Spatial and symmetry constraints as the basis of the virial theorem and astrophysical implications

By exploring diverse simple cases, we show that the virial theorem (VT) of Clausius rests on limits of integration in temporal averages being specified by spatial symmetry, rather than on long durations as heretofore claimed. We show the VT results from linear momentum cancelling in all directions over the restricted space that defines any given bound state, via a balance that involves canonical conjugate pairs of position and momentum; this constraint differs from conservation of energy or momentum. The importance of space is underscored by considering behavior of the ideal gas, which is time- independent. Because each distinct force induces a specific type of motion, which in turn has a characteristic length scale, separate VTs are required for each process, which we confirm by example. Combining unrelated potentials in the VT or in its underlying mathematical identity is invalid because this procedure, used in astrophysics, permits energy exchanges that violate selection rules, symmetry constraints, or thermodynamic law. Our analysis unearths an erroneous numerical factor concerning rotation, helps explain the origin of axial spin in our Solar System, and casts doubt on the historical link of gravitation with temperature. Key words: virial theorem, Lagrange-Jacobi identity, ideal gas, canonical conjugates. En examinant plusieurs cas simples, nous montrons que le theoreme du viriel (VT) de Clausius repose sur des limites finies d'integration de moyennes dans le temps basees sur des symetries spatiales, plutot que sur de longues durees comme generalement presente. Nous montrons que le moment lineaire s'annule dans toutes les directions sur un espace borne qui definit tout etat lie, en utilisant un equilibre qui implique la paire canonique conjuguee d'impulsion-position; cette contrainte est differente de celles basees sur la conservation de l'energie ou de l'impulsion. L'importance de l'aspect spatial est soulignee en considerant le comportement du gaz parfait, qui est independant du temps. Parce que chaque force distincte induit un mouvement different, qui a sa propre echelle de longueur caracteristique, differents VT sont requis pour chaque processus, ce que nous confirmons par un exemple. La combinaison de potentiels non relies dans le meme VT ou dans sa formulation mathematique est invalide, parce que cette procedure, utilisee en astrophysique, permet des echanges d'energie qui violent les regles de selection, les contraintes de symetrie ou les lois de la thermodynamique. Notre analyse fait ressortir des facteurs numeriques errones concernant la rotation, aide a expliquer l'origine du spin axial dans notre systeme solaire et jette un doute sur le lien historiquement fait entre la gravite et la temperature. [Traduit par la Redaction] Mots-cles: theoreme du viriel, formulation Lagrange-Jacobi, gaz parfait, canonique conjuguee. PACS Nos.: 11.27.+d, 05.70.-a.
1. Introduction The virial theorem (VT) of Clausius [1] describes diverse phenomena in bound, conservative systems whose scales range from quantum to astronomical [2-4]. Because Clausius was concerned with temperature [...]