Über die Inversion einer Legendre'schen Integraltransformation und ihre Anwendung

Die mehrdimensionale Betrachtungsweise in der Theorie der Kugelfunktionen (vergl. Cl. Müller [5] ) führte zu einer klareren Herausstellung einer Reihe wesentlicher Eigenschaften dieser Funktionenklasse. Zahlreiche bisher nur im 2- oder 3-dimensionalen Euklidischen Raum vorhandene Ergebnisse konnten neu und der Struktur nach geschlossener bewiesen werden. Die grundlegenden Methoden zur Behandlung q-dimensionaler Kugelfunktionen lassen sich jedoch auch auf andere Funktionenklassen übertragen, und so sind unter anderem in der Theorie der Besselfunktionen - speziell bei den Kelvin-Funktionen (modifizierten Hankelfunktionen) - interessante Verallgemeinerungen bekannter Beziehungen möglich. Integraltransformationen, deren Kerne aus den klassischen orthogonalen Polynomen bestehen und die dem Typ nach der Abelschen Integralgleichung zugerechnet werden können, wurden in den vergangenen Jahren von mehreren Autoren [3,4] behandelt. Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit steht die Betrachtung einer Legendre-Typ-Integraltrans.furmation, deren Kern ein q-dimensionales Legendre'sches Polynom und dessen zugehörige Gewichtsfunktion ist. Im Gegensatz zu den oben erwähnten Veröffentlichungen gehört diese Integraltransformation aber bezüglich des betrachteten Integrationsintervalls zur Klasse der Weyl'schen Integralgleichungen. Diese Integraltransformation und ihre Umkehrung erlauben schließlich eine interessante Verallgemeinerung der klassischen Integraldarstellung für das Produkt von zwei Kelvin-Funktionen in q Dimensionen. Dazu wird ein Algorithmus benutzt, der eine Reihe von Beziehungen zwischen den Integralen einer Funktion über Hyperebenen und Integralen derselben Funktion über Kugeln in geeigneter Form miteinander verknüpft. Die Behandlung der beschriebenen Problemstellung erfordert der Struktur dieser Aufgaben entsprchende Techniken (Integrationen über mehrdimensionale Kugeln und komplexwertige Punktmengen, alternierende Differentialformen usw.), die in der vorhandenen Literatur teilweise nur vereinzelt angewendet wurden. Die vorliegende Arbeit ist auch als Beitrag zu diesem Fragenkreis gedacht. Neben zahlreichen speziellen Ergebnissen, die aus der Theorie der q-dimensionalen Kugelfunktionen und Legendre-Polynome hergeleitet werden müssen, spielt das folgende Integral $\int^{t}_{R} P_{n}(q,\frac{R}{r}) P_{n}(q,\frac{t}{r})(t^{2}-r^{2})^\frac{q-3}{2} (r^{2}-R^{2})^\frac{q-3}{2} r^{3-q}dr = $$\frac {\Big(\Gamma(\frac{q-1}{2})\Big)^{2}}{\Gamma (q-1)} 2^{q-3}(t-R)^{q-2}$ (I) eine zentrale Rolle auf dem Wege der Herleitung des Inversionsintegrals für die Legendre'sche Integraltransformation. Das Integral (I) ist die Verallgemeinerung des klassischen Integrals $\int^{t}_{R}$$\frac{T_{n}(\frac{R}{r})T_{n}(\frac{t}{r})}{\sqrt{(t^{2}-r^{2})(r^{2}-R^{2})}} rdr = \frac{\pi}{2}$ (II) [...]