Search

Modelling volatility is important since it relates closely to risk, which is a key topic in economics. If the volatility of a time series varies over time it is said to have heteroskedastic effects. The models of heteroskedasticity have been introduced quite recently (Engle 1982), and they have been shown to be very effective even with few parameters. The aim of this thesis is to find sufficiently good models for three exchange rate datasets, and we are especially interested in modelling the heteroskedasticity which can be seen as volatility clustering in the data. We explore the time series modelling of three exchange rate series: the United States dollar, the Swedish krona and the pound sterling each compared to the euro. First we use autoregressive moving average (ARMA) models to remove the serial correlations in the time series. Then we apply ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity) and GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) models to the residuals of the chosen ARMA models to dispose of the volatility clustering. We start by discussing the importance of modelling volatility in economics. Then we proceed to the data analysis. Several ARMA models are estimated for the three datasets to remove the serial correlations. We compare the ARMA models by means of two information criteria (Akaike information criterion and Bayesian information criterion) to find the best fit. Next we apply simple ARCH and GARCH models to the residuals of the chosen ARMA models. The models of heteroskedasticity are evaluated using graphical residual analysis. We find ARMA models that are good fits to each dataset. i.e., the models remove all the significant serial correlations. In addition, the GARCH(1,1) model turns out to be an accurate model for the heteroskedasticity in all three series and it manages to even out the volatility clustering., Volatiliteetin mallintaminen on tärkeää, sillä volatiliteetin ja riskin välillä on suora yhteys. Riski taas on yksi kiinnostavimmista aiheista taloustieteessä. Jos aikasarjan volatiliteetti vaihtelee, sanotaan siinä olevan heteroskedastisuutta. Mallit heteroskedastisuudelle ovat melko tuoreita (Engle 1982), ja ne ovat todistetusti hyvin tehokkaita jo muutamilla parametreilla. Tämän diplomityön tavoitteena on löytää tyydyttävät aikasarjamallit kolmen valuuttakurssin mallintamiseen ja keskitymme erityisesti mallintamaan heteroskedastisuutta, joka näkyy aikasarjoissa volatiliteetin kasaantumisena. Tarkasteltavat valuuttakurssit ovat Yhdysvaltain dollarin, Ruotsin kruunun ja Englannin punnan kurssit suhteessa euroon. Aluksi sovellamme aikasarjoihin ARMA-malleja (autoregressive moving average models), joilla mallinnetaan sarjakorrelaatioita valuuttakursseissa. Tämän jälkeen käytämme ARCH- ja GARCH-malleja (autoregressive conditional heteroskedasticity models, generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models) ARMA-mallien residuaaleille volatiliteetin kasaantumisen poistamiseksi. Aloitamme keskustelulla volatiliteetin mallintamisen tärkeydestä taloustieteessä, jonka jälkeen siirrymme aikasarjojen analysointiin. Sovellamme useita ARMA-malleja jokaiseen valuuttakurssiaikasarjaan sarjakorrelaation poistamiseksi. ARMA-mallien vertailussa käytetään kahta informaatiokriteeriä (Akaike information criterion, Bayesian information criterion). Seuraavaksi sovellamme yksinkertaisia ARCH- ja GARCH-malleja valittujen ARMA-mallien residuaaleihin. Malleja heteroskedastisuudelle arvioidaan graafisen residuaalianalyysin avulla. Onnistumme löytämään jokaiselle kolmesta valuuttakurssista sopivan ARMA-mallin, joka poistaa kaikki merkittävät sarjakorrelaatiot. Lisäksi, GARCH(1,1)-malli osoittautuu tarkaksi malliksi aikasarjojen heteroskedastisuudelle, ja se tasoittaa kaiken volatiliteetin kasaantumisen.

In this thesis we derive the Stone-von Neumann theorem which can be used to characterize the strongly continuous unitary representations of the Heisenberg group. We then study the group Fourier transform on the Heisenberg group. By defining the group transform on the Schwartz space of the Heisenberg group we derive an inversion theorem as well as an equivalent of Plancherel's theorem. We then extend these results to the L2-space. In addition, the Wigner transform and Wigner distribution are studied. Aside from proving some important properties of these transforms, special attention is paid to the connection between the Wigner distribution and the windowed Fourier transform., Tässä työssä johdetaan Heisenbergin ryhmän unitaariset vahvasti jatkuvat esitykset karakterisoiva Stone-von Neumannin lause, sekä tutkitaan esitysten kautta määritellyn Heisenbergin ryhmän Fourier-muunnoksen ominaisuuksia. Ryhmän Fourier-muunnos määritellään Schwartzin testifunktioille, ja sille saadaan käänteismuunnos sekä Plancherelin lausetta vastaava tulos, jonka avulla muunnos saadaan laajennettua L2-avaruudelle. Lisäksi tutkitaan Wigner-muunnosta sekä -distribuutiota, joiden tärkeimmät ominaisuudet johdetaan. Erityisesti kiinnitetään huomiota Wigner-distribuution yhteyteen ikkunoituun Fourier-muunnokseen.

