Optimale Bahnverfolgung

This thesis investigates optimal trajectory tracking of nonlinear dynamical systems with affine controls. The control task is to enforce the system state to follow a prescribed desired trajectory as closely as possible. The concept of so-called exactly realizable trajectories is proposed. For exactly realizable desired trajectories exists a control signal which enforces the state to exactly follow the desired trajectory. This approach does not only yield an explicit expression for the control signal in terms of the desired trajectory, but also identifies a particularly simple class of nonlinear control systems. Systems in this class satisfy the so-called linearizing assumption and share many properties with linear control systems. For example, conditions for controllability can be formulated in terms of a rank condition for a controllability matrix analogously to the Kalman rank condition for linear time invariant systems. Furthermore, exactly realizable trajectories arise as solutions to unregularized optimal control problems. Based on that insight, the regularization parameter is used as the small parameter for a perturbation expansion. This results in a reinterpretation of affine optimal control problems with small regularization term as singularly perturbed differential equations. The small parameter originates from the formulation of the control problem and does not involve simplifying assumptions about the system dynamics. Combining this approach with the linearizing assumption, approximate and partly linear equations for the optimal trajectory tracking of arbitrary desired trajectories are derived. For vanishing regularization parameter, the state trajectory becomes discontinuous and the control signal diverges. On the other hand, the analytical treatment becomes exact and the solutions are exclusively governed by linear differential equations. Thus, the possibility of linear structures underlying nonlinear optimal control is revealed. This fact enables the derivation of exact analytical solutions to an entire class of nonlinear trajectory tracking problems with affine controls. This class comprises, among others, mechanical control systems in one spatial dimension and the FitzHugh-Nagumo model with a control acting on the activator. Die vorliegende Arbeit behandelt die optimale Bahnverfolgung in nichtlinearen dynamischen Systemen mit linear eingehender Kontrolle. Das Ziel der Kontrolle ist es, den Systemzustand so nah wie möglich entlang einer vorgeschriebenen Referenztrajektorie zu steuern. Das Konzept der sogenannten exakt realisierbaren Referenztrajektorie wird eingeführt. Für exakt realisierbare Referenztrajektorien existieren Kontrollsignale, welche den Zustand exakt entlang der gewünschten Trajektorie steuern. Dieser Zugang ergibt nicht nur einen Ausdruck für das Kontrollsignal als Funktion der Referenztrajektorie, sondern identifiziert auch eine besonders einfache Klasse von nichtlinearen Kontrollsystemen. Diese Klasse erfüllt die sogenannte Linearisierungsvorraussetzung und teilt viele Eigenschaften mit linearen Kontrollsystemen. Zum Beispiel kann die Kontrollierbarkeit dieser Klasse mithilfe einer Rangbedingung für eine Kontrollierbarkeitsmatrix analog zur Kalman'schen Rangbedingung für lineare zeitinvariante Systeme formuliert werden. Darüberhinaus ergeben sich exakt realisierbare Referenztrajektorien als Lösung unregularisierter optimaler Kontrollprobleme. Aufbauend auf diesem Resultat wird der Regularisierungsparameter als kleiner Parameter einer Störungsentwicklung benutzt. Dies führt zu einer Neuinterpretation optimaler Kontrollprobleme mit kleinem Regularisierungsparameter und linear eingehender Kontrolle als Systeme singulär gestörter Differentialgleichungen. Der kleine Parameter resultiert einzig und allein aus der Formulierung des Kontrollproblems und benötigt keine vereinfachenden Annahmen über die Systemdynamik. Kombiniert man diesen Ansatz mit der Linearisierungsvoraussetzung, ergeben sich teilweise lineare Näherungsgleichungen für die optimale Bahnverfolgung beliebiger Referenztrajektorien. Für einen verschwindenden Regularisierungsparameter ist der Zustand eine unstetige Funktion der Zeit und die Kontrolle divergiert. Andererseits jedoch sind die abgeleiteten Gleichungen exakt und ausschließlich linear. Hiermit wird die Möglichkeit zugrundeliegender linearer Strukturen in nichtlinearer optimaler Kontrolle aufgezeigt. Dies ermöglicht die Ableitung exakter analytischer Lösungen für eine ganze Klasse nichtlinearer Bahnverfolgungsprobleme mit linear eingehender Kontrolle. Diese Klasse umfasst unter anderem mechanische Kontrollsysteme in einer räumlichen Dimension sowie das FitzHugh-Nagumo Modell mit einer auf den Aktivator wirkenden Kontrolle.