Statistical analysis of new multivariate risk measures

Como consecuencia de que los reguladores necesitan gestionar el riesgo en los distintos sectores, se está extendiendo de forma rápida una metodología basada en el riesgo. En las últimas décadas, este problema ha sido tratado en su mayoría en una versión univariante. Sin embargo, los riesgos envuelven normalmente varias variables aleatorias que son a menudo dependientes. Por tanto, es crucial trabajar en un marco multivariante. Por otro lado, los fenómenos están caracterizados frecuentemente por eventos extremos. Esta tesis trata fundamentalmente dos problemas: la definición de medidas de riesgo en un marco multivariante y la estimatión de medidas de riesgo multivariantes teniendo en cuenta eventos extremos. El Capítulo 1 es un capítulo introductorio. Presentamos el estado del arte para la noción de medidas de riesgo multivariantes. También, recordamos los principales resultados en Teoría de Cópulas, Teoría de Valores Extremos y Órdenes Estocásticos que son útiles en este trabajo . Se introducen dos nuevas medidas de riesgo multivariantes en el Capítulo 2. Varias propiedades interesantes y, caracterizaciones bajo condiciones de cópulas Arquimedianas, se estudian para las medidas de riesgo propuestas. Además, se obtienen estimadores semiparamétricos para las nuevas medidas, y son ejempli_cados considerando datos simulados y un conjunto de datos real de seguros. El Capítulo 3 se centra en la estimación extrema no paramétrica de las medidas multivariantes propuestas en el Capítulo 2. Para este propósito, primero analizamos el comportamiento en la cola de las distribuciones condicionadas que de_nen dichas medidas. El principal resultado está constituido por el Teorema Central del Límite de los estimadores extremos. El rendimiento de los estimadores extremos se evalúa en datos simulados y para un conjunto de datos real de precipitaciones. El estudio de la medida de riesgo multivariante asociada con the Component-wise Excess(C.-E.) design realization dada por Salvadori et al. (2011) se enmarca en el Capí- tulo 4. Se obtiene la expresión explícita de la medida para cópulas Arquimedianas. Asimismo, se proporciona un procedimiento de estimación extrema para la C.- E. design realization. Se estudia el comportamiento asintótico de los estimadores propuestos. Finalmente, los estimadores para la C.- E. design realization se aplican en datos simulados y para un conjunto de datos real de una presa. As a consequence of the need for regulators to manage risk in various sectors, a riskbased methodology is undergoing a fast expansion. Over recent decades, this problem has been mostly addressed via a univariate approach. However, risks usually involve several random variables that are often non-independent. Therefore, it is crucial to work in a multivariate setting. On the other hand, phenomena are frequently characterized by extreme events. This thesis is fundamentally concerned with two problems: the de_nition of risk measures in a multivariate setting, and the estimation of multivariate risk measures by taking extreme events into account. Chapter 1 is an introductory chapter. We present the state-of-art of the notion of multivariate risk measures. The main results in Copula Theory, Extreme Value Theory, and Stochastic Orders, which are useful in this work, are also provided. Two new multivariate risk measures are introduced in Chapter 2. Several interesting properties and, characterizations under Archimedean copulas, are studied for the proposed risk measures. Furthermore, semi-parametric estimators for the new measures are obtained and are then exempli_ed considering simulated data and a real insurance data-set. Chapter 3 deals with the non-parametric extreme estimation procedure of the multivariate measures proposed in Chapter 2. For this purpose, we _rst analyse the tail behaviour of the conditional distributions that de_ne the aforementioned measures. The main result is given by the Central limit Theorem of the extreme estimators. The performance of the extreme estimators is evaluated in simulated data and for a real rainfall data-set. The multivariate risk measure associated with the Component-wise Excess (C.-E.) design realization given by Salvadori et al. (2011) is outlined in Chapter 4. The explicit expression of the measure for Archimedean copulas is obtained. In addition, an extreme estimation procedure for the C.-E. design realization is provided and the asymptotic behaviour of the proposed estimators is studied. Finally, the estimators for the C.-E. design realization are applied to simulated data and a real dam data-set.