Impedanssitomografiassa (EIT) kappaleen paikkariippuvia sähköisiä ominaisuuksia yritetään selvittää sen pinnalla mitattujen sähkövirtojen ja -jännitteiden perusteella. Sillä on sovelluksia esimerkiksi lääketieteellisessä kuvantamisessa, geofysiikassa sekä materiaalien testauksessa. Tässä diplomityössä tutkitaan impedanssitomografian sweep-dataa, joka on Hyvösen, Harhasen ja Hakulan artikkelissa [21] esitelty uusi, tiettyyn kahden elektrodin EIT -mittaukseen liittyvä käsite. Diplomityössä esitellään menetelmä, jossa muuten homogeenisesta kiekkomaisesta kappaleesta paikannetaan sähkönjohtavuudeltaan poikkeavia inkluusioita. Menetelmä pohjautuu Hanken artikkeliin [16], jossa analysoidaan vastaavalla tavalla EIT:n takaisinsirontadataa, joka on sweepdatan kaltainen ja tähän läheisesti liittyvä uusi käsite. Työssä teoreettinen tarkastelu nojautuu tiettyyn Neumann-Dirichlet -erotuskuvauksen faktorointiin, jonka todistetaan pätevän heikommilla oletuksilla, kuin artikkelissa [16]. Faktoroinnin avulla muodostetaan asymptoottinen pieninkluusiokehitelmä ja todistetaan, että sweep-data voidaan tulkita kompleksianalyyttisen funktion reuna-arvona. Uutena tuloksena esitetty menetelmä kykenee laskemaan inkluusioiden johtavuuksiin ja kokoihin liittyviä tietoja. Vaikka algoritmi mukailee sweep-datan teoreettisia ominaisuuksia, eivät todistetut tulokset takaa sen toimivuutta. Numeeriset esimerkit kuitenkin viittaavat vahvasti siihen, että menetelmä toimii halutulla tavalla., Electrical impedance tomography (EIT) is the practice of estimating the position-dependent electrical properties of a body from current and voltage measurements on its boundary. It has numerous present and prospective applications in, among others, medical imaging, geophysics and non-destructive material testing. This thesis studies sweep data of EIT, which is a recent concept associated with a special two-electrode measurement introduced in [21] by Hyvönen, Harhanen and Hakula. Based on the recent paper [16] by Hanke, where a similar analysis is carried out for a related novel EIT measurement, the backscatter data, a method for locating inclusions of different conductivities in an otherwise homogeneous disk-shaped object is devised. The cornerstone of the analysis is a certain factorization of the difference Neumann-to-Dirichlet map, which is proven valid under somewhat weaker assumptions than in [16]. The factorization is subsequently used to construct an asymptotic small inclusion expansion and prove that sweep data can be interpreted as the boundary value of a complex analytic function. As a new result, the method presented here has the capability of extracting information about the conductivities and sizes of the inclusions. Even though inspired by the devised properties, the algorithm is not entirely backed by theory, but the numerical results strongly indicate that it works as desired.

Työssä esitellään stokastinen Galerkinin elementtimenetelmä (sGFEM) yhdessä tarvittavien matemaattisten työkalujen kanssa. Menetelmä toteutetaan yksiulotteiselle stokastiselle lineaariselle elliptiselle reuna-arvo-ongelmalle, jonka voidaan ajatella kuvaavan stokastista johtavuusyhtälöä yhdessä ulottuvuudessa. Malliongelman johtavuuskertoimen oletetaan olevan log-normaali satunnaiskenttä tunnetulla odotusarvolla ja kovarianssifunktiolla. Mallin kontakti-impedanssien oletetaan olevan tunnettuja log-normaaleja satunnaismuuttujia. Numeeristen kokeiden perusteella menetelmän todetaan toimivan, jos parametrien varianssit eivät ole liian suuria., Stochastic Galerkin finite element method (sGFEM) is introduced together with the associated mathematical tools, and implemented for a one-dimensional stochastic linear elliptic boundary value problem that can be considered as the stochastic conductivity equation reduced to one dimension. The conductivity coefficient of the model problem is assumed to be a log-normal random field with a known mean field and covariance function. The contact impedances of the model are assumed to be known log-normal random variables. According to numerical tests, the sGFEM is found to be a feasible choice when the variances of the stochastic parameters are not huge.

The topic of this diploma thesis is the computation of the spectrum and resolvent of bounded linear operators on a complex Banach space. We start by describing a method introduced by O. Nevanlinna for computing the spectrum and representing the resolvent. The method produces polynomial sublevel sets that converge to the polynomially convex hull of the spectrum. As a by-product, it also provides us with explicit expressions for the resolvent operator everywhere outside the obtained sets. Nevanlinna's method is based on the computation of the ideal Arnoldi polynomials, and in the latter part of this thesis, we concentrate on studying the behavior of the polynomial lemniscates (level sets) of these polynomials. We consider two example cases. First, we discuss bounded linear operators on a sequence space !q(Z) and, after that, finite dimensional matrices. In the latter case, we also discuss some practical implementation problems faced when computing the polynomial lemniscates. Overall, our goal is to convince the reader, largely with the aid of pictures, that the polynomial lemniscates of ideal Arnoldi polynomials provide a useful tool for computing the spectrum and representing the resolvent.

