Symplectic Geometry and Isomonodromic Deformations

In this thesis we study the natural symplectic geometry of moduli spaces of meromorphic connections (with arbitrary order poles) over Riemann surfaces. The aim is to understand the symplectic geometry of the monodromy data of such connections, involving Stokes matrices. This is motivated by the appearance of Stokes matrices in the theory of Frobenius manifolds due to Dubrovin, and in the derivation of the isomonodromic deformation equations of Jimbo, Miwa and Ueno.The main results of this thesis are:1) An extension to the meromorphic case of the infinite dimensional description, due to Atiyah and Bott, of the symplectic structure on moduli spaces of flat connections. This involves using an appropriate notion of singular $C^\infty$ connections and realises the natural moduli space of monodromy data as an infinite dimensional symplectic quotient.2) An explicit finite dimensional symplectic description of moduli spaces of meromorphic connections on trivial holomorphic vector bundles over the Riemann sphere. A similar description is given of certain extended moduli spaces involving a compatible framing at each pole; these are the phase spaces of the isomonodromic deformation equations.3) A proof that the monodromy map is a symplectic map. In other words the above two symplectic structures are related by the transcendental map taking meromorphic connections to their monodromy data. The analogue of this result in inverse scattering theory is well-known and was important in developing the quantum inverse scattering method.4) A symplectic description of the full family of Jimbo-Miwa-Ueno isomonodromic deformation equations. In modern language we prove that the isomonodromic deformation equations are equivalent to a flat symplectic Ehresmann connection on a symplectic fibre bundle. This fits together, into a uniform framework, all the previous results for the six Painlevé equations and Schlesinger's equations.5) Finally we look at the simplest case involving Stokes matrices in detail. We present a conjecture relating Stokes matrices to Poisson-Lie groups (which we prove in the simplest case) and also prove directly that in low-dimensional cases the Poisson structure on the local moduli space of semisimple Frobenius manifolds does arise from a Poisson-Lie group.; Dans cette thèse, nous étudions la géométrie symplectique naturelle des espaces de modules de connexions méromorphes (avec des pôles d'ordre arbitraire) sur les surfaces de Riemann. L'objectif est de comprendre la géométrie symplectique des données de monodromie/Stokes de telles connexions. Ceci est motivé par l'apparition de matrices de Stokes dans la théorie des variétés de Frobenius due à Dubrovin et dans la dérivation des équations de déformation isomonodromique de Jimbo, Miwa et Ueno.Les principaux résultats de cette thèse sont:1) Une extension au cas méromorphe de la description de dimension infinie, due à Atiyah et Bott, de la structure symplectique sur les espaces de modules de connexions plates. Pour faire ca on utilise une notion appropriée de connexions singulières $C^\infty$ et réalise l'espace de modules naturel des données de monodromie/Stokes comme un quotient symplectique à dimensions infinies.2) Description symplectique à dimensions finies explicite d'espaces de modules de connexions méromorphes sur des fibrés vectoriels holomorphes triviaux sur la sphère de Riemann. Une description similaire est donnée de certains espaces de modules étendus impliquant un cadrage compatible à chaque pôle; ce sont les espaces de phase des équations de déformation isomonodromique.3) Une preuve que l'application monodromie est une application symplectique. En d'autres termes, les deux structures symplectiques ci-dessus sont reliées par l'application transcendantale prenant des connexions méromorphes à leurs données de monodromie. L'analogue de ce résultat dans la théorie d'inverse scattering est bien connu et a joué un rôle important dans le développement de la méthode quantique d'inverse scattering.4) Description symplectique de la famille complète des équations de déformation isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno. En langage moderne, nous prouvons que les équations de déformation isomonodromique sont équivalentes à une connexion plate symplectique d'Ehresmann sur un fibrés non linéaire, de fibres symplectique. Cela généralise, dans un cadre uniforme, tous les résultats précédents pour les six équations de Painlevé et les équations de Schlesinger.5) Enfin, nous examinons en détail le cas le plus simple impliquant des matrices de Stokes. Nous présentons une conjecture reliant les matrices de Stokes à des groupes de Poisson-Lie (ce que nous prouvons dans le cas le plus simple) et prouvons directement que, dans les cas de petit dimension, la structure de Poisson sur l'espace des modules locaux des variétés semi-simples de Frobenius découle d'un groupe de Poisson-Lie.