The center-focus and ciclicity problems: an implementation of the Lyapunov method and the interpolation technique

The 16th Hilbert problem aims to determine the maximum number of isolated periodic solutions which a system of polynomial differential equations in the plane has. A first approach to this are the center-focus and ciclicity problems, which consist in identifying whether the origin of a system is a center or a focus and determining the maximum number of limit cycles, respectively. Here, we aim to study these problems for polynomial differential equations and this means to analyze the stability in a neighbourhood of a monodromic non-degenerate point. An essential mathematical object to deal with these issues are the Lyapunov quantities, which determine whether the origin is a center or a focus and its stability. El 16º problema de Hilbert tiene como objetivo determinar el número máximo de soluciones periódicas aisladas que tiene un sistema de ecuaciones diferenciales polinomiales en el plano. Una primera aproximación a esto son los problemas de enfoque central y de ciclicidad, que consisten en identificar si el origen de un sistema es un centro o un foco, y determinar el número máximo de ciclos límite, respectivamente. Aquí, nuestro objetivo es estudiar estos problemas para las ecuaciones diferenciales polinómicas y esto significa analizar la estabilidad en un entorno de un punto monodrómico no degenerado. Un objeto matemático esencial para hacer frente a estos problemas son las cantidades de Lyapunov, que determinan si el origen es un centro o un foco y su estabilidad.