In this master's thesis we describe the basic theory of symmetries of PDEs. For example, elementary courses on ODEs and PDEs include a collection of ad hoc tricks for obtaining the classical solution of the equation at hand Symmetry theory gives means of constructing (most of) these tricks using a general procedure. This procedure consists of solving certain system of linear PDEs which, in principle, can always be solved and whose solutions are the (classical) symmetries of the given ODE or PDE. Obtained symmetries are then used to reduce (by moving to quotient spaces) the order or the number of independent/dependent variables of the (possibly non-linear) ODE or PDE one is interested in. The fundamental tools for calculating symmetries are the recursion formula (theorem 4.15) and the Lie-Bäcklund theorem (theorems 5.16 and 5.17). PDEs (as well as ODEs) are defined to be closed subsets (definition 4.1) of the so-called jet-spaces (section 2.2) which are smooth manifolds. A symmetry of a PDE (definition 4.8) is then a Lie group with an action on the ambient jet-space such that it leaves the PDE invariant as a set and preserves the so-called Cartan distribution (definition 3.3) which is a natural structure in the jet-spaces. This Cartan distribution plays, in a sense, the role of (partial) derivatives for a PDE and it distinguishes a PDE from an algebraic equation., Tässä diplomityössä esittelemme osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (ODY) symmetriateorian alkeet. Differentiaaliyhtälöiden (DY) ja ODY:iden peruskursseilla opetetaan useita "trikkejä", joiden avulla yhtälön (klassinen) ratkaisu johdetaan. Nämä "trikit" voidaan kuitenkin useimmiten konstruoida symmetriateorian yleisiä menetelmiä käyttäen. Tätä menetelmää varten joudutaan ratkaisemaan lineaarinen ODY-ryhmä, mikä on aina periaatteessa mahdollista, ja jonka ratkaisut ovat annetun DY:n tai ODY:n (klassisia) symmetrioita. Saatujen symmetrioiden avulla voidaan tutkittavaa (mahdollisesti epälineaarista) DY:tä tai ODY:ä yksinkertaistaa (tekijäavaruuteen siirtymällä) siten, että joko yhtälön asteluku pienenee tai sitten riippuvien/riippumattomien muuttujien määrä laskee. Perustyökaluja symmetrioiden laskemista ajatellen ovat rekursiokaava (lause 4.15) ja Lie-Bäcklundin lause (lauseet 5.16 ja 5.17). ODY:iden (ja myös DY:iden) määritellään olevan niin sanottujen jet-monistojen (osio 2.2) suljettuja osajoukkoja (määritelmä 4.1). ODY:n symmetria (määritelmä 4.8) on Lie-ryhmä, joka vaikuttaa ODY:ä ympäröivässä jet-avaruudessa ja joka ei muuta ODY:ä joukkona ja myös säilyttää niin sanotun jet-avaruuteen liittyvän Cartan-tasokentän (määritelmä 3.3). Cartan-tasokenttä on luonnollinen rakenne jet-avaruuksissa ja sen roolina on tavallaan toimia (osittais)derivaattoina, mikä erottaa ODY:n tavallisesta algebrallisesta yhtälöstä.

Tämä diplomityö käsittelee optiikan motivoimaa operaattoriteoriaa. Optiikan kannalta tarkastellaan optisia järjestelmiä, jotka rakentuvat samalla optisella akselilla sijaitsevista linsseistä. Fysikaaliselta kannalta optiikkamme on pääsääntöisesti Fourier-optiikkaa, joka ottaa huomioon valon diffraktiivisen aaltoluonteen, mutta tarkastelemme myös sädeoptiikkaa, joka ei tähän kykene. Fourier-optiikan operaattoriteoriassa tarvitaan L2(Rn):n integraalioperaattoreita. Tarkastellaan siis integraalioperaattoreita funktioavaruuksissa. Esitellään Fockin funktioavaruus, ja käydään läpi integraalioperaattoreiden ominaisuuksia tällä funktioavaruudella. Sekä Fourier-optisten operaattorien että sädeoptiikassa esiintyvien matriisien joukot ovat ryhmiä. Täten työssä käydään läpi myös ryhmäteoriaa. Erityisen sijan saa symplektisten matriisien ryhmä Sp(2n,R). Tämän todetaan olevan sädeoptiikassa esiintyvien operaattoreiden ryhmä ja sitä tarkastellaan mm. Lien ryhmänä. Todistetaan lisäksi mille tahansa symplektiselle matriisille pätevä algebrallis-konstruktiivinen matriisihajotelma yksinkertaisiin generaattoreihin. Tällainen hajotelma ei sellaisenaan ole tekijän tietämyksen mukaan tunnettu. Vihdoin ryhmien yhteydessä tarkasteltua esitysteoriaa, integraalioperaattoreiden yhteydessä tarkasteltua Fockin funktioavaruutta ja sen teoriaa käytetään metaplektisen esityksen konstruoimiseen. Metaplektinen esitys on ryhmärakenteen säilyttävä yksi kahteen kuvaus sädeoptisen symplektisen matriisiryhmän ja Fourier-optisen integraalioperaattoreiden ryhmän välillä. Lisäksi lasketaan aiemmin todistetun algebrallis-konstruktiivisen hajotelman mukaisten generaattoreiden kuvat tässä esityksessä.

