Spectral analysis of infinite quantum graphs

Der Begriff „Quantengraph” bezeichnet einen Laplace-Differentialoperator auf einem metrischen Graphen (ein kombinatorischer Graph, dessen Kanten als Intervalle unterschiedlicher Länge aufgefasst werden). Dieses Konzept wurde von L. Pauling in den 1930er-Jahren eingeführt und fand zahlreiche Anwendungen in der Chemie, Physik und Biologie. Endliche Quantengraphen (d.h., der metrische Graph besitzt endlich viele Knoten und Kanten) wurden in den letzten Jahren intensiv studiert. Über die Eigenschaften von Quantengraphen auf unendlichen Graphen ist weniger bekannt und ein großer Teil der existierenden Literatur behandelt diese nur unter einer zusätzlichen geometrischen Annahme, der Existenz einer strikt positiven unteren Schranke für die Kantenlängen. Gleichzeitig ist jedoch bekannt, dass dies gewisse interessante Phänomene und spektrale Eigenschaften bereits ausschließt. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten der Spektraltheorie von unendlichen Quantengraphen. Besonderer Fokus liegt dabei auf unendlichen Graphen ohne zusätzliche geometrische Bedingungen und den besonderen Phänomenen, die in diesem Fall auftreten können. Der erste Teil der Arbeit widmet sich Spektralabschätzungen für den Kirchhoff Laplace-Operator. Wir definieren eine isoperimetische Konstante für unendliche Quantengraphen und beweisen eine Cheeger-Abschätzung. Dies ergibt insbesondere rein kombinatorische Bedingungen unter denen der Kirchhoff Laplace-Operator strikt positives oder rein diskretes Spektrum besitzt. Im zweite Teil studieren wir die isoperimetrische Konstante für den Spezialfall von planaren metrische Graphen näher. Motiviert durch ähnliche Konzepte für kombinatorische Graphen benützen dafür wir eine Krümmungsgröße. Im dritten Teil untersuchen wir radialsymmetrische Antibäume, eine spezielle Klasse von unendlichen Graphen mit besonderen Symmetrieeigenschaften. Wir analysieren grundlegende spektrale Eigenschaften und konstruieren Beispiele von Antibäumen, für die das absolutstetige Spektrum des Kirchhoff Laplace-Operators gleich der positiven Halbachse ist. Das Ziel des vierten Teils ist die Entwicklung grundlegender Erweiterungstheorie für den minimalen Kirchhoff Laplace-Operator. Unter der oben erwähnten geometrischen Annahme ist dieser Operator selbst-adjungiert und daher gibt es zu diesem Thema bisher nur wenige Resultate. Wir studieren den Zusammenhang zwischen selbst-adjungierten Erweiterungen und Graphenden, einem klassischen Randbegriff für unendliche Graphen, der unabhängig von Freudenthal und Halin eingeführt wurde. Dabei erhalten wir eine scharfe untere Abschätzung für die Defektindizes und eine geometrische Charakterisierung der Existenz einer eindeutigen markowschen Erweiterung. Der fünfte und letzte Teil stellt ein Komplement zum vorigen dar. Wir definieren den Gaffney Laplace-Operator im Kontext von unendlichen metrischen Graphen, beweisen Resultate im Zusammenhang mit seiner Abgeschlossenheit und finden unter der Verwendung von Graphenden eine explizite Formel für die Defektindizes des minimalen Gaffney Laplace-Operators.
A “quantum graph” is a Laplacian differential operator on a metric graph, that is a combinatorial graph where edges are identified with intervals of certain lengths. Introduced by L. Pauling in the 1930s, this concept has found various applications in chemistry, physics and biology. Finite quantum graphs (i.e., the metric graph has finitely many vertices and edges) are rather widely studied. On the other hand, less is known about quantum graphs on infinite metric graphs and in particular, a large part of the existing literature relies on an additional geometrical assumption, the existence of a uniform positive lower bound on the edge lengths. However, this is known to exclude certain interesting phenomena and spectral properties. The present thesis is concerned with several aspects of the spectral theory of infinite quantum graphs. Particular focus lies on infinite graphs without additional geometrical assumptions and the specific phenomena arising in this situation. The first part of the thesis is devoted to spectral estimates for the Kirchhoff Laplacian. We introduce a notion of an isoperimetric constant for infinite metric graphs and obtain a Cheeger-type estimate. This leads in particular to purely combinatorial criteria for the Kirchhoff Laplacian to have uniformly positive or discrete spectrum. The second part contains a study of the isoperimetric constant for tessellating metric graphs. Motivated by similar concepts in the setting of combinatorial graphs, this is carried out in terms of a curvature-like quantity. In the third part we investigate radially symmetric antitrees, a special class of infinite graphs with a high degree of symmetry. We perform a detailed spectral analysis and provide examples of antitrees for which the Kirchhoff Laplacian has absolutely continuous spectrum equal to the positive halfline. The goal of the fourth part is to develop basic extension theory for the minimal Kirchhoff Laplacian. The geometric standard assumption implies self-adjointness and hence there has been little prior work on this subject. In our approach, we study the connection between self-adjoint extensions and the notion of graph ends, an ideal boundary for infinite graphs introduced independently by Freudenthal and Halin. We obtain a sharp lower estimate on the deficiency indices and a geometric characterization of uniqueness of a Markovian extension. The fifth part can be seen as a complement to the previous. We introduce the Gaffney Laplacian on an infinite metric graph, prove results regarding its closedness and provide an explicit formula for the deficiency indices of the minimal Gaffney Laplacian in terms of graph ends.