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Orientador: Christian da Silva Rodrigues Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta dissertação estuda-se elementos da Teoria de Transporte Ótimo, de estruturas de comprimento em espaços métricos e de aproximação de espaços métricos com o objetivo de mostrar sob quais condições os grupos de isometrias de um espaço métrico de medida será um grupo de Lie. Em particular, mostra-se que os grupos de isometrias de espaços cujo problema de transporte ótimo é bem comportado, é um grupo de Lie. Além disso, também estuda-se funcionais lagrangianos como generalização de funcionais de comprimento através da Teoria de Transporte Ótimo e como isto pode ser usado para mostrar que os espaços de Wasserstein são espaços geodésicos Abstract: In this dissertation, we study elements of the Theory of Optimal Transport, of length structures in metric spaces, and approximations of metric spaces with the goal of showing in which conditions the groups of isometries of a metric measure space will be a Lie group. In particular, we show that the isometry groups of spaces in which the optimal transport problem is well behaved, is a Lie group. Moreover, we also study lagrangian functionals as a generalization of length functionals by means of the theory of optimal transport and how this can be used to show that the Wasserstein spaces are geodesic Mestrado Matemática Aplicada Mestre em Matemática Aplicada CNPQ 132519/2020-8

Orientador: Christian da Silva Rodrigues Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estuda-se o conceito de desintegração de medidas e o Teorema de Rokhlin em diferentes contextos. Em particular, discute-se a relação de desintegração de medidas com o problema central da Teoria de Transporte Ótimo (o problema dos planos de transporte) e aborda-se uma conexão desta perspectiva de desintegração com o caso em espaços particionados. Além disso, estuda-se algumas propriedades geométricas e estatísticas de sistemas dinâmicos através do operador de transferência associado e, neste contexto, aplica-se a desintegração de medidas para definir espaços apropriados ao sistema Abstract: In this work, we study the disintegration of measures and Rokhlin's Theorem in different contexts. In particular, we argue the relationship between the disintegration of measures and the central problem of the Optimal Transport Theory (optimal transport problem). Also, we show a connection of this perspective of disintegration with the case of partitioned spaces. In addition, we study some geometric and statistical properties of dynamical systems by the associated transfer operator, and, within this context, we apply the disintegration of measures to define suitable spaces to the system Mestrado Matemática Aplicada Mestra em Matemática Aplicada FAPESP 2018/05309-3; 2019/14724-7

Orientador: Christian da Silva Rodrigues Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O objetivo deste trabalho é estabelecer diversas propriedades geométricas sobre os espaçosde medidas Borelianas de probabilidade munidos com a distância de Wasserstein. Paraeste fim, enfocaremos em investigar como se pode formalizarse uma geometria sobre essesespaços de probabilidade e que relação há entre as propriedades geométricas destes espaçosde probabilidade e a dos espaços métricos onde estão definidos?.Com a ajuda das soluções dos problemas de Otimização de Transporte de Kantorovich eOtimização de Transporte de Monge, estudaremos as propriedades geométricas dos espaçosde Wasserstein definidos no espaço métrico intrínseco, o qual permite abordar o estudoda relação entre algumas propriedades geométricas de um Variedade Riemanniana (casoparticular do espaço métrico intrínseco) e seu correspondente espaço de probabilidade coma distância de Wasserstein Abstract: The goal of this work is to establish several geometric properties about the spaces of Borelprobability measures equipped with the Wasserstein distance. For this purposes we focuson investigating how we can formalize a geometry about these probability space and whatis the relationship between the geometric properties of these ones and of the metric spaceswhere they are defined.Using the solutions of the Kantorovich Transport Optimization Problem and MongeTransport Optimization Problem, we study the geometric properties of the Wasssersteinspaces defined in intrinsic metric space, which allows us to approach the study of relationshipbetween some geometric properties of a Riemannian manifolds (particular case of space ofintrinsic metrics) and its corresponding probability space with Wasserstein distance Mestrado Matemática Mestre em Matemática Funcamp