Tämä diplomityö käsittelee vinokunnan yli määriteltyjä matriiseja ja näiden determinantteja. Kommutatiivisessa tapauksessa käytettävä determinanttikaava ei sinällään yleisty näihin tapauksiin. Erilaisia yleistysehdotuksia on esitetty, mutta täysin yleisesti hyväksyttyä määritelmää ei ole olemassa. Vuonna 1991 tapahtui huomattava edistysaskel, kun I. Gelfand ja V. Retakh määrittelivät uuden käsitteen, kvasideterminantin. Kvasideterminantit ovat nopeasti yhtenäistäneet epäkommutatiivista lineaarialgebraa ja mahdollistaneet myös uusia tuloksia. Kvasideterminantit eivät ole suoria determinantin yleistyksiä: tätä vastoin ne yleistävät determinantin ja alideterminantin suhteen. Ne eivät siis ole polynomeja matriisiin alkioista vaan rationaalifunktioita. Kvasideterminanttien teoria on edullisinta esittää ns. vapaassa kunnassa, jolloin kvasideterminantit tulkitaan formaaleiksi rationaalilausekkeiksi. Tämä on yleisin mahdollinen tapa muotoilla tulokset. Esitettyämme kvasideterminanttien teorian perustulokset sovellamme näitä epäkommutatiivisten polynomien tekijöihinjakoon. Johdamme myös kvasideterminanttiesitykset muutamille varhaisemmille epäkommutatiivisille determinanteille. Lopuksi käsittelemme kysymystä, voidaanko teoriaa laajentaa renkaaseen, jonka kaikilla nollasta eroavilla alkioilla ei ole käänteisalkioita. Tarkastelemme esimerkkitapauksena sirklettejä.

Kun fysikaalista systeemiä mallinnetaan matemaattisesti, lasketut tulokset ovat aina epävarmoja. On erityisen tärkeää arvioida reaktorifysiikan laskelmien luotettavuus, jotta voidaan olla varmoja turvallisuusmääräysten täyttymisestä. Reaktorifysiikassa merkittävimpiin epävarmuuden lähteisiin kuuluvat neutronien ja atomiydinten vuorovaikutuksia kuvaavat vaikutusalat. Vaikutusalojen määrittäminen on työläs ja monimutkainen prosessi, joka perustuu sekä mittauksiin että fysikaaliseen teoriaan. Lopputuloksena saatavat vaikutusalat ovat estimaatteja, joiden epävarmuus riippuu niiden koko määritysprosessista. Vaikutusalojen epävarmuus siirtyy edelleen muihin reaktorifysikaalisiin tulossuureisiin. Tämä diplomityö tehtiin VTT:n ydinenergian osaamiskeskukseen. Työn tarkoituksena oli selvittää ne matemaattiset menetelmät, joihin vaikutusalojen määrittäminen ja niiden epävarmuuden arviointi perustuvat tällä hetkellä. Lisäksi työssä tuli selvittää vaikutusalojen epävarmuuden siirtymistä kuvaavat menetelmät. Nämä sisältävät herkkyysanalyysiä. Työn alussa esitellään matemaattinen perusta, joka tarvitaan epävarmuuden ja sen vaikutusten käsittelyyn fysikaalisen systeemin mallinnuksessa. Edelleen näytetään, että mittauksen epävarmuus voidaan määritellä luontevasti bayesläisen todennäköisyystulkinnan avulla. Vaikutusalojen määritys perustuu nykyään suurelta osin bayesläiseen datasovitukseen ja gaussiseen todennäköisyysmalliin, joten tätä Lähestymistapaa käsitellään yksityiskohtaisesti. Vaikutusalojen kovarianssien merkitystä ja oikeaa tulkintaa tarkastellaan ja kovarianssidatan käsittelyyn liittyvä Peellen pähkinänä tunnettu ongelma esitellään ja selitetään. Lopuksi esitettyjä herkkyys- ja epävarmuusanalyysin menetelmiä sovelletaan kriittisyysyhtälöön.

