On the role of axial and transverse wall conduction in laminar counterflow parallel-plate heat exchangers with flat and corrugated plates

Counterflow parallel-plate heat exchangers are widely employed in the chemical, pharmaceutical, and food processing industries when a compact, flexible, liquid-to-liquid heat exchange system is required that does not entail high temperatures and pressures. Parallel-plate heat exchangers pack a very large surface area into a small volume and can be modified to suit different system requirements by simply changing the number and/or shape of the plates. In addition to being compact and flexible, they are relatively cheap and can be used with a wide range of fluids, including viscous and non-Newtonian liquids. However, analytical solutions to the equations governing the performance of parallel-plate heat exchangers are limited, and the design of these devices depends mainly on empirical correlations and numerical results. For the classical case of macro-heat exchangers axial wall conduction is usually neglected, but several studies have shown that this is not a good approximation in other cases, such as in polymer heat exchangers or in mini- and micro-devices. The main purpose of this thesis is to study the performance of laminar counterflow parallel-plate heat exchangers accounting for both axial and transverse wall conduction effects using a combined analytical and numerical approach. The analysis, carried out for constant property fluids, considers a fully developed laminar flow with moderately large Peclet numbers in the channels, so that Longitudinal conduction can be neglected in the fluids in first approximation. The analytical solution for the temperature field is expressed in terms of eigenfunction expansions involving infinite sets of both positive and negative eigenvalues. Based on previous results, the eigenfunctions are expressed in terms of Whittaker functions, leading to an analytical eigencondition that provides the eigenvalues numerically. A suitably defined orthogonality condition enables the determination of the expansion coefficients through an infinite system of linear equations, which must be truncated to a sufficiently large number of terms in order to obtain a numerical solution. The exact solution for the temperature field provides analytical expressions for the interfacial and bulk temperatures, local heat transfer rates, overall heat-transfer coefficient, Nusselt numbers, and outlet bulk temperature of both fluids. The development of the analysis is divided in three stages: 1. First, a simplified mathematical model that neglects axial conduction in the wall but includes the transverse wall thermal resistance is developed. In addition to the exact analytical solution, an approximate solution that retains only the first two terms in the eigenfunction expansion is presented. The approximate two-term solution, which still incorporates the effect of higher order modes through apparent temperature offsets introduced at the inlet/outlet sections, provides an accurate representation of the temperature field away from the thermal entry regions, thereby enabling simplified expressions for the wall and fluid bulk temperatures, local heat transfer rate, Nusselt numbers, and overall heat transfer coefficient. The parameters involved in the model are the normalized Peclet number ratio, the normalized fluid-to-fluid and wall-to-fluid conductivity ratios (the inverse of the latter being the dimensionless wall thermal resistance), and the dimensionless heat exchanger length. The analysis shows that when axial wall conduction is absent increasing the wall thermal resistance (either by increasing its thickness or decreasing its thermal conductivity) always reduces the heat exchanger effectiveness and increases the Nusselt number of the fluid with the lower heat-capacity flow rate, bringing it closer to its theoretical value for a constant heat flux boundary condition. Asymptotic expressions for nearly balanced heat exchangers are also obtained, which describe the transition from exponential to linear behavior of the lowest order eigenmode as the heat exchanger approaches the balanced condition. 2. Second, an extension to the previous model is developed to include the effect of small scale wall corrugations using a multi-scale asymptotic approach. The amplitude and wavelength of the corrugations are assumed to be comparable to each other, but small compared to the channel half-widths. On the small (i.e., wall corrugation) scale, the shear-induced flow of two Newtonian fluids that exchange heat trough a thin corrugated wall is studied numerically, retaining both transverse and longitudinal conduction effects in the heat conducting wall. The analysis shows that far from the wall the effect of the corrugations is equivalent to that of a thickened virtual plane surface with partial slip along the corrugations and an apparent wall thermal resistance which has to be obtained numerically. The thermal performance of heat exchangers with flat and corrugated walls is then compared from the point of view of the first and second laws of thermodynamics. In the particular case of steady laminar flow considered here the results show that for high conductive (e.g., metallic) walls the addition of the corrugations always lowers the apparent wall conductivity (or increases the apparent wall thermal resistance), whereas for low conductive (e.g., polymeric) walls the addition of the corrugations may lead to a slightly larger apparent wall conductivity (or lower wall thermal resistance) under certain flow conditions, particularly for relatively thick walls and large corrugation amplitudes. 