Orientador: Christian da Silva Rodrigues Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudaremos o máximo expoente de Lyapunov. Começaremos desenvolvendo certos resultados do análise e Teoria Ergódica, posteriormente fixaremos uma medida de probabilidade $\mu$ sobre $GL(m,\mathbb{R})$ e faremos uma filtração de $\mathbb{R}^{m}$ que nos levará a formar uma partição de $\mathbb{R}^{m}$, onde a cada elemento da partição associaremos um expoente de Lyapunov diferente, tudo isto com a finalidade de estudar a estabilidade do máximo expoente de Lyapunov. Em concreto queremos estabelecer uma condição suficiente em $\mu$ para que o máximo expoente de Lyapunov seja estável para pequenas perturbações sobre $\mu$, i.e, seja $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de medidas de probabilidade sobre $GL(m,\mathbb{R})$ e se temos que tal sequência converge fracamente a $\mu$ ($\mu_n\rightharpoonup \mu$ quando $n\longrightarrow \infty$), então $\beta(\mu_n)\longrightarrow \beta({\mu})$, onde $\beta(\mu_n)$ denota o máximo expoente de Lyapunov associado a $\mu_n$. Esta dissertação está baseada no artigo de Furstenberg e Kifer "Random matrix products and measures on projective spaces" Abstract: In this work we study the maximal Lyapunov's exponent. We begin by developing certain results of Ergodic Theory and Analysis. Then we fix a probability measure $\mu$ on $GL(m,\mathbb{R})$ and make a partition of $\mathbb{R}^{m}$, where to each element of the partition we associate a different Lyapunov's exponent. We do that in order to establish a sufficient condition in $\mu$ so that the maximum Lyapunov's exponent is stable for small perturbations on $ \mu $, i.e., let $ (\mu_n)_{n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of probability measures on $ GL(m,\mathbb{R})$ such that it converges weakly to $ \mu $ ($\mu_n \rightharpoonup \mu $ when $ n \longrightarrow \infty $), then $ \beta (\mu_n) \longrightarrow \beta({\mu})$, where $\beta(\mu_n)$ denotes the maximum Lyapunov's exponent associated to $ \mu_n $. This dissertation is based on the seminal paper of Furstenberg and Kifer "Random matrix products and measures on projective spaces Mestrado Matemática Aplicada Mestre em Matemática Aplicada CAPES

Orientador: Yuri Dimitrov Bozhkov Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese calculamos o grupo de equivalência contínuo para a equação generalizada de Kudryashov-Sinelshchikov de segunda ordem \cite{Kudra2010}, que descreve ondas de pressão no líquido com bolhas de gás. Usando o grupo de equivalência conseguimos uma classificação preliminar do grupo de simetrias de Lie para esta equação. Em seguida, de forma direta, fazemos uma classificação completa do grupo de simetrias de Lie do melhor representante da classe de equivalência da equação generalizada de Kudryashov-Sinelshchikov. Finalmente obtemos as condições da auto-adjunticidade não-linear e as leis de conservação para a equação de Kudryashov-Sinelshchikov usando o método de Nail Ibragimov Abstract: In this thesis we calculate the continuos equivalence group for the generalized equation of Kudryashov-Sinelshchikov of second order \cite{Kudra2010}, which describes pressure waves in the liquid with gas bubbles. Using the equivalence group we obtain a preliminary classification of the Lie symmetry group for this equation. We carry out a complete classification of the group of Lie point symmetries of the studied equation. Finally we find the nonlinear self-adjointness conditions and establish conservation laws for Kudryashov-Sinelshchikov equation using the Nail Ibragimov method Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Considere uma variedade folheada M e uma equação diferencial estocástica (EDE) cujas trajetórias sobre uma folha compacta. Neste trabalho, estudaremos o comportamento de uma pequena perturbação transversal. Uma estimativa para a taxa de convergência nas folhas será dada. No segundo capítulo deste trabalho, um princípio da média é aplicado para se mostrar que a componente transversal às folhas converge para a solução de uma EDO determinística na direção transversal. Por fim, no terceiro capítulo, o princípio anunciado para semimartingales contínuos, será generalizado para processos de Levy que contém uma componente de salto (na direção horizontal) Abstract: Consider an Stochastic Differential Equation (SDE) driven by continuous semimartingales on a foliated manifold whose trajectories lay on compact leaves. We study the effective behavior of a small transversal perturbation . An estimate of the rate of convergence is given. In the second chapter, an average principle is shown to hold such that the component transversal to the leaves converges to the solution of a deterministic ODE . After that, in the third chapter, we generalize the principle established for continuous semimartingales to Lévy diffusions containing a jump component. We give upper bounds for the rates of convergence and illustrate these results for the random rotations on the circle Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 134552/2016-4