Työn tavoitteena on luokitella 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemit. Kyseessä on jo jonkin aikaa avoimena olleen laskennallisen ongelman ratkaiseminen. Työn alussa tarkastellaan Steinerin systeemeitä teoreettiselta kannalta, kuitenkin luokitteluun liittyviin tuloksiin keskittyen. Nelikkosysteemien olemassaoloa ja lukumäärää tutkitaan, kuten myös niiden yhteyttä Steinerin kolmikkosysteemeihin ja tiettyihin koodeihin. Myös Pasch-konfiguraatioita ja niiden hyödyntämistä isomorfiatarkasteluissa tarkastellaan. McKayn kehittämä luokittelumenetelmä, kanonisilla lisäyksillä tuottaminen, esitellään varsin yleisellä tasolla. Menetelmää soveltamalla kehitetään luokittelualgoritmi Steinerin nelikkosysteemeille. Lisäksi esitetään Kasken ja Östergårdin kehittämä samankaltainen algoritmi Steinerin kolmikkosysteemeille. Myös vaihtoehtoinen, Zinovievin ja Zinovievin kehittämä luokittelumenetelmä esitellään lyhyesti. Nelikkosysteemejä tuotettaessa ja isomorfiakarsintaa suoritettaessa kohdataan kaksi vaikeaa osaongelmaa: täsmällisten peitteiden etsiminen tietyille joukoille ja systeemeiden kanonisen nimeämisen laskeminen. Näitä ongelmia ja niiden vaativuutta tarkastellaan. Vaikka käytettävän algoritmin oikeellisuus on todistettu matemaattisella tarkkuudella, voi ohjelmointivirhe johtaa virheellisiin tuloksiin. Tällaisten mahdollisten virheiden havaitsemiseksi testattiin laskennan tulosten johdonmukaisuutta. Luokittelun tuloksena saatiin yksi edustaja jokaisesta 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemien isomorfialuokasta. Isomorfialuokkia on yhteensä 1,054,163 kappaletta. Luokkien edustajia tutkimalla saatiin selville joitain uusia tuloksia, kuten resolvoitumattoman 16 pisteen Steinerin nelikkosysteemin olemassaolo.

Tässä työssä perehdytään Lebesguen lauseeseen euklidisen avaruuden differentioiville kannoille. Työssä selvitetään, milloin funktion integraalikeskiarvot annetun joukkoperheen joukkojen yli suppenevat joukkojen läpimittojen pienetessä kohti funktion arvoja melkein kaikissa euklidisen avaruuden pisteissä kaikilla integroituvilla funktioilla. Klassinen Lebesguen lause vastaa keskitettyjen pallojen kantaa. Tulos osoitettiin jo 1910, mutta tyhjentävää vastausta siitä, millä joukoilla tulos on voimassa, ei ole kyetty esittämään. Työssä tarkastellaan ensin Busemannin ja Fellerin maksimaalifunktiokarakterisaatiota, jonka rinnalle tuodaan toinen perustuen tasaisen rajoittuneisuuden periaatteeseen. Sitten tutustaan Posselin peiteominaisuuksilla esitettävään karakterisaatioon. Tuloksen osoittamiseksi joudutaan myös todistamaan Radonin ja Nikodymin lauseen vastine differentioiville kannoille. Kolmantena näkökulmana on karakterisaatio pallojen avulla. Tätä laajennetaan myös toiseen kannan geometriaan liittyvään ehtoon, johon ei kuitenkaan tarvita palloja. Lopuksi esittelen joitakin differentioivia kantoja ja niiden differentiointiominaisuuksia. Työssä esiteltävät tulokset todistetaan lukuun ottamatta Bairen lausetta täydellisille metrisille avaruuksille. Tulokset ovat osittain uusia. Miguel de Guzmán esittelee maksimaalifunktiolle äärellisyysehdon, jossa tutkitaan äärellismittaista euklidisen avaruuden osajoukkoa. Työssä osoitetaan tulos koko euklidisessa avaruudessa. Maksimaalifunktiokarakterisaatioissa tehtävät oletukset ovat myös aiempaa heikommat: tuloksessa ei tarvitse olettaa differentioivan kannan toteuttavan Busemannin ja Fellerin ehtoa. Radonin ja Nikodymin lausetta ei ole aiemmin tiettävästi osoitettu differentioiville kannoille. Geometrisia karakterisaatioita esiteltäessä annetaan uusi ekvivalentti karakterisaatio, jossa ei viitata palloihin, toisin kuin aiemmissa karakterisaatioissa