3. Finally, a general model that includes both axial and transverse wall conduction effects in laminar counterflow parallel-plate heat exchangers is presented. The model involves the dimensionless wall thickness as an additional parameter. Conditions for neglecting axial wall conduction are established starting from an upper bound for the ratio of the amount of heat conducted axially by the wall to that convected downstream by the fluids. A criterion for neglecting axial wall conduction is then proposed by requiring that this ratio be small compared to unity. A parametric study of the eigenvalue/eigenfunction spectrum and of the performance of heat exchangers with varying degrees of axial wall conduction is then presented. As main outcome, the analysis confirms that when axial wall conduction plays a key role the effectiveness of the heat exchanger varies non-monotonously with the wall thermal conductivity, so that an optimum wall conductivity exists that maximizes heat exchanger efficiency. The analysis of the thermally developed regime provides approximate analytical expressions for the optimum wall conductivity that agree well with the exact values obtained with the model, particularly for moderately long heat exchangers, although the optimum ceases to exist when the wall becomes moderately thick. Spatial distributions of the interfacial and bulk fluid temperatures are presented, together with the corresponding interfacial and wall axial heat fluxes, and Nusselt numbers of both fluids, aiming to illustrate the transition between the different operating regimes with/withouth significant effects of axial/transverse wall conduction.
Los intercambiadores de placas planas con flujo en contracorriente son ampliamente utilizados en la industria química, farmacéutica y alimentaria cuando se necesita un sistema de intercambio de calor líquido-líquido que sea compacto, flexible y que no involucre altas presiones y temperaturas. Los intercambiadores de placas presentan una gran superficie de contacto en un volumen muy reducido y pueden ser modificados para ajustarse a diferentes requerimientos simplemente cambiando el número o la forma de las placas. Además de ser compactos y flexibles, también son relativamente económicos y pueden operar con un gran rango de fluidos, como líquidos viscosos o fluidos no Newtonianos. Las soluciones analíticas para las ecuaciones que definen el funcionamiento de los intercambiadores de placas son muy limitadas y el diseño de estos dispositivos depende principalmente de resultados empíricos y numéricos. Para el análisis de los intercambiadores de calor, en la mayoría de los casos se desprecia la conducción de calor axial en la pared, aunque estudios recientes han demostrado que ésta no es una buena aproximación en situaciones específicas como en intercambiadores poliméricos o en mini- y micro-dispositivos. El objetivo de ésta tesis es estudiar el funcionamiento de intercambiadores de placas con flujo en contracorriente incluyendo el efecto de la conducción axial y transversal en la pared a través de un enfoque combinado analítico y numérico. El análisis asume propiedades constantes para los fluidos, flujo laminar completamente desarrollado y números de Peclet moderadamente altos en los canales, de forma que se pueda ignorar el efecto de la conducción axial en los fluidos. La solución analítica para el campo de temperaturas se obtiene como una expansión en autofunciones incluyendo un conjunto infinito de autovalores positivos y negativos. De acuerdo con resultados previos, las autofunciones se expresan en términos de funciones de Whittaker, obteniendo una expresión analítica que permite obtener los autovalores numéricamente. Utilizando la condición de ortogonalidad apropiada para las autofunciones, los coeficientes de la expansión se calculan a través de un sistema infinito de ecuaciones lineales que debe ser truncado a un número suficientemente grande de términos para obtener una solución numérica del problema. La solución para el campo térmico proporciona expresiones analíticas para las temperaturas de los fluidos y las temperaturas de las interfases fluido-pared, los flujos de calor locales, el coeficiente global de transferencia de calor, los números de Nusselt y las temperaturas medias de salida de ambos fluidos. El desarrollo del análisis se divide en tres etapas: 1. En primer lugar, se desarrolla un modelo simplificado que desprecia la conducción axial en la pared pero incluye la