Estimation and tests in extreme value theory

This thesis is divided into three parts with an additional introduction. In the first part, we propose a smooth goodness-of-fit test for the Pareto distribution family. This test is based on LeCam's theory of local asymptotic normality (LAN). We establish the behaviour of our test statistic firstly under the null hypothesis that the sample follows a Pareto distribution and secondly under local alternatives using the LAN framework. We also expose some simulation results in order to study the finite sample behaviour of the test statistic. In the next chapter, we are interested in the topic of extreme value theory under random censoring. We propose an estimator of the two parameters of the generalized Pareto distribution based on the Newton-Raphson algorithm for which we establish the asymptotic normality. A simulation study illustrates its behaviour and also compares our estimator to the maximum likelihood estimator. In the last chapter, we deal with an autoregressive model adapted to the Gumbel distribution to take the dependence between maxima into account. We derive some theoretical properties of this model and present some simulation results in order to assess the quality of our model on finite samples. Finally, since this model is motivated by practical applications in atmospheric sciences, we fit it on daily and weekly maxima of carbon dioxide and methane.
Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.