Álgebra Lineal Lecciones de clase para docentes y estudiantes

El libro Álgebra lineal lecciones de clase para docentes y estudiantes es un recurso didáctico y pedagógico para los docentes quienes orientan la asignatura, lo cual se concreta en la forma como está escrito mediante lecciones desarrollo de clase que le permiten avanzar y cumplir con el contenido en un semestre académico de 16 semanas con una intensidad de 4 horas semanales. El texto incluye siete capítulos y tres apéndices. Se cubren las temáticas que usualmente se enseñan en un primer curso: sistemas de ecuaciones lineales, conceptos de geometría vectorial, matrices, espacios vectoriales, transformaciones lineales, formas canónicas de matrices simétricas y diagonalización. El libro fue evaluado por dos pares académicos quienes destacaron que es una obra original y loable para la Didáctica del Álgebra Lineal. Además, resaltaron que está bien estructurado, el desarrollo de la temática es riguroso, los contenidos se presentan organizados sistemáticamente a partir de la célula generadora de conocimientos de modo que se interconectan respetando un orden jerárquico; es completo y de fácil lectura. Asimismo, valoraron el esfuerzo de los autores por crear un texto de trabajo para el estudiante, donde el alumno no solo puede aprender cada tópico, sino que pone a prueba la comprensión del mismo una vez se enfrenta a los talleres de autorregulación, así como a las autoevaluaciones. También enfatizaron el hecho de llevar al estudiante a la generación de conocimientos mediante variados ejemplos, ejercicios y preguntas que les permitirá desarrollar o fortalecer habilidades matemáticas como: formular, modelar, interpretar y argumentar. CONTENIDO Presentación.......................................................................................................... 11 CAPÍTULO UNO.................................................................................................15 Sistemas de ecuaciones lineales...........................................................................16 1.1 Taller de autorregulación........................................................................17 1.2 Desarrollo de Clases ................................................................................19 1.2.1 La linea recta en plano (R2)..............................................................19 1.2.2 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables....................25 1.2.3 Sistema de m ecuaciones con n variables (m × n)...........................30 1.2.4 Matriz asociada de un sistema de ecuaciones lineales...................34 1.2.4.1 Operaciones elementales con renglones o filas..........................36 1.2.4.2 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales (m x n)........................................................................................................40 1.3 Taller de autoevaluación..........................................................................44 1.3.1 Línea recta y sistemas de ecuaciones lineales.................................44 1.3.2 Aplicaciones.......................................................................................47 1.3.3 Preguntas de argumentación ...........................................................50 CAPÍTULO DOS .................................................................................................51 Vectores, rectas y planos......................................................................................52 2.1 Taller de autorregulación........................................................................53 2.1.1 Vectores en R2....................................................................................53 2.1.2 Vectores en R3 y Rn...........................................................................54 2.1.3 Rectas y planos en R3........................................................................55 2.2 Desarrollo de clases..................................................................................56 2.2.1 Vector y sus elementos......................................................................56 2.2.2 Vectores en R y en R2........................................................................57 2.2.3 Coordenadas y vectores en R3 y Rn.................................................65 2.2.4 Ángulos y cosenos directores............................................................71 2.2.5 Igualdad y operaciones básicas con vectores en R2........................73 2.2.6 Combinación lineal en R2.................................................................81 2.2.7 Igualdad y operaciones básicas con vectores en R3 y Rn...............84 2.2.8 Combinación lineal, dependencia e independencia lineal en Rn..89 2.2.9 Producto escalar o producto punto .................................................95 2.2.10 Producto vectorial o producto cruz en R3...................................100 2.2.11 Rectas y planos en R3....................................................................108 2.2.11.1. Planos en R3............................................................................. 114 2.3 Taller de autoevaluación........................................................................120 2.3.1 Vectores............................................................................................120 2.3.2 Rectas y planos................................................................................121 2.3.3 Preguntas de argumentación .........................................................122 CAPÍTULO TRES.............................................................................................124 Matrices ..............................................................................................................125 3.1 Taller de autorregulación......................................................................126 3.2 Desarrollo de clases................................................................................128 3.2.1 Definición de matriz y matrices especiales ...................................128 3.2.1.1. Algunas matrices especiales.....................................................132 3.2.2 Igualdad de matrices, operaciones básicas y propiedades..........134 3.2.3 Transposición y producto de matrices ..........................................140 3.2.4 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices...................................145 3.2.5 Inversa de una matriz cuadrada....................................................147 3.3 Taller de autoevaluación........................................................................153 CAPÍTULO CUATRO ......................................................................................157 Determinantes ....................................................................................................158 4.1 Taller de autorregulación......................................................................159 4.2 Desarrollo de clases................................................................................160 4.2.1 Definición de determinante de una matriz cuadrada ..................160 4.2.2 Propiedades de los determinantes.................................................165 4.2.3 Determinantes fáciles de calcular..................................................167 4.2.4 Determinantes y operaciones elementales de renglón .................167 4.2.5 Determinantes, producto, adjunta e inversa ................................171 4.3 Taller de autoevaluación........................................................................175 CAPÍTULO CINCO..........................................................................................177 Espacios vectoriales reales.................................................................................178 5.1 Taller de autorregulación......................................................................179 5.2 Desarrollo de clases................................................................................180 5.2.1 Definición de espacio vectorial.......................................................180 5.2.2 Definición y caracterización de subespacios.................................185 5.2.3 Combinación lineal, espacio generado, dependencia e independencia lineal ..........................................................................................................189 5.2.4 Bases y dimensión ...........................................................................197 5.2.5 Cambio de base ...............................................................................203 5.2.6 Bases ortonormales y proceso de Gram–Schmidt........................207 5.2.6.1. Ortonormalización de Gram–Schmidt en subespacios de Rn ............................................................................................................209 5.2.7 Espacios fundamentales de una matriz.........................................209 5.3 Taller de autoevaluación........................................................................216 CAPÍTULO SEIS...............................................................................................218 Transformaciones lineales.................................................................................219 6.1 Taller de autorregulación......................................................................220 6.2 Desarrollo de clases................................................................................222 6.2.1 Definición de transformación lineal y propiedades básicas........222 6.2.2 Núcleo e imagen: espacios vectoriales de una transformación lineal ..........................................................................................................230 6.2.4 Representación matricial de una transformación lineal .............235 6.3 Taller de autoevaluación........................................................................241 CAPÍTULO SIETE............................................................................................243 Valores y vectores propios.................................................................................244 7.1 Taller de autorregulación......................................................................245 7.2 Desarrollo de clases................................................................................246 7.2.1 Definiciones básicas.........................................................................246 7.2.2 Diagonalización ...............................................................................252 7.2.3 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.........................255 7.2.4 Formas cuadráticas y secciones cónicas........................................258 7.2.4.1. Secciones cónicas y rotación de ejes........................................260 7.2.4.2. Secciones cónicas con rotación y traslación de ejes...............261 APÉNDICE A.....................................................................................................266 APÉNDICE B.....................................................................................................270 Números complejos............................................................................................271 B.1 Definición y operaciones con números complejos..............................271 B.2 Representación geométrica de z = a + bi ............................................274 B.3 Representación polar de z = a + bi ......................................................274 APÉNDICE C.....................................................................................................277 Matrices complejas ............................................................................................278 C.1 Definiciones y matrices especiales .......................................................278 Referencias..........................................................................................................280