The Cauchy problem in general relativity

Die Einstein’schen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie können unter bestimmten Umständen als ein Anfangswertproblem formuliert werden. Auf diese Weise wird die enge Verbindung zwischen der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Theorie der hyperbolischen Differentialgleichungen sichtbar. Durch die Formulierung der Feldgleichungen als ein Cauchy Problem wird klar, dass die Anfangswerte nicht beliebig gew¨ahlt werden können, sondern gewissen Einschränkungen unterworfen sind. Am Ende stehen nicht-lineare partielle Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. Es zeigt sich weiters, dass die Existenz einer maximalen Entwickung eines Cauchy-Problems in der allgemeinen Relativitätstheorie aufgrund von Nichteindeutigkeiten der Lösungen schwierig zu beweisen ist. So muss man sich let- zten Endes auf eine bestimmte Klasse von Entwicklungen beschränken, um zu einer maximalen und eindeutigen Entwicklung zu kommen. Es ist also möglich, bei gegebenen Anfangswerten, die Existenz einer maximalen gobalen hyperbolischen Entwicklung zu zeigen. In dieser Masterarbeit wird gezeigt wie man das Cauchy Problem der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Problem der Lösung von hyperbolischen Differentialgleichungen reduzieren kann (Kapitel 1). Danach wird die Eindeutigkeit/Existenz der Lösung von symmetrischen hyperbolischen Systemen bewiesen und anschließend deren Verbindung zu linearen Wellengleichungen. Danach wird die Eindeutigkeit/Existenz der Lösung von nichtlinearen Wellengleichungen gezeigt (Kapitel 2) und dies auf Mannigfaltigkeiten mit Lorentz-Signaltur erweitert. An Ende wird der Beweis zur Existenz einer maximalen globalen hyperbolischen Entwicklung erläutert (Kapitel 3).
Einstein’s field equations can be, under suitable boundary conditions, formulated as an initial value problem. In this way one can see the strong relation between Einstein’s general theory of relativity and the theory of hyperbolic PDE’s. By the formulation of Einstein’s equation as an IVP it became clear that the initial data cannot be chosen freely, they have to fulfill some constraints. This also leads to non-linear PDE’s on manifolds. It turns out that it is not trivial to show the existence of a maximal development due to the fact that it is not unique. To handle this problem one has to restrict to a specific class of developments in order to get a maximal and unique development. With given initial data, it is possible to show that there is a unique maximal globally hyperbolic development (MGHD). In this Master’s thesis we show how one can reduce the Cauchy problem in General Relativity to that of solving a system of hyperbolic differential equations. Next we prove the existence and uniqueness of a solution for symmetric hyperbolic systems and make the connection to linear wave equations (Chapter 1). Afterwards the existence and uniqueness of a solution to non-linear wave equations is shown (Chapter 2), which then is extended to manifolds of Lorentzian signature. At the end there is a proof for the existence of a maximal globally hyperbolic development (Chapter 3).