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Computing Stieltjes constants using complex integration

Computing Stieltjes constants using complex integration

Authors :
Fredrik Johansson
Iaroslav V. Blagouchine
Lithe and fast algorithmic number theory ( LFANT )
Institut de Mathématiques de Bordeaux ( IMB )
Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux ( UB ) -Institut Polytechnique de Bordeaux ( Bordeaux INP ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux ( UB ) -Institut Polytechnique de Bordeaux ( Bordeaux INP ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Bordeaux - Sud-Ouest
Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria )
Université de Toulon - École d’ingénieurs SeaTech ( UTLN SeaTech )
Université de Toulon ( UTLN )
Lithe and fast algorithmic number theory (LFANT)
Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB)
Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Bordeaux - Sud-Ouest
Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)
Université de Toulon - École d’ingénieurs SeaTech (UTLN SeaTech)
Université de Toulon (UTLN)
Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1 (UB)-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1 (UB)-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Bordeaux - Sud-Ouest
Source :
Mathematics of Computation, Mathematics of Computation, American Mathematical Society, 2019, 88 (318), ⟨10.1090/mcom/3401⟩, Mathematics of Computation, 2019, 88 (318), ⟨10.1090/mcom/3401⟩
Publication Year :
2018
Publisher :
HAL CCSD, 2018.

Abstract

International audience; The generalized Stieltjes constants $\gamma_n(v)$ are, up to a simple scaling factor, the Laurent series coefficients of the Hurwitz zeta function $\zeta(s,v)$ about its unique pole $s = 1$. In this work, we devise an efficient algorithm to compute these constants to arbitrary precision with rigorous error bounds, for the first time achieving this with low complexity with respect to the order~$n$. Our computations are based on an integral representation with a hyperbolic kernel that decays exponentially fast. The algorithm consists of locating an approximate steepest descent contour and then evaluating the integral numerically in ball arithmetic using the Petras algorithm with a Taylor expansion for bounds near the saddle point. An implementation is provided in the Arb library. We can, for example, compute $\gamma_n(1)$ to 1000 digits in a minute for any $n$ up to $n=10^{100}$. We also provide other interesting integral representations for $\gamma_n(v)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,v)$, some polygamma functions and the Lerch transcendent.

Details

Language :
English
ISSN :
00255718
Database :
OpenAIRE
Journal :
Mathematics of Computation, Mathematics of Computation, American Mathematical Society, 2019, 88 (318), ⟨10.1090/mcom/3401⟩, Mathematics of Computation, 2019, 88 (318), ⟨10.1090/mcom/3401⟩
Accession number :
edsair.doi.dedup.....4b71429fcf4a679cc77e8865f1681c25
Full Text :
https://doi.org/10.1090/mcom/3401⟩