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This thesis takes place in extreme value statistics and agricultural insurance frameworks. For the first line of research, the extreme quantile of a response variable Y can often be linked to a vector of covariates X of dimension p. When p is large compared to the sample size n, the conditional distribution of Y given X becomes difficult to estimate, especially when dealing with extreme values. The first contribution of this thesis is to propose a new approach, called Extreme-PLS, for dimension reduction in conditional extreme values settings. This approach consists in reducing the dimension of X by maximizing the covariance between a linear combination of coordinates X and Y given large values of Y. We establish the asymptotic normality of the Extreme-PLS estimator under a single-index model. The second contribution provides a Bayesian extension to the Extreme-PLS method to address data scarcity problems in distribution tails. This approach allows to identify the direction of dimension reduction by introducing a prior information on it. It provides a Bayesian framework for computing the posterior distribution of the direction, where the likelihood function is obtained from a von Mises-Fisher distribution adapted to hyperballs. Three prior distributions are considered: conjugate, hierarchical and sparse priors. Finally, the performance of both approaches is evaluated on simulated data, and an application on French farm income data is provided as an illustration.Regarding the second line of research, climate disruption and market deregulation have increased and impacted agricultural production and income. Farmers' incomes are faced with two main types of risk related to price and yield volatility. Protection against these risks fall within a good risk management and thus farmers' insurance coverage. The third contribution of this thesis concerns the study and modelling of the dependence structure between crop yield and price risks using copulas. We also use conditional copulas to take into account the effect of other covariates such as crop insurance purchase, claims and weather factors. The last contribution focuses on considering the natural hedge mechanism, i.e. the negative dependence between yields and prices, in a revenue insurance scheme. We analyse its effect on the value of the actuarially fair premium on an example of revenue insurance contract pricing. The results show that a natural hedge is likely to reduce insurance premiums in France.All studies focus on French farm income data in the cereal (maize and wheat) and wine sectors., Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la statistique des valeurs extrêmes et de l'assurance agricole. Pour le premier axe de recherche, le quantile extrême d'une variable réponse Y peut souvent être lié à un vecteur de covariables X de dimension p. Lorsque p est grand comparé à la taille de l'échantillon n, la distribution conditionnelle de Y étant donné X devient difficile à estimer, surtout lorsqu'on a affaire à des valeurs extrêmes. La première contribution de cette thèse est de proposer une nouvelle approche, appelée Extreme-PLS, pour la réduction de la dimension dans le cadre des valeurs extrêmes conditionnelles. Cette approche consiste à réduire la dimension de X en maximisant la covariance entre une combinaison linéaire des composants de X et de Y étant donné de grandes valeurs de Y. Nous établissons la normalité asymptotique de l'estimateur Extreme-PLS sous un modèle à indice unique. La deuxième contribution est une extension bayésienne de la méthode Extreme-PLS pour traiter les problèmes de rareté des données dans les queues de distribution. Cette approche permet d'identifier la direction de la réduction de la dimension en introduisant des informations a priori sur celle-ci. Elle fournit un cadre bayésien pour calculer la distribution postérieure de la direction, où la fonction de vraisemblance est obtenue à partir d'une distribution de von Mises-Fisher adaptée aux hyper boules. Trois distributions postérieures sont considérées : loi conjuguée, hiérarchique et sparse.Enfin, la performance des deux approches est évaluée sur des données simulées, et une application sur des données de revenus agricoles françaises est fournie à titre d'illustration.En ce qui concerne le deuxième axe de recherche, les dérèglements climatiques et la dérégulation des marchés ont augmenté et impacté la production et les revenus agricoles. Les revenus des agriculteurs sont confrontés à deux principaux types de risques liés à la volatilité des prix et des rendements. La protection contre ces risques relève d'une bonne gestion des risques et donc de la couverture d'assurance des agriculteurs. La troisième contribution de cette thèse concerne l'étude et la modélisation de la structure de dépendance entre le rendement des cultures et les risques de prix par les copules. Nous utilisons également les copules conditionnelles pour prendre en compte l'effet d'autres covariables telles que l'achat d'assurance récolte, les sinistres et les facteurs météorologiques. La dernière contribution porte sur la prise en compte du mécanisme de couverture naturelle, c-à-d la dépendance négative entre les rendements et les prix, dans un régime d'assurance des revenus. Nous analysons son effet sur la valeur de la prime actuariellement juste sur un exemple de tarification de contrat d'assurance revenu. Les résultats montrent qu'une couverture naturelle est susceptible de réduire les primes d'assurance en France.L'ensemble des études se concentrent sur les données du revenu agricole français dans les secteurs céréaliers (maïs et blé) et viticoles.

National audience; Combining extreme value analysis with Bayesian methods has several advantages, such as the consideration of prior information or the ability to study irregular cases for frequentist statistics. We focus here on a model of extremes by Poisson process, and propose an alternative of a recent study on a parameterisation of the model which orthogonalizes the parameters to improve posterior sampling by Markov chain Monte-Carlo method (MCMC).; Combiner l'analyse des valeurs extrêmes avec des méthodes bayésiennes a plusieurs avantages, comme la prise en compte d'information a priori ou encore la possibilité d'étudier des cas irréguliers en statistique fréquentiste. Nous nous attardons ici sur un modèle d'extrêmes par processus de Poisson, et proposons une approche alternative à une étude récente sur une reparamétrisation du modèle qui orthogonalise les paramètres pour améliorer l'échantillonnage a posteriori par méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC).

National audience; In this study, we propose a new parametrization for the generator of a Generative adversarial network (GAN) adapted to data from heavy-tailed distributions. We provide an analysis of the uniform error between an extreme quantile and its GAN approximation. Numerical experiments are conducted both on real and simulated data.; Dans cette étude nous proposons une nouvelle paramétrisation du générateur d'un réseau antagoniste génératif (GAN) adaptée aux données issues d'une distribution a queue lourde. Nous apportons une analyse de l'erreur d'approximation en norme uniforme d'un quantile extrême par le GAN ainsi construit. Des simulations numériques sont réalisées sur des données réelles et simulées. Mots-clés. Théorie des valeurs extrêmes, réseau de neurones, modