Bu tezin amacı poly-üstel fonksiyonlar geometrik ve ¸stel polinomlar yardımile incelemektir. Ayrıca Apostol-Bernoulli fonksiyonlar¨ve Frobenius Eulerian polinomların açılımlarını farkl bir yoldan araştırmaktırTezin ilk bölümünde Bernoulli polinomlar Riemann zeta, Hurwitz zeta ve poly-üstel fonksiyonlar¨, H(s) ve H(s,z) Dirichlet serileri hakk¨nda bilgi verilmiştir. Ikinci ·bölümde Apostol-Bernoulli, Riemann zeta ve Hurwitz Zeta fonksiyonlar¨ile H(s,z)Dirichlet serisinin gerçekledigi temel teoremler ve bağıntılar verilmiştir. Üçüncübölümde (xD) türev operatörünün sagladığı bazı özellikler verilmistir. Daha sonra katsayıları Hurwitz zeta ve Lerch zeta fonksiyonlar¨olan seriler incelenmistir.Son bölümde poly-¸stel fonksiyonların seri açılımları yappılmış ve Frobenius Eulerian polinomlarının geometrik polinomlar cinsinden ifadesi verilmiştir.ANAHTAR KELIMELER : Frobenius Eulerian Polinomlar¨, Geometrik Polinom- ·lar, ‹stel Polinomlar, Riemann zeta Fonksiyonu,Hurwitz Zeta Fonksiyonu, Lerch Zeta Fonksiyonu,Poly-¸stel Fonksiyonlar, Dirichlet Serileri The aim of this thesis is to study polyexponantial functions with the help ofgeometric and exponantial polynomials and to investigate expansions of ApostolBernoulli functions and Frobenius Eulerian polynomials in a di§erent way.In the Örst section of the thesis we introduce Bernoulli polynomials, Riemannzeta, Hurwitz zeta, polyexponantial functions, Dirichlet series H(s) and H(s,z). In thesecond section, main theorems and some relations which holds by Apostol-Bernoulli,Riemann zeta, Hurwitz zeta, polyexponantial functions and Dirichlet series H(s,z)are given. In the third section, some properties of the (xD) operator are given.Afterwards series with Hurwitz and Lerch zeta function coe¢ cients are studied.In the Önal section, series with polyexponantial coe¢ cients are studied and Frobenius Eulerian polynomials and numbers are obtained in terms of geometric polynomials.KEY WORDS: Frobenius Eulerian Polynomials, Geometric Polynomials, Exponantial Polynomials, Riemann zeta Function, Hurwitz zetaFunction, Lerch zeta Function, Polyexponantials, Dirichlet Series. 57