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This Ph.D.thesis studies the Milnor fiber of a central complex hyperplane arrangement, and the monodromy operator on its cohomology groups. Our aim is to study the following open question: is it possible to determinate the monodromy operator, or at least the Betti numbers of the Milnor fiber, just using the information contained in the intersection lattice of the arrangement? We give two vanishing results on the non trivial eigenspaces of the monodromy. The first one applies to a large class of arrangements, and the second one to projective line arrangements with a line containing exactly one point of multiplicity greater or equal to three.Then we consider the mixed Hodge structure of the cohomology groups of the Milnor fiber, for a central and essential hyperplane arrangement in the complex space of dimension four. In this case, we give the equivalence between triviality of the monodromy, Tate properties, and nullity of the non integer spectrum's coefficients.Keywords: hyperplane arrangement, intersection lattice, Milnor fiber, monodromy.; Cette thèse étudie la fibre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans complexe central, et l'opérateur de monodromie sur ses groupes de cohomologie. On s'intéresse à la problématique suivante : peut-on déterminer l'opérateur de monodromie, ou au moins les nombres de Betti de la fibre de Milnor, à partir de l'information contenue dans le treillis d'intersection de l'arrangement? On donne deux théorèmes d'annulation des sous-espaces propres non triviaux de l'opérateur de monodromie. Le premier résultat s'applique à une large classe d'arrangements, le deuxième à des arrangements de droites projectives tels qu'il existe une droite contenant exactement un point de multiplicité supérieure ou égale à trois. Dans le dernier chapitre, on considère la structure de Hodge mixte des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor d'un arrangement central et essentiel dans l'espace complexe de dimension quatre. On donne ensuite l'équivalence entre la trivialité de la monodromie, la nullité des coefficients non entiers du spectre de l'arrangement, et la nullité des nombres de Hodge mixtes des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor.

One can easily give examples of rank 2 flat connections over $\mathbb{P}^2$ by rational pull-back of connections over $\mathbb{P}^1$. We give an example of a connection that can not occur in this way; this example is constructed from an algebraic solution of Painlev\'e VI equation. From this example we deduce a Hilbert modular foliation. The proof of this relies on the classification of foliations on projective surfaces due to Brunella, Mc Quillan and Mendes. Then, we get the dual foliation and, by a precise monodromy analysis, we see that our twice foliated surface is covered by the classical Hilbert modular surface constructed from the action of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}[\sqrt{3}])$ on the bidisc., Comment: 35 pages

