Recollement sur les Espaces de Berkovich et Principe Local-Global

Field patching, introduced by Harbater and Hartmann, and extended by the aforementioned authors and Krashen, has recently seen numerous applications. We present an extension of this technique to the setting of Berkovich analytic geometry and applications to the local-global principle.In particular, we show that this adaptation of patching can be applied to Berkovich analytic curves, and as a consequence obtain local-global principles over function fields of curves defined over complete ultrametric fields. Because of the connection between the points of a Berkovich analytic curve and the valuations that its function field can be endowed with, one of these local-global principles is given with respect to completions, thus evoking some similarity with more classical versions. As an application, we obtain local-global principles for quadratic forms and results on the u-invariant. These findings generalize those of Harbater, Hartmann and Krashen.As a starting point for higher-dimensional patching in the Berkovich setting, we show that this technique is applicable around certain fibers of a relative Berkovich analytic curve. As a consequence, we prove a local-global principle over the germs of meromorphic functions on said fibers. By showing that said germs of meromorphic functions are algebraic, we also obtain local-global principles over function fields of algebraic curves defined over a larger class of ultrametric fields.; Le recollement sur les corps, introduit par Harbater et Hartmann, et étendu par ces auteurs et Krashen, a récemment trouvé de nombreuses applications. Nous présentons ici une extension de cette technique au cadre de la géométrie analytique de Berkovich et des applications au principe local-global.Nous montrons que cette adaptation du recollement peut s'appliquer aux courbes analytiques de Berkovich, et par conséquent obtenons des principes locaux-globaux sur les corps de fonctions de courbes définies sur des corps ultramétriques complets. Grâce à la connexion entre les points d'une courbe analytique de Berkovich et les valuations dont on peut munir son corps de fonctions, nous obtenons un principe local-global par rapport à des complétés du corps de fonctions considéré, ce qui présente une ressemblance avec des versions plus classiques. En application, nous établissons des principes locaux-globaux dans le cas plus précis des formes quadratiques et en déduisons des bornes sur l'u-invariant de certains corps. Nos résultats généralisent ceux de Harbater, Hartmann et Krashen.Comme point de départ pour le recollement en dimension supérieure dans un cadre d'espaces de Berkovich, nous montrons que cette technique peut s'appliquer autour de certaines fibres d'une courbe analytique relative. Nous l'utilisons ensuite pour démontrer un principe local-global sur les germes des fonctions méromorphes sur ces fibres. En montrant que ces germes de fonctions méromorphes sont algébriques, nous obtenons aussi des principes locaux-globaux sur les corps de fonctions des courbes algébriques définies sur une famille plus vaste de corps ultramétriques.