In this Master's Thesis we consider functions of Bounded Mean Oscillation in metric measure spaces. We concentrate on two characterisation theorems when the underlying measure is doubling. The John-Nirenberg lemma and the Coifman-Rochberg theorem are our main interests. We intend to show that the essential features of the presented BMO-theory are independent of the linear structure of Rn. We proceed mainly by using maximal functions with Vitali -type covering theorems. This work does not contain new results. It is often straightforward to generalize the familiar results in Rn to a metric space. However the main results are an exception. In the proof of the John-Nirenberg lemma we follow the presentation of Mateau, Mattila, Nicolau and Orobitg [14]. We prove the Coifman-Rochberg theorem by generalizing the work of Garcia-Cuerva and Rubio de Francia [6]. Our approach to the reverse Holder inequality is also different from the metric space tradition. We present an improved Calderon-Sigmund theorem for balls and generalise the proof in Rn presented by Coifman and Fefferman [2]. The thesis is loosely based on Javier Duoandikoetxea's Fourier Analysis [4], Elias M. Stein's Harmonic Analysis [18] and Juha Heinonen's Lectures on Analysis on Metric Spaces [8] as well as recent articles of BMO. The reader is assumed to be familiar with the basic concepts of metric spaces and also of measure and integral theory., Tässä työssä tarkastelemme keskimääräiseltä heilunnaltaan rajoitettuja eli Bounded Mean Oscillation -funktioita metrisissä mitta-avaruuksissa. Keskitymme erityisesti BMO-funktioiden karakterisaatiolauseisiin käytettävän mitan ollessa tuplaava. Työn päätulokset ovat John-Nirenbergin lemma ja Coifman-Rochbergin lause. Keskeisenä ideana on osoittaa analyysin perusteemojen olevan riippumattomia avaruuden Rn lineaarisesta rakenteesta. Usein tämä tehdään hyödyntämällä vektoriavaruuden ominaisuuksien sijaan maksimaalifunktiotekniikoita ja Vitali-tyyppisiä peitelauseita. Kaikki tulokset ovat n-ulotteisten reaaliavaruuksien tapauksessa tunnettuja ja suurelta osin yleistys metriseen avaruuteen on vaivatonta. Päätulosten osalta tilanne on monimutkaisempi. John-Nirenbergin lemman todistus on Mateaun, Mattilan, Nicolaun ja Orobitgin mukainen [14]. Coifman-Rochbergin lauseen todistamme yleistämällä Garcia-Cuervan ja Rubio de Francian version metriseen avaruuteen [6]. Esitämme myös käänteiselle Holderin epäyhtälölle metrisen avaruuden perinteestä poikkeavan todistuksen yleistämällä Coifmanin ja Feffermanin Rn-todistuksen [2]. Tätä varten todistamme Calderón-Zygmundin hajotelmasta parannetun version palloille. Pääasiallisina lähteinä on käytetty reaaliavaruuksien analyysia käsitteleviä teoksia kuten Javier Duoandikoetxean Fourier Analysis [4] ja Elias M. Steinin Harmonic Analysis [18] sekä useita BMO-funktioita käsitteleviä ajankohtaisia artikkeleita. Metrisen avaruuden analyysiin on haettu ajatuksia Juha Heinosen kirjasta Lectures on Analysis on Metric Spaces [8]. Oletamme lukijalta perustiedot metrisistä avaruuksista sekä mitta- ja integrointiteoriasta.

In this thesis we consider the Poincare inequality and especially its self-improvement properties on metric measure spaces. We concentrate on a recent result by Stephen Keith and Xiao Zhong [KZ], which tells us that if a complete doubling metric measure space admits a (l,p)-Poincare inequality, then it also admits (1, q)-Poincare inequality for some q < p. We start by introducing metric measure spaces and results that are necessary in their analysis. We discuss for example covering theorems, Hardy-Littlewood maximal functions and inequalities. A fractional sharp maximal function gives us a useful point wise estimate for functions. In the second part of the thesis we concentrate on the Poincare inequality. We start by presenting different definitions, which turn out to be equivalent in quite a general situation. Next we prove that the Poincare inequality implies quasiconvexity. We modify the same approach as Jeff Cheeger and Stephen Semmes used in proving a similar result for another version of the Poincare inequality. Finally we prove that the Poincare inequality implies Sobolev inequality and present some sufficient conditions for a space to admit the Poincare inequality. Finally, we discuss the result by Keith and Zhong. For that we need Lipschitz extensions and especially a Lipschitz smoothing that is based on a Whitney-type covering. The proof is indirect and we analysed the necessary assumptions. We conclude by presenting a couple of examples which will demonstrate some situations in which the Poincare inequality doesn't have the self-improvement property., Tässä diplomityössä tutkitaan Poincaren epäyhtälöä ja etenkin sen itseparantuvuusominaisuuksia metrisissä mitta-avaruuksissa. Keskeisenä tarkastelun kohteena on Stephen Keithin ja Xiao Zhongin [KZ] tuore tulos. Sen mukaan tuplaava metrinen mitta-avaruus kantaa (1, q)-Poincaren epäyhtälön jollain q < p, jos se kantaa (1,p)-Poincaren epäyhtälön. Tämä työ jakautuu kolmeen osaan. Ensimmäisessä osassa tarkastellaan yleisesti metrisiä mitta-avaruuksia ja niiden analyysissa tarvittavia työkaluja kuten peitelauseita, Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktioita ja niihin liittyviä epäyhtälöitä sekä M#-maksimaalifunktiota ja sen avulla saatavia pisteittäisiä arvioita funktion käytökselle. Toisessa osassa keskitytään Poincaren epäyhtälöön. Tarkastelu aloitetaan erityyppisistä Poincaren epäyhtälön määritelmistä, jotka osoittautuvat yhtäpitäviksi varsin yleisessä tilanteessa. Seuraavaksi osoitetaan, että Poincaren epäyhtälön kantava avaruus on kvasikonveksi. Tämä tehdään muokkaamalla menetelmää, jolla Jeff Cheeger ja Stephen Semmes todistivat aiemmin vastaavan tuloksen. Lopuksi tarkastellaan Poincaren epäyhtälöstä seuraavaa Sobolevin epäyhtälöä sekä eräitä riittäviä ehtoja Poincaren epäyhtälön toteutumiselle. Viimeisessä osassa tarkastellaan Keithin ja Zhongin itseparantuvuustulosta. Alussa käsitellään Lipschitz-jatkoja ja erityisesti Whitney-tyyppiseen peitteeseen perustuvaa jatkoa. Varsinainen todistus on epäsuora ja tässä työssä on analysoitu sen toimiakseen vaatimia oletuksia. Lopussa esitetään pari esimerkkiä tapauksista, joissa Poincaren epäyhtälöllä ei ole itseparantuvuusominaisuutta.

