High-dimensional time series under long-range dependence and nonstationarity

This thesis is concerned with high-dimensional time series in the context of long-range dependence and nonstationarity. The first two parts concern the phenomenon of long-range dependence which can be characterized in the time domain as well as in the spectral domain. In the time domain, the temporal correlation decays power-like. Certain representations as a linear process can model such a behavior. The focus here is on deriving (functional) limit theorems for the sample mean and the sample autocovariances for vector-valued and Hilbert-space valued linear processes. In the spectral domain, the local Whittle estimator is studied with a special focus on a potential sparsity structure of the long-run variance and the precision matrix. The third part of this thesis pays attention to possibly nonstationary multivariate time series determined by a vector of deterministic functions and seeks for the number of linearly independent linear combinations which lead to stationarity over time.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit hochdimensionalen Zeitreihen unter Langzeitabhängigkeit und Nichtstationarität. Langzeitabhängigkeit kann sowohl im Zeit- also auch im Spektralbereich charakterisiert werden. Im Zeitbereich ist eine Möglichkeit Langzeitabhängigkeit zu modellieren eine Darstellung als linearer Prozess. Ein Teil der Arbeit befasst sich damit (funktionale) Grenzwertsätze für den empirischen Mittelwert und die empirischen Autokovarianzen von vektor- und Hilbertraum-wertigen linearen Prozessen unter Langzeitabhängigkeit herzuleiten. Im Spektralbereich wird der sog. "local Whittle"-Schätzer betrachtet. Es werden asymptotische Resultate für die Schätzer der "long-run variance" und der "precision" Matrix unter Berücksichtigung einer möglichen "sparsity"-Struktur hergeleitet. Der letzte Teil der Arbeit befasst sich mit nichtstationären, multivariaten Zeitreihen und der Suche nach Linearkombinationen der zugrundeliegenden Zeitreihe, die zu Stationarität führen.