Study of PDE-ODE Glioblastoma model with nonlinear diffusion and chemotaxis

This thesis is dedicated to modeling and analyzing mathematically the development of Glioblastoma. Thanks to considering the vasculature as an additional variable, it is possible to obtain more realistic mathematical models from the biological point of view and, in addition, to introduce the possibility of different types of tumor cell movement such as non-linear diffusion or chemotaxis related to the vasculature. In the Introduction (Chapter 1), we present the problem that we will studied in this thesis. We begin explaining the biological characteristics of Glioblastoma and we mention some studies made with real data and using mathematical models. Later, we design a general PDE-ODE model with nonlinear diffusion and chemotaxis detailing the modeling of the Glioblastoma effects. In addition, we present three models obtained from the general model, which we study in the different Chapters, with their main results. Finally, we will discuss the differences between the nonlinear diffusion and chemotaxis models and show some open problems. In Chapter 2, we study the PDE-ODE system with linear diffusion (and without chemotaxis) obtained as a simplification of the general Glioblastoma model introduced in Chapter 1. Mainly, we prove the existence and uniqueness of the global classical solution in time using a fixed point argument. Furthermore, we show some long-term behaviour results of the solution depending on some conditions in the parameters which appear in the model. In Chapter 3, we analyse a PDE-ODE model derived form the general one, which includes a nonlinear anisotropic diffusion term with a diffusion rate that increases relative to the vasculature and without chemotaxis. First, we prove the existence of global strong-weak solutions in time using a regularization technique through artificial diffusion in the ODE system and a fixed point argument. Furthermore, the long-term behaviour results of the critical points are given under some constraints on the parameters.
Esta tesis está dedicada a modelar y analizar matemáticamente el desarrollo del Glioblastoma. Gracias a considerar la vasculatura como una variable adicional, es posible obtener modelos matemáticos más realistas desde el punto de vista biológico y, además, introducir la posibilidad de diferentes tipos de movimiento de las células tumorales como la difusión no lineal o la quimiotaxis relacionadas con la vasculatura. En la Introducci´on (Capítulo 1), presentamos el problema que se estudiará a lo largo de la tesis. Comenzaremos explicando las características biológicas del Glioblastoma y mencionaremos algunos estudios realizados a trav´es de datos reales y usando modelos matemáticos. Posteriormente, diseñaremos un modelo general PDE-ODE con difusión no lineal y quimiotaxis detallando en la modelización, los efectos del Glioblastoma. Además, presentaremos tres modelos obtenidos a partir del modelo general, que estudiaremos en los diferentes Capítulos, con sus principales resultados. Por último, comentaremos las diferencias entre los modelos con difusiión no lineal y con quimiotaxis y mostraremos algunos problemas abiertos. En el Capítulo 2, estudiamos el sistema PDE-ODE con difusión lineal (y sin quimiotaxis) obtenido como una simplificación del modelo general de Glioblastoma introducido en el Capítulo 1. Principalmente, probamos la existencia y unicidad de la solución clásica global en el tiempo utilizando un argumento de punto fijo. Además, mostramos algunos resultados de comportamiento a largo plazo de la solución dependiendo de algunas condiciones sobre los par´ametros que aparecen en el modelo. En el Cap´ıtulo 3, analizamos un modelo PDE-ODE obtenido del general, que incluye un término de difusi´on anisotr´opica no lineal con una velocidad de difusión que aumenta con respecto a la vasculatura y no presenta quimiotaxis. Primero, probamos la existencia de soluciones débiles-fuertes globales en el tiempo utilizando una técnica de regularización a través de una difusió