Cette thèse traite de la classification analytique du déploiement de systèmes différentiels linéaires ayant une singularité irrégulière. Elle est composée de deux articles sur le sujet: le premier présente des résultats obtenus lors de l'étude de la confluence de l'équation hypergéométrique et peut être considéré comme un cas particulier du second; le deuxième contient les théorèmes et résultats principaux. Dans les deux articles, nous considérons la confluence de deux points singuliers réguliers en un point singulier irrégulier et nous étudions les conséquences de la divergence des solutions au point singulier irrégulier sur le comportement des solutions du système déployé. Pour ce faire, nous recouvrons un voisinage de l'origine (de manière ramifiée) dans l'espace du paramètre de déploiement $\epsilon$. La monodromie d'une base de solutions bien choisie est directement reliée aux matrices de Stokes déployées. Ces dernières donnent une interprétation géométrique aux matrices de Stokes, incluant le lien (existant au moins pour les cas génériques) entre la divergence des solutions à $\epsilon=0$ et la présence de solutions logarithmiques autour des points singuliers réguliers lors de la résonance. La monodromie d'intégrales premières de systèmes de Riccati correspondants est aussi interprétée en fonction des éléments des matrices de Stokes déployées. De plus, dans le second article, nous donnons le système complet d'invariants analytiques pour le déploiement de systèmes différentiels linéaires $x^2y'=A(x)y$ ayant une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ à l'origine au-dessus d'un voisinage fixé $\mathbb{D}_r$ dans la variable $x$. Ce système est constitué d'une partie formelle, donnée par des polynômes, et d'une partie analytique, donnée par une classe d'équivalence de matrices de Stokes déployées. Pour chaque valeur du paramètre $\epsilon$ dans un secteur pointé à l'origine d'ouverture plus grande que $2\pi$, nous recouvrons l'espace de la variable, $\mathbb{D}_r$, avec deux secteurs et, au-dessus de chacun, nous choisissons une base de solutions du système déployé. Cette base sert à définir les matrices de Stokes déployées. Finalement, nous prouvons un théorème de réalisation des invariants qui satisfont une condition nécessaire et suffisante, identifiant ainsi l'ensemble des modules., This thesis deals with the analytic classification of unfoldings of linear differential systems with an irregular singularity. It contains two papers related to this subject: the first paper presents results concerning the confluence of the hypergeometric equation and may be viewed as a particular case of the second one; the second paper contains the main theorems and results. In both papers, we study the confluence of two regular singular points into an irregular one and we give consequences of the divergence of solutions at the irregular singular point for the unfolded system. For this study, a full neighborhood of the origin is covered (in a ramified way) in the space of the unfolding parameter $\epsilon$. Monodromy of a well chosen basis of solutions around the regular singular points is directly linked to the unfolded Stokes matrices. These matrices give a complete geometric interpretation to the well-known Stokes matrices: this includes the link (existing at least for the generic cases) between the divergence of the solutions at $\epsilon=0$ and the presence of logarithmic terms in the solutions for resonant values of $\epsilon$. Monodromy of first integrals of related Riccati systems are also interpreted in terms of the elements of the unfolded Stokes matrices. The second paper goes further into the subject, giving the complete system of analytic invariants for the unfoldings of nonresonant linear differential systems $x^2y'=A(x)y$ with an irregular singularity of Poincaré rank $1$ at the origin over a fixed neighborhood $\mathbb{D}_r$ in the space of the variable $x$. It consists of a formal part, given by polynomials, and an analytic part, given by an equivalence class of unfolded Stokes matrices. For each parameter value $\epsilon$ taken in a sector pointed at the origin of opening larger than $2\pi$, we cover the space of the variable, $\mathbb{D}_r$, with two sectors and, over each of them, we construct a well chosen basis of solutions of the unfolded differential system. This basis is used to define the unfolded Stokes matrices. Finally, we give a realization theorem for the invariants satisfying a necessary and sufficient condition, thus identifying the set of modules.

We show that the morphisms from the braid group with n strands in the mapping class group of a surface with a possible non empty boundary, assuming that its genus is smaller or equal to n/2 are either cyclic morphisms (their images are cyclic groups), or transvections of monodromy morphisms (up to multiplication by an element in the centralizer of the image, the image of a standard generator of the braid group is a Dehn twist, and the images of two consecutive standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point). As a corollary, we determine the endomorphisms, the injective endomorphisms, the automorphisms and the outer automorphism group of the following groups : the braid group with n strands where n is greater than or equal to 6, and the mapping class group of any surface of genus greater or equal than 2. For each statement involving the mapping class group, we study both cases: when the boundary is fixed pointwise, and when each boundary component is fixed setwise. We will also describe the set of morphisms between two different braid groups whose number of strands differ by at most one, and the set of all morphisms between mapping class groups of surfaces (possibly with boundary) whose genus (greater than or equal to 2) differ by at most one., Nous montrons que les morphismes du groupe de tresses à n brins dans le mapping class group d'une surface de bord éventuellement non vide et de genre inférieur ou égal à n/2 sont soit cycliques (i.e. dont l'image est un groupe cyclique), soit des transvections de monodromie géométriques (i.e. à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, un générateur standard du groupe de tresses est envoyé sur un twist de Dehn, et deux générateurs standards consécutifs sont envoyés sur deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point). En corollaire, nous déterminons les endomorphismes, les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphisme des groupes suivants : le groupe de tresses à n brins lorsque n est supérieur ou égal à 6, le mapping class group de toute surface de genre supérieur ou égal à 2. Pour chacun des énoncés impliquant le mapping class group, nous étudions deux cas : lorsque le bord est fixé point par point ou seulement composante par composante. Nous décrivons également l'ensemble des morphismes entre différents groupes de tresses dont le nombre de brins diffèrent d'au plus un, et l'ensemble des morphismes entre mapping class groups de surfaces (de bord éventuellement non vide) dont les genres (supérieurs ou égal à 2) différent d'au plus un.

