sont appuyées par des simulations numériques. Nous réalisons à la fois des simulations Monte-Carlo et des énumérations exactes sur des petits systèmes qui permettent d'obtenir les grandeurs thermodynamiques d'équilibre ou le nombre d'états 1-stables en excellent accord avec les prédictions analytiques.\\ Dans une deuxième partie, nous étudions un modèle sans désordre dont le paramètre d'ordre possède la symétrie $O(N)$ et dont les états fondamentaux ne sont pas tous équivalents. Ce modèle décrivant de manière schématique l'évolution vers une phase cristallisé ou amorphe d'un système de colloïdes de sphéres dures. Nous montrons que l'état amorphe est favorisé par la dynamique. Nous étudions alors les bassins d'attraction de chaque phase pour la dynamique à température nulle : analytiquement à la limite où $N$ est grand, et numériquement lorsque $N$ est fini.

In the present Ph.D. dissertation I present results concerning disordered and frustrated models of relevance in statistical mechanics and in combinatorial optimization. As an application of spin glass theory I study the disordered and frustrated Blume-Emery-Griffiths model. The model is treated in its mean-field approximation using replicas. Within the Ansatz of replica-symmetry, I present a complete numerical solution; I also discuss effects of replica symmetry breaking. The stability of the RS solution is studied and the regions of instability inferred. The phase diagram exhibits first and second order transitions. The tricritical point is still present in the frustrated model, in agreement with former work. A version of the BEG model with disordered chemical potential is also studied. The calculations confirm that the disorder decreases the tricritical temperature. Next, I consider the graph partitioning problem, a combinatorial optimization problem, which, from the point of view of statistical mechanics is a spin glass model with the constraint of zero magnetisation. I focus on the statistical properties of low energy solutions generated by "heuristic" algorithms designed to solve such hard combinatorial optimization problems. Several heuristics proposed to solve this problem were implemented. Scaling laws are obtained; in particular, the average cost and its variance grow linearly with the number of vertices of the graphs. As a consequence the cost found by the heuristics is self-averaging. I suggest that this property is quite general, valid for random solutions, quasi-optimal solutions, and probably for the optimum solutions, too. Furthermore a ranking method is proposed and illustrated on an ensemble of graph partitioning problems. This ranking procedure takes into account the quality of the solution as well as the time necessary to find that solution. In the third part of this dissertation I study in detail the zero-temperatures properties of spin glasses on sparse random graphs with fixed connectivity. Spin glasses on these graphs may be considered as a more realistic approximation to real spin glasses as represented by the model of Sherrington and Kirkpatrick. I have designed a new algorithm for finding low energy states. Second, I present a method for deriving the ground state energy from heuristic algorithms, even though they are not guaranteed to find the optimum. Third, I present a numerical test of a conjecture due to Banavar, Sherrington and Sourlas, giving the large volume energy density of the ground states as function of the connectivity. The distribution of the order parameter is found to be non-trivial, and I give evidence for the presence of ultrametricity for all values of the connectivity. These results confirm the expectation that the remarquable properties of the infinite range Sherrington-Kirkpatrick model carry over to more realistic models, as for example the spin glass model on random graphs with finite connectivity studied in the present work., Dans la présente thèse de doctorat je présente des résultats concernant des modèles désordonnés et frustrés venant de la physique statistique et de l'optimisation combinatoire. Comme application de la théorie des verres de spins, j'étudie le modèle de Blume, Emery et Griffiths désordonné et frustré. Ce modèle est traité dans l'approximation de champ moyen dans le cadre de la méthode des répliques A l'aide de l'Ansatz symétrique dans les répliques je présente une solution numérique complète puis je discute des effets de brisure de cette symétrie La stabilité de la solution symétrique a été Rudik et les régions instables identifiées Le diagramme de phase exhibe des transitions de premier et de second ordre. Le point tricritique persiste dans le modèle frustré, Ce qui est en accord avec des travaux antérieurs une version du modèle BEG avec un potentiel chimique désordonné a également été étudiée. les calculs confirment que le point tricritique apparaît à plus basse température quand il y a du désordre. Ensuite je considère le problème de la bipartition d'un graphe. Ce problème correspond du point de vue de la physique statistique h un verre de spins soumis h une contrainte d'aimantation totale nulle. je considère les propriétés statistiques des solutions de faible énergie engendrées par des algorithmes heuristiques. de tels algorithme sont en général conçus pour résoudre des problèmes d'optimisation combinatoire qui sont NP- difficiles. Plusieurs heuristiques ont 60 implémentées pour le problème de la bipartition de graphe. des lois d'échelle ont été obtenues : en particulier la moyenne et la variance du coût obéissent A une loi linéaire en N. Par conséquent le coût obtenu par des heuristiques est une quantité auto-moyennante. je suggère que cette propriété est générale valable aussi pour les solutions aléatoires pour les solutions quasi-optimales et pour les solutions optimales. En outre je propose une procédure pour comparer des algorithmes heuristiques. Cette procédure tient compte de la qualité de la solution aussi bien que du temps de calcul utilisé. Dans la troisième partie de ma thèse j'ai étudié en détail les propriétés h température nulle des verres de spins sur des graphes aléatoires lacunaires avec une coordination fixe. les verres de spins sur de tels graphes peuvent être considérés comme une approximation aux vrais verres de spins qui est plus réaliste que le modèle de Sherrington et Kirkpatrick. J'ai conçu un nouvel algorithme pour trouver les états fondamentaux. Aussi je teste numériquement une conjecture de Banavar, Sherrington et Sourlas qui donne la densité d'énergie du fondamental dans la limite de grande taille en fonction de la coordination. La distribution du paramètre d'ordre se révèle être non triviale et les données présentent une forte indication de la présence d'ultramétricité pour toutes les valeur de la coordination. Ces résultats confirment que les propriétés particulières des verres de spin, déduites an niveau de l'approximation de champ moyen dans le cadre du modèle de Sherrington et Kirkpatrick, sont aussi présentes pour des modèles plus réalistes comme les verres de spins sur des graphes aléatoires lacunaires avec une coordination fixe.