Concentration results on extreme value theory

Since univariate extreme value theory is essentially based on asymptotic theorems, the elaboration of adaptive estimation procedures or oracle inequalities is challenging. The purpose of this thesis is to show how the development of concentration inequalities in extreme value theory allows us to derive oracle type results. } The first chapter gathers the principal results on order statistics, extreme value theory and concentration theory. Chapters 2 and 3 represent a joint work with Stéphane Boucheron: the first chapter presents concentration inequalities for order statistics of a sample of random variables; the second chapter deals with the development of an adaptive version of the Hill estimator based on non asymptotic bounds of this estimator. Chapter 4 summarises the work done in collaboration with epidemiologists on the application of extreme value theory to the example of influenza epidemics.
La théorie statistique univariée des valeurs extrêmes repose essentiellement sur des théorèmes asymptotiques rendant délicate l'élaboration de procédures d'estimation adaptatives, voire d'inégalités oracle. Le but de cette thèse est de montrer comment le développement d'inégalités de concentration en théorie des valeurs extrêmes permet d'établir des résultats de type oracle. Le premier chapitre rappelle les résultats principaux concernant les statistiques d'ordre, la théorie univariée des valeurs extrêmes et la théorie de la concentration. Les trois prochains chapitres réunissent les trois articles écrits au cours de cette thèse. Les chapitres 2 et 3 présentent des travaux en collaboration avec Stéphane Boucheron : le premier propose des inégalités de concentration pour les statistiques d'ordre d'un échantillon de variables aléatoires ; le deuxième s'intéresse au développement d'une version adaptative de l'estimateur de Hill, après avoir établi des bornes non-asymptotiques pour cet estimateur. Le chapitre 4 est un travail en collaboration avec des épidémiologistes. Il consiste en une application de la théorie des valeurs extrêmes à l'exemple particulier des épidémies de grippe.