We show that the morphisms from the braid group with n strands in the mapping class group of a surface with a possible non empty boundary, assuming that its genus is smaller or equal to n/2 are either cyclic morphisms (their images are cyclic groups), or transvections of monodromy morphisms (up to multiplication by an element in the centralizer of the image, the image of a standard generator of the braid group is a Dehn twist, and the images of two consecutive standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point). As a corollary, we determine the endomorphisms, the injective endomorphisms, the automorphisms and the outer automorphism group of the following groups : the braid group with n strands where n is greater than or equal to 6, and the mapping class group of any surface of genus greater or equal than 2. For each statement involving the mapping class group, we study both cases: when the boundary is fixed pointwise, and when each boundary component is fixed setwise. We will also describe the set of morphisms between two different braid groups whose number of strands differ by at most one, and the set of all morphisms between mapping class groups of surfaces (possibly with boundary) whose genus (greater than or equal to 2) differ by at most one.; Nous montrons que les morphismes du groupe de tresses à n brins dans le mapping class group d'une surface de bord éventuellement non vide et de genre inférieur ou égal à n/2 sont soit cycliques (i.e. dont l'image est un groupe cyclique), soit des transvections de monodromie géométriques (i.e. à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, un générateur standard du groupe de tresses est envoyé sur un twist de Dehn, et deux générateurs standards consécutifs sont envoyés sur deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point). En corollaire, nous déterminons les endomorphismes, les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphisme des groupes suivants : le groupe de tresses à n brins lorsque n est supérieur ou égal à 6, le mapping class group de toute surface de genre supérieur ou égal à 2. Pour chacun des énoncés impliquant le mapping class group, nous étudions deux cas : lorsque le bord est fixé point par point ou seulement composante par composante. Nous décrivons également l'ensemble des morphismes entre différents groupes de tresses dont le nombre de brins diffèrent d'au plus un, et l'ensemble des morphismes entre mapping class groups de surfaces (de bord éventuellement non vide) dont les genres (supérieurs ou égal à 2) différent d'au plus un.

We study, using the language of log schemes, the problem of extending biextensions of smooth commutative group schemes by the multiplicative group. This was first considered by Grothendieck in SGA 7. We show that this problem admits a solution in the category of sheaves for Kato's log flat topology, in contradistinction to what can be observed using the fppf topology, for which monodromic obstructions were defined by Grothendieck. In particular, in the case of an abelian variety and its dual, it is possible to extend the Weil biextension to the whole N\'eron model. This allows us to define a pairing on the points which combines the class group pairing defined by Mazur and Tate and Grothendieck's monodromy pairing., Comment: 24 pages, LaTeX. Minor changes. Numbering of items changed

We construct explicitly the normalisation of the Bott-Samelson-Demazure-Hansen compactification of Deligne-Lusztig varieties $X(w)$ in their covering $Y(w)$: we retrieve a result by Deligne-Lusztig about the local monodromy around the divisors of the compactification., Comment: 14 pages. Minor corrections

In a first part, we describe the complex of solutions of the algebraic Mellin transform of a D-module M in terms of the solutions of M. In order to do that, we define a Mellin transform functor on sheaves. We show the Mellin transform of the complex of fast decreasing solutions of a regular holonomic D-module M is quasi-isomorphic with the complex of solutions of the algebraic Mellin transform of M, the assumption of regularity not being necessary in the one variable case. In a second part, we study the inverse Mellin transformation: our results are less complete. We define an inverse Mellin transform functor on sheaves. We show there are natural morphisms connecting the complex of solutions of the inverse algebraic Mellin transform of a finite difference module with the inverse Mellin transform of the complex of solutions with growth at most exponential of order 1 at infinity in vertical bands. We then show that, in the case of a one variable difference module with only one positive slope, these morphisms are isomorphisms.; Dans un premier temps, nous décrivons le complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique d'un D-module M en fonction des solutions de M. Pour cela, nous définissons un foncteur de transformation de Mellin faisceautique. Nous montrons alors que le transformé de Mellin du complexe des solutions à décroissance rapide en 0 et à l'infini d'un D-module holonome régulier M est quasi-isomorphe au complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique de M, l'hypothèse de régularité n'étant plus nécessaire à une variable.Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.

