Modelli Matematici per Cristalli Liquidi Cromonici

Questa tesi si occupa di una classe particolare di liotropici: i cristalli liquidi cromatici (CLCs). Essi in fase nematica godono della simmetria testa-coda, cioè sono materiali non chirali con una tendenza dei loro elementi costitutivi a raggrupparsi in modo da poter definire un direttore su scala mesoscopica che non ha polarità. Lo stato fondamentale dei cristalli liquidi nematici ordinari è raggiunto quando il direttore è uniforme nello spazio. Quando i CLCs sono confinati in capillari cilindrici con condizioni al contorno degeneri, si osserva che acquisiscono una configurazione non uniforme. In particolare, il loro stato fondamentale nel capillare cilindrico, spesso indicato come 'escaped twist' (ET), consiste in due configurazioni simmetriche di opposta chiralità, ognuna che si verifica con la stessa probabilità come ci si aspetta dalla mancanza di chiralità negli aggregati molecolari che costituiscono questi materiali. Nonostante la chiara indicazione che i CLCs nello spazio tridimensionale mostrano un comportamento diverso dai comuni cristalli liquidi nematici, la teoria di Oseen-Frank per i nematici è stata applicata per razionalizzare gli esperimenti con i capillari e quindi per determinare la configurazione dello stato fondamentale ET. Si tratta di una teoria variazionale che postula una densità di energia libera quadratica nel gradiente del direttore che penalizza tutte le distorsioni dall'allineamento uniforme. Classicamente vengono identificate quattro distorsioni, che corrispondono a quattro costanti elastiche indipendenti; si tratta delle costanti splay K_{11}, twist K_{22}, bend K_{33}, e saddle-splay K_{24}. Le disuguaglianze di Ericksen assicurano che la densità di energia di Frank sia positiva definita, e l'emergere spontaneo della chiralità non è concepibile quando sono valide. Così, la teoria elastica di Frank giustifica le configurazioni osservate dei CLCs sotto confinamento cilindrico solo se la disuguaglianza di Ericksen pertinente, K_{22}>=K
This dissertation is concerned with a peculiar class of lyotropics: chromatic liquid crystals (CLCs). Chromonics in the nematic phase enjoy the head-tail symmetry, that is, they are non-chiral materials with a tendency for their constitutive to bundle together so that a director can be defined at a mesoscopic scale which lacks polarity. The ground state of ordinary nematic liquid crystals is attained when the director is uniform in space. When CLCs are confined in capillary cylinders with degenerate boundary conditions that would be compatible with the uniform alignment of the director along the cylinder's axis, they are observed to acquire a nonuniform arrangement instead. Expecially, their ground state in cylindrical capillary, often referred to as escaped twist (ET) ground state, is two-fold; it consists of two symmetric twisted configurations (left- and right-handed), each variant occurring with the same likelihood, as was to be expected from the lack of chirality in the molecular aggregates that constitute these materials. Despite the clear indication that CLCs in three-dimensional space exhibit a different behavior from common nematic liquid crystals, the Oseen-Frank theory for nematics has been applied to rationalize the experiments with capillary tubes and so to determine the configuration of the ET ground state. This is a variational theory which posits a free energy density quadratic in the director gradient that penalizes all distortions of the director away from the unifom alignment. Four basic distortions are classically identified, which correspond to four independent elastic constants; these are the splay K_{11}, twist K_{22}, bend K_{33}, and saddle-splay K_{24} constants, which have recently been re-interpreted in a new light by Selinger. Ericksen's inequalities ensure that Frank's energy density is positive definite, and the spontaneous emergence of chirality in the nematic texture is not conceivable when they hold. Thus, Frank's elastic theory jus