Tight-binding approximation for bulk and edge electronic states in graphene

The tight-binding approximation is employed here to investigate electronic bulk and edge ('surface') states in semi-infinite graphene sheets and graphene monolayer ribbons with various edge terminations (zigzag, horseshoe, and armchair edges). It is shown that edge states do not exist for a uniform hopping (transfer) matrix. The problem is generalized to include edge elements of the hopping matrix distinct from the infinite-sheet ('bulk') ones. In this case, semi-infinite graphene sheets with zigzag or horseshoe edges exhibit edge states, while semi-infinite graphene sheets with armchair edges do not. The energy of the edge states lies above the (zero) Fermi level. Similarly, symmetric graphene ribbons with zigzag or horseshoe edges exhibit edge states, while ribbons with asymmetric edges (zigzag and horseshoe) do not. It is also shown how to construct the 'reflected' solutions (bulk states) for the intervening equations with finite differences both for semi-infinite sheets and ribbons. PACS Nos.: 73.22.Pr, 73.20.At, 61.48.Gh, 72.80.Vp. Nous utilisons l'approximation des liaisons fortes pour etudier les etats electroniques dans la masse et en surface (bordure) dans des feuilles semi-infinies de graphene et des rubans monocouches avec differentes terminaisons, de type zig-zag, fer a cheval ou chaise. Nous montrons que les etats de surface n'existent pas pour une matrice de transfert (hopping) uniforme. Le probleme est ici generalise pour inclure des elements de bordure de la matrice de transfert distincts de ceux de la feuille infinie (de masse). Dans ce cas, les feuilles semi-infinies avec bordures en zig-zag ou en fer a cheval ont des etats de surface, ce que n'ont pas ceux avec bordure de type chaise. L'energie des etats de bordure-surface est au dessus du niveau (zero) de Fermi. De meme, les rubans de graphene symetriques avec bordure de type zig-zag ou fer fi cheval ont des etats de surface, alors que ceux avec bordures asymetriques (zig-zag ou fer a cheval) n'en ont pas. Nous montrons egalement comment construire les solutions reflechies (dans la masse) pour les equations intervenantes aux differences finies, a la fois pour les feuilles semi-infinies et les rubans. [Traduit par le Redaction]
1. Introduction Because graphene occurs as small pieces, finite-size effects in graphene are relevant. We consider here graphene single-sheet ribbons with various edge terminations (zig-zag, horseshoe, or armchair edges). For [...]