This article completes the results of our previous paper [B.91] on interaction of consecutive strata for the vanishing cycles. In the same context that loc. cit., we treat here the tangling phenomenon for a given cohomology class of the Milnor’s fiber of f at the origin in the case where its nilpotency order for the given eigenvalue e −2iπ.u � of the monodromy is not necessarily bigger or equal than the nilpotency order of the monodromy for this eigenvalue at the generic point of the big stratum. We show that this tangling phenomenon can always be detected on the poles of the meromorphic extension of the distribution R X |f | 2λ ˜.

Resume Soit R un anneau de valuation discrete complet d'egales caracteristiques. Nous etudions le comportement des invariants de Serre motiviques (dont nous raffinons la definition) apres extension finie de R . Nous etablissons une formule de trace, qui donne une interpretation cohomologique des invariants de Serre, en termes des nombres de Lefschetz de la monodromie sur les cycles proches. Pour citer cet article : J. Nicaise, J. Sebag, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

Following ideas of B. Malgrange, we construct a new invariant forperverse sheaves: the microlocal determinant. It is a generalization to perverse sheaves of the first secondary characteristic class for flat bundles. The microlocal determinant is a cohomology class on the cotangent bundle with support in the characteristic variety: it is constructed with the determinants of the local systems obtained from the microlocalizations along the strata. To show its existence, we put the perverse sheaf in generic positionusing canonical transforms and controlling the behavior of the microlocalized through such a transform. We are then reduced to the dimension 2 case where an explicit computation is performedusing Ph. Maisonobe's combinatorial description of perverse sheaves.; Suivant des idées de B.Malgrange, on présente la construction d'unnouvel invariant pour les faisceaux pervers : le déterminant microlocal. C'est une généralisation aux faisceaux pervers de la première classe caractéristique secondaire des fibrés plats. Le déterminant microlocal est une classe de cohomologie sur lefibré cotangent à support dans la variété caractéristique : il estconstruit sur les déterminants des systèmes locaux obtenus parmicrolocalisations le long des strates. Pour montrer son existence, on ramène la variétécaractéristique en position générique par une transformation canonique en contrôlant le comportement des microlocalisés par une telle transformation. On est alors ramené au cas de la dimension 2 où un calcul explicite est effectué en utilisant les descriptions combinatoires des faisceaux pervers de Ph. Maisonobe.

In this paper, we associate to every $p$-adic representation $V$ a $p$-adic differential equation $\mathbf{D}^{\dagger}_{\mathrm{rig}}(V)$, that is to say a module with a connection over the Robba ring. We do this via the theory of Fontaine's $(\phi,\Gamma_K)$-modules. This construction enables us to relate the theory of $(\phi,\Gamma_K)$-modules to $p$-adic Hodge theory. We explain how to construct $mathbf{D}_{mathrm{cris}}(V)$ and $\mathbf{D}_{\mathrm{st}}(V)$ from $\mathbf{D}^{\dagger}_{\mathrm{rig}}(V)$, which allows us to recognize semi-stable or crystalline representations; the connection is then either unipotent or trivial on $\mathbf{D}^{\dagger}_{\mathrm{rig}}(V)[1/t]$. In general, the connection has an infinite number of regular singularities, but we show that $V$ is de Rham if and only if those are apparent singularities. A structure theorem for modules over the Robba ring allows us to get rid of all singularities at once, and to obtain a ``classical'' differential equation, with a Frobenius structure. A recent theorem of Y. Andr\'e gives a complete description of the structure of such an object. This allows us to prove Fontaine's $p$-adic monodromy conjecture: every de Rham representation is potentially semi-stable. As an application, we can extend to the case of arbitrary perfect residue fields some results of Hyodo ($H^1_g=H^1_{st}$), of Perrin-Riou (the semi-stability of ordinary representations), of Colmez (absolutely crystalline representations are of finite height), and of Bloch and Kato (if the weights of $V$ are $\geq 2$, then Bloch-Kato's exponential $\exp_V$ is an isomorphism)., Comment: 71 pages. In French. Uses Xypic. 3rd Version: this revised version includes a proof of Fontaine's monodromy conjecture and some applications. Submitted for publication