Tässä työssä käsitellään kirjallisuuden pohjalta yhtä mahdollista kandidaattia Sobolevin avaruuksien määritelmäksi metrisellä mitta-avaruudella, Newtonin avaruutta. Se perustuu polkuparven modulin avulla saatavaan heikon ylägradientin käsitteeseen. Ensimmäiset tulokset ovat Newtonin avaruuksien täydellisyys ja määritelmän yhtyminen sopivalla tulkinnalla tavalliseen heikkojen derivaattojen avulla määriteltyyn Sobolevin avaruuteen euklidisessa tilanteessa. Yleisen teorian jatkokehitys vaatii kaksi oletusta, mitan tuplaavuuden ja Poincarén epäyhtälön. Ensimmäisen oletuksen avulla saadaan käyttöön Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktiota koskevat klassiset tulokset ja toinen antaa tavan hyödyntää näitä tuloksia Sobolevin funktioihin. Ensimmäinen tuplaavuuden ja Poincarén epäyhtälön avulla saatava tulos on se, että Lipschitz-funktiot ovat tiheässä Newtonin avaruudessa. Tämä tulos on metrisen avaruuden vastine klassisten Sobolevin avaruuksien approksimaatio-ominaisuuksille. Sen avulla saadaan todistettua kvasijatkuvuustuloksia Sobolevin funktioille. Sovelluksien, esimerkiksi variaatiolaskennan, kannalta tärkeät nollareuna-arvoiset Sobolevin avaruudet saadaan myös määriteltyä metrisessä ympäristössä. Tästä aiheesta työn päätulos on kahden luonnollisen määrittelytavan, nollajatkeiden ja Lipschitz-funktioiden täydellistämisen, yhtyminen kohtuullisilla oletuksilla. Viimeisenä Sobolevin funktioiden perusominaisuutena käsitellään Sobolevin upotuslauseita. Tekemällä hiukan aiempaa vahvempi oletus pallojen mitasta saadaan perinteinen Rieszin potentiaaliin perustuva menetelmä upotuslauseiden todistamiseksi toimimaan myös metrisessä avaruudessa.

Työ käsittelee elliptisiin käyriin pohjautuvien kryptosysteemien tehokasta toteuttamista. Näiden systeemien suorituskykyä tarkastellaan vertailemalla äärellisten kuntien ja elliptisten käyrien aritmetiikan eri laskentamenetelmiä. Lisäksi tehdään katsaus kehittyneimpiin algoritmeihin elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelman ratkaisemiseksi, mikä luo matemaattista pohjaa olettamukselle, että elliptisiin käyriin perustuvilla julkisen avaimen kryptosysteemeillä voidaan saada aikaan vahva salaus suhteellisen Iyhyillä avaimilla. Elliptisten käyrien laaja matemaattinen teoria juontaa juurensa algebrallisesta geometriasta ja lukuteoriasta. Lyhyyden vuoksi muutama lause, joiden todistaminen vaatisi syvällisempää tietämystä näiltä aloilta, on esitetty suoraan ilman todistusta. Näitä lauseita tarvitaan elliptisen käyrän ryhmärakenteen selvittämiseksi, mikä puolestaan on kyseiseen käyrään perustuvan kryptosysteemin turvallisuuden kannalta merkittävä tekijä. Elliptisen käyrän ryhmäoperaatio voidaan laskea suorittamalla muutama laskutoimitus kunnassa, jonka päälle kyseinen käyrä on rakennettu. Koska kryptografiassa käytettävät kunnat ovat äärellisiä, tästä seuraa, että äärellisen kunnan nopeat laskenta-algoritmit ovat tärkeitä suunniteltaessa elliptisen käyrän aritmetiikan tehokkaita toteutuksia. Tämän vuoksi äärellisiä kuntia käsitellään työssä yksityiskohtaisesti, painottuen kuntiin, joiden karakteristika on 2. Mikä tekee karakteristikan 2 äärellisistä kunnista kiinnostavia on se tosiseikka, että nämä voidaan tulkita vektoriavaruuksiksi yli kunnan F_(2) = {0,1}. Kyseiset kunnat voidaan näin ollen luontevasti esittää kiinteän pituisina bittijonoina, mikä puolestaan johtaa hyvin nopeisiin kuntaoperaatioiden toteutuksiin käyttäen logiikkapiirejä tai yleiskäyttöisiä mikroprosessoreita. Työssä esitetään kuvaus eräistä aritmetiikan toteutuksista suurille karakteristikan 2 kunnille. Elliptisen käyrän kryptosysteemeissä käytettävistä laskutoimituksista tärkein on käyrän pisteen

