1. Arithmetic structures for differential operators on formal schemes
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Christine Huyghe, Matthias Strauch, Tobias Schmidt, Institut de Recherche Mathématique Avancée ( IRMA ), Université de Strasbourg ( UNISTRA ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Department of Mathematics, Indiana University, Indiana University [Bloomington], Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA), Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Indiana University System-Indiana University System, Indiana University System, Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, and Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)
- Subjects
General Mathematics ,010102 general mathematics ,Formal scheme ,Spectrum (functional analysis) ,Field (mathematics) ,14G22, 16S32 ,Differential operator ,01 natural sciences ,Discrete valuation ring ,[ MATH.MATH-AG ] Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] ,Mathematics - Algebraic Geometry ,Mathematics::Algebraic Geometry ,0103 physical sciences ,FOS: Mathematics ,Fraction (mathematics) ,010307 mathematical physics ,[MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] ,0101 mathematics ,Arithmetic ,[MATH]Mathematics [math] ,Mathematics::Representation Theory ,Algebraic Geometry (math.AG) ,ComputingMilieux_MISCELLANEOUS ,Mathematics - Abstract
Let ${\mathfrak o}$ be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic $(0,p)$ and ${\mathfrak X}_0$ a smooth formal scheme over the formal spectrum of ${\mathfrak o}$. Given an admissible formal blow-up ${\mathfrak X}$ of ${\mathfrak X}_0$ we introduce sheaves of differential operators ${\mathscr D}^\dagger_{{\mathfrak X},k}$ on ${\mathfrak X}$, for every integer $k \ge k_{\mathfrak X}$, where $k_{\mathfrak X}$ depends on the blow-up morphism ${\mathfrak X}\rightarrow {\mathfrak X}_0$. This generalizes Berthelot's construction of sheaves of arit hmetic differential operators on ${\mathfrak X}_0$. The coherence of these sheaves and several other basic properties are proven. In the second part we study the projective limit sheaf ${\mathscr D}_{{\mathfrak X},\infty} = \varprojlim_k {\mathscr D}^\dagger_{{\mathfrak X},k}$ and so-called coadmissible modules for ${\mathscr D}_{{\mathfrak X},\infty}$. The inductive limit of the sheaves ${\mathscr D}_{{\mathfrak X},\infty}$, over all admissible blow-ups ${\mathfrak X}$ of ${\mathfrak X}_0$, gives rise to a sheaf ${\mathscr D}_{\langle {\mathfrak X}_0 \rangle}$ on the Zariski-Riemann space of ${\mathfrak X}_0$. Analogues of Theorems A and B are shown to hold in each of these settings, i.e., for ${\mathscr D}^\dagger_{{\mathfrak X},k}$, ${\mathscr D}_{{\mathfrak X},\infty}$, and ${\mathscr D}_{\langle {\mathfrak X}_0\rangle}$., Comment: Some error corrected and some examples added
- Published
- 2017