resistencia térmica transversal. Junto con la solución exacta, se presenta una solución aproximada que conserva solo los dos primeros términos en la expansión de autofunciones. La solución aproximada de dos términos incorpora el efecto de los modos de orden superior especificando los saltos de temperatura aparentes que aquellos inducen en las secciones de entrada y salida. La solución aproximada proporciona una representación satisfactoria para el campo térmico en la zona alejada de las regiones de entrada, proporcionando de esta manera expresiones aproximadas para las temperaturas medias de los fluidos, las temperaturas interfaciales fluido-pared, los flujos de calor locales, los números de Nusselt y el coeficiente global de transferencia de calor. Los parámetros adimensionales que aparecen en este modelo son el cociente normalizado de los números de Peclet, las relaciones normalizadas de conductividades fluido-fluido y pared-fluido (cuya inversa resulta ser la resistencia térmica de la pared), y la longitud adimensional del intercambiador. Como resultado del análisis se concluye que, en ausencia de conducción axial en la pared, un incremento en la resistencia térmica de la pared (bien sea por aumentar su espesor o reducir su conductividad) siempre conduce a una reducción de la efectividad del intercambiador y a un incremento del número de Nusselt del fluido con menor flujo de capacidad calorífica, acercándolo al valor teórico correspondiente a la condición de contorno de flujo de calor constante a través de la pared. Por último se presenta un análisis asintótico para intercambiadores de calor casi-equilibrados que proporciona expresiones analíticas aproximadas para dicho régimen de operación. 2. En segundo lugar, se extiende el modelo desarrollado en el punto anterior para incluir el efecto de pequeñas corrugaciones en la pared utilizando un enfoque asintótico multiescala. Específicamente, se supone que la amplitud y la longitud de onda de las corrugaciones, ambas del mismo orden, son pequeñas comparadas con el ancho del canal. En la escala pequeña (es decir, la corrugación de la pared), se estudia el flujo de cortadura de dos fluidos Newtonianos que intercambian calor a través de una pared corrugada incluyendo efectos de conducción transversal y longitudinal en la pared. El análisis demuestra que lejos de la pared el efecto de las corrugaciones es equivalente a una placa plana con un espesor aparente, una resistencia térmica aparente y con deslizamiento parcial a lo largo de las corrugaciones. La comparación de las actuaciones de intercambiadores con paredes planas y corrugadas se presenta desde el punto de vista del primer y el segundo principio de la termodinámica. En el caso particular de flujo laminar estacionario considerado en este trabajo, se concluye que en paredes muy conductoras (como las metálicas) la presencia de las corrugaciones siempre produce una reducción en la conductividad aparente de la pared (incremento de la resistencia térmica de la pared). Sin embargo, en paredes poco conductoras (como las poliméricas) la presencia de las corrugaciones puede producir una ligera mejora en la conductividad aparente de la pared (disminución de la resistencia térmica de la pared) para condiciones de flujo específicas, particularmente con paredes gruesas y corrugaciones de gran amplitud. 3. Finalmente, se presenta un modelo general para intercambiadores de calor de placas planas con flujo en contracorriente que incluye tanto la resistencia térmica transversal como la conducción axial en la pared. Este modelo involucra el espesor adimensional de la pared como un nuevo parámetro relevante. Como resultado destacado, se analiza bajo qué condiciones es posible despreciar el efecto de la conducción axial. Para ello se establece una cota superior para el cociente entre el flujo de calor axial en la pared y el flujo de calor convectado aguas abajo por los fluidos, lo que conduce a un criterio que permite despreciar la conducción axial cuando dicho cociente es mucho menor que la unidad. Los resultados del modelo confirman que cuando la conducción axial es importante la efectividad del intercambiador varía de forma no monótona con la conductividad térmica de la pared, existiendo una conductividad optima que maximiza la efectividad del intercambiador. En concreto, el análisis del flujo térmicamente desarrollado proporciona expresiones aproximadas para la conductividad óptima que comparan bien con los resultados exactos del modelo para cambiadores suficientemente largos. Por último se presentan las distribuciones espaciales de las temperaturas interfaciales fluido-pared, las temperaturas medias de los fluidos, los flujos de calor transversal y axial en la pared, y los números de Nusselt de los dos fluidos, todo ello con la finalidad de ilustrar la transición entre los distintos regímenes con o sin efectos de la conducción axial.
Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería Mecánica y de Organización Industrial
Presidente: Amable Liñán Martínez.- Secretario: Luis Francisco López Bonilla.- Vocal: Gian Luca Morini