Groupoïdes quantiques de transformations : une approche algébrique et analytique

This thesis is concerned with the construction of a family of quantum transformation groupoids in the algebraic framework in the form of measured multiplier Hopf *-algebroids in the sense of Timmermann and Van Daele and also in the context of operator algebras in the form of Hopf C*-bimodules on a C*-base in the sense of Timmermann. In the purely algebraic context, we first give a definition of a braided commutative Yetter-Drinfeld *-algebra over an algebraic quantum group in the sense of Van Daele and a Yetter-Drinfeld integral on it. Then, using these objects we construct a measured multiplier Hopf *-algebroid, we call to this new object an algebraic quantum transformation groupoid. In order to pass to the operator algebra framework, we give some conditions on the Yetter-Drinfeld integral inspired by the properties of KMS-weights on C*-algebras which will allow us to use the Gelfand–Naimark–Segal construction to extend all the purely algebraic objects to the C*-algebraic level. At this level, we construct in a similar way to that used in the work of Enock and Timmermann, a new mathematical object that we call a C*-algebraic quantum transformation groupoid, which is defined using the language of Hopf C*-bimodules on C*-bases.
Cette thèse porte sur la construction d'une famille de groupoïdes quantiques de transformations qui dans le cadre algébrique sont des algébroïdes de Hopf de multiplicateurs mesurés au sens de Timmermann et Van Daele et qui dans le cadre des algèbres d'opérateurs sont des C*-bimodules de Hopf sur une C*-base au sens de Timmermann. Dans le contexte purement algébrique, nous définissons d'abord une algèbre involutive de Yetter-Drinfeld tressée commutative sur un groupe quantique algébrique au sens de Van Daele et une intégrale de Yetter-Drinfeld sur elle. En utilisant ces objets nous construisons après un algébroide de Hopf de multiplicateurs involutif mesuré, ce nouvel objet nous l'appellons groupoïde quantique algébrique de transformations.Pour être capables de passer au cadre des algèbres d'opérateurs, nous donnons des conditions sur l'intégral de Yetter-Drinfeld qui vont nous permettre d'utiliser la construction Gelfand–Naimark–Segal pour étendre tous nos objets purement algébriques en des objets C*-algébriques. Dans ce contexte, notre construction se fait d'une manière similaire à celle présentée dans le travail de Enock et Timmermann, nous obtenons un nouvel objet mathématique que nous appellons un groupoïde quantique C*-algébrique de transformations, qui est définit en utilisant le langage des C*-bimodules de Hopf sur une C*-base.