Global solutions for Navier-Stokes equations with chemotaxis effects and in thin domains

Orientador: Lucas Catao de Freitas Ferreira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese, analisamos dois problemas em dinâmica dos fluidos. O primeiro problema aborda o sistema de Keller-Segel acoplado com as equações de Navier-Stokes em $\mathbb{R}^{N}$, considerando dados iniciais em espaços de Besov-Morrey homogêneo crítico e a força em espaços de Morrey. Obtemos um resultado de boa-colocação usando um argumento de contração em um espaço crítico dependendo do tempo. A teoria desenvolvida aqui melhora resultados anteriores no sentido que ela permite considerar uma classe maior de dados iniciais, soluções e forças. Depois, mostramos que sob condições adicionais de homogeneidade nos dados iniciais e na força, a solução obtida é auto-similar. Além disso, mostramos que as soluções são assintoticamente estáveis sob pequenas perturbações nos dados iniciais, quando o tempo vai para o infinito. No segundo problema, consideramos as equações de Navier-Stokes no domínio fino $\mathbb{R}^{N-1}\times (0,\varepsilon)$, onde $N\geq2$ e $\varepsilon>0$ é a espessura do domínio. Usamos um espaço $\mathcal{PM}^{l_1,l_2}$ o qual é baseado na transformada de Fourier, contínua em $\mathbb{R}^{N}$, e periódica na última coordenada, e obtemos um resultado de boa-colocação global de soluções brandas para $\varepsilon$ suficientemente pequeno dependendo do tamanho do dado inicial que pode ser arbitrariamente grande no espaço ${\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$. E por último, são dadas condições sob as quais a solução é regular para $t>0$ e assim satisfazendo as equações no sentido clássico. Nossa abordagem permite considerar taxas de controle $\delta$ da espessura $\varepsilon$ próximas de 1, isto é, $\varepsilon\leq C\|u_0\|^{-\frac{1}{\delta}}_{\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$ com $00$ is the thickness of the domain. We use a space $\mathcal{PM}^{l_1,l_2}$ which is based on the Fourier transform, continuous in $\mathbb{R}^{N}$ and periodic in the $n$-th coordinate. We obtain a global well-posedness result for $\varepsilon$ sufficiently small depending on the initial data that can be arbitrarily large in the space ${\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$. Finally, we provide conditions for the solution to be regular when $t>0$ and then to satisfy the equations in the classic sense. Our approach allows us to consider control rates $\delta$ of the thickness close to 1, that is, $\varepsilon\leq C\Vert u_{0}\Vert^{-\frac{1}{\delta}}_{\mathcal{PM}^{l_1,l_2}}$, where $0