О корректных нелокальных обобщенных теориях упругости

В работе рассмотрены нелокальные теории упругости, включая модели сред с полями дефектов, градиентные теории упругости и гибридные нелокальные теории упругости. Проведен анализ градиентных теорий, исследованы признаки их корректности, построены прикладные теории, удовлетворяющие условиям корректности, приведено тестирование известных прикладных градиентных теорий на свойства корректности. Развита новая нелокальная обобщенная теория, для которой оператор уравнений баланса представляется в виде произведения оператора равновесия классической теории упругости и оператора Гельмгольца. Показано, что такая теория является однопараметрической и единственной из класса гибридных моделей, строящихся по полной системе уравнений для сил и моментов. В отличие от классической упругости, в которой нет масштабных параметров, характеризующих внутреннюю структуру материала, в нелокальных теориях упругости такие параметры появляются естественным образом. Поэтому они подходят для моделирования масштабных эффектов и находят применение при решении многочисленных прикладных задач для неоднородных структур с развитой границей раздела фаз, где степень влияния масштабных эффектов связана плотностью межфазных границ. Особенно привлекательными нелокальные модели сплошных сред являются при моделировании свойств различных микро/наноструктур, упругих свойств композиционных материалов и структурированных материалов с субмикронными и наноразмерными внутренними структурами, в которых эффективные свойства в значительной степени определяются масштабными эффектами (эффектами ближнего взаимодействия когезии и адгезии). Обобщенные теории упругости даже для изотропных материалов включают много дополнительных физических постоянных, экспериментальное определение которых затруднено или вовсе не возможно. В связи с этим значительный интерес представляют прикладные теории с малым числом дополнительных физических параметров. Однако процесс редукции нелокальных теорий, имеющий цель уменьшить число дополнительных параметров, является не вполне тривиальным и может приводить к некорректным результатам. Целью данной работы является исследование свойств симметрии в градиентных теориях, анализ корректности градиентных теорий и развитие прикладных однопараметрических теорий упругости.
The paper discusses nonlocal theories of elasticity, including models of media with defect fields, gradient theories of elasticity and hybrid nonlocal theories of elasticity. Gradient theories are analyzed and their correctness characteristics are studied. Applied theories that satisfy the correctness conditions are developed and known applied gradient theories are verified for the correctness characteristics. A new nonlocal generalized theory has been developed for which the operator of the balance equation is represented as the product of the equilibrium operator of the classical theory of elasticity and Helmholtz operator. It is shown that this theory is one-parameter and the only representative of hybrid models constructed by a complete system of equations for forces and torques. Unlike classical elasticity that is free from scale parameters characterizing the internal structure of the material, nonlocal theories of elasticity naturally incorporate these parameters. That is why they are suitable for the modeling of scale effects and find application in the solution of numerous applied problems for heterogeneous structures with developed phase interfaces where the degree of influence of scale effects is related to the density of phase boundaries. Nonlocal continuum models are especially attractive for modeling the properties of various micro/nanostructures, elastic properties of composite materials and structured materials with submicronand nanosized internal structures in which effective properties are to a great extent defined by scale effects (short-range interaction effects (cohesion) and adhesion). Generalized theories of elasticity even for isotropic materials contain many additional physical constants that are difficult or impossible to determine experimentally. Applied models with a small number of additional physical parameters are therefore of great interest. However, the reduction of nonlocal theories aimed at reducing the number of additional parameters is a nontrivial task and may lead to incorrect theories. The goal of this paper is to study the symmetry properties in gradient theories, to analyze the correctness of gradient theories and to develop applied one-parameter theories of elasticity.