Työssä tutkittiin Helsingin bussiliikenteen matkustajamääriä, pysäkki- ja liikenneviiveitä sekä näissä tapahtuneita muutoksia vuosina 1996 - 1998. Tavoitteena oli kehittää menetelmä joukkoliikenteessä tapahtuneiden merkittävien muutosten havaitsemiseksi. Monessa Helsingin bussissa on automaattinen mittauslaite, joka antaa tietoa bussilinjan matkustajamääristä, viiveistä ja matka-ajoista yksittäisillä lähdöillä. Tämän työn tutkimukset ja laskelmat perustuvat näihin automaattimittauksiin. Matkustajamääriä tutkittiin laskemalla kultakin tarkasteltavalta linjalta maksimikuormitusasteen, joka on yksittäisen lähdön suurimman matkustajamäärän suhde bussin paikkamäärään, keskiarvo eri ajankohtina. Matkustajamäärissä tapahtuneiden muutosten merkitsevyyttä tutkittiin eri ajankohtien mittausten välisellä kaksisuuntaisella t-testillä. Pysäkki- ja liikenneviiveistä tutkittiin kummastakin kokonaismäärää lähtöä kohti. Tätä varten molemmista laskettiin keskimääräinen arvo lähtöä kohti kunakin tarkasteltavana ajankohtana. Kuten matkustajamäärissä myös viiveissä tutkittiin muutosten merkitsevyyttä kaksisuuntaisella t-testillä. Sekä pysäkki- että liikenneviiveille pyrittiin löytämään riippuvuus linjan matka-ajasta, ja molemmissa tapauksissa saatiin lineaarinen malli. Matkustajamäärien ja pysäkkiviiveiden muutosten välistä riippuvuutta tutkittiin vertaamalla näiden t-testien p-arvoja toisiinsa. Laskettu korrelaatiokerroin oli positiivinen mutta varsin pieni. Kuvaajasta voitiin kuitenkin päätellä, että matkustajamäärän erittäin voimakas muutos aiheuttaa myös pysäkkiviiveisiin merkittävän muutoksen. Liikenneviiveet on tässä työssä laskettu lähinnä linjakohtaisesti, mutta niitä tarkastellaan jonkin verran myös reittikohtaisesti. Tätä varten verrataan samaa reittipätkää ajavien linjojen liikenneviiveiden muutosten p-arvoja toisiinsa. Jos ne kaikki ovat pieniä, ovat liikenneviiveiden muutokset tapahtuneet todennäköisesti kyseisellä reittiosuudella ja muussa tapauksessa ilmeisesti linjojen o

Tämän työn tarkoituksena on ollut tutkia ARQ-pohjaisten virheidenhallintamenetelmien kykyä mukautua ajan mukana vaihteleviin kanavaolosuhteisiin. Työssä esitetään kahdentyyppisiä ratkaisuja tähän ongelmaan. Ensimmäinen vaihtoehto on käyttää menetelmiä, jotka yhdistävät ARQ-protokollien perustoimintoihin kyvyn korjata virheitä; näistä tarkoitukseen parhaiten soveltuvia ovat ns. tyypin II hybridi-ARQ-protokollat sekä näitä muistuttava EARQ-protokolla. Toisena mahdollisuutena tässä työssä on tutkittu adaptiivisten GBN-protokollien käyttöä. Työssä käytettyjä aikariippuvia kanavamalleja ovat ns. kvasistationäärinen kanava sekä Gilbert-Elliott-malli. Edellisessä tapauksessa bitti- tai pakettivirhetodennäköisyys vaihtelee hyvin hitaasti. Jälkimmäisessä mallissa kanavan tilan eri ajanhetkinä oletetaan olevan kaksitilainen Markovin ketju, missä kumpaankin tilaan liittyy tietty virhetodennäköisyys. Strategioiden suorituskyvyn mittana käytetään ns. läpäisyä, joka kuvaa tiedonsiirron hyötysuhdetta. ARQ-protokollien tapauksessa läpäisyä heikentää tarve lähettää uudelleen virheellisinä vastaanotetut paketit. Edellä mainittujen tyypin II protokollien läpäisylle esitetään viitteessä [29] johdettu alaraja ja viitteessä [30] annettu yläraja. Tyypin II protokollan, joka käyttää lohkokoodeja sekä virheiden havaitsemiseen että korjaamiseen, toiminta kuvataan työssä yksityiskohtaisesti. Viitteeseen [30] perustuen esitellään EARQ-protokolla, joka yltää samaa luokkaa olevaan läpäisyyn kuin tyypin II protokollat huolimatta selvästi vähäisemmästä koodien käytöstä. Tässä työssä tutkitut adaptiiviset GBN-protokollat käyttävät kahta toisistaan hieman poikkeavaa yksinkertaista algoritmia kanavaolosuhteissa tapahtuvien muutosten havaitsemiseen. Työssä esitetään matemaattisia malleja näiden protokollien toiminnalle erilaisissa kanavaympäristöissä.