1. Geometric and probabilistic results for the observability of the wave equation
- Author
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Emmanuel Humbert, Yannick Privat, Emmanuel Trélat, Institut Denis Poisson (IDP), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Tours-Université d'Orléans (UO), Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA), TOkamaks and NUmerical Simulations (TONUS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA)-Inria Nancy - Grand Est, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL (UMR_7598)), Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Control And GEometry (CaGE ), Inria de Paris, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL (UMR_7598)), Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Paris (UP)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Paris (UP), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Tours (UT)-Université d'Orléans (UO), Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Nancy - Grand Est, Université d'Orléans (UO)-Université de Tours (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Universitaire de France (IUF), Ministère de l'Education nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche (M.E.N.E.S.R.), Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Cité (UPCité)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Cité (UPCité), Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Cité (UPCité), Université d'Orléans (UO)-Université de Tours-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)
- Subjects
[MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR] ,observability ,[MATH.MATH-DG]Mathematics [math]/Differential Geometry [math.DG] ,General Mathematics ,random set ,[MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP] ,wave equation ,[MATH.MATH-OC]Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC] ,Riemannian geometry - Abstract
Given any measurable subset $\omega$ of a closed Riemannian manifold $(M,g)$ and given any $T>0$, we define $\ell^T(\omega)\in[0,1]$ as the smallest average time over $[0,T]$ spent by all geodesic rays in $\omega$. This quantity appears naturally when studying observability properties for the wave equation on $M$, with $\omega$ as an observation subset: the condition $\ell^T(\omega)>0$ is the well known \emph{Geometric Control Condition}.In this article we establish two properties of the functional $\ell^T$, one is geometric and the other is probabilistic.The first geometric property is on the maximal discrepancy of $\ell^T$ when taking the closure. We may have $\ell^T(\mathring{\omega})1/2$ then the Geometric Control Condition is satisfied and thus the wave equation is observable on $\omega$ in time $T$. The second property is of probabilistic nature. We take $M=\mathbb{T}^2$, the flat two-dimensional torus, and we consider a regular grid on it, a regular checkerboard made of $n^2$ square white cells. We construct random subsets $\omega_\varepsilon^n$ by darkening each cell in this grid with a probability $\varepsilon$. We prove that the random law $\ell^T(\omega_\varepsilon^n)$ converges in probability to $\varepsilon$ as $n\rightarrow+\infty$.As a consequence, if $n$ is large enough then the Geometric Control Condition is satisfied almost surely and thus the wave equation is observable on $\omega_\varepsilon^n$ in time $T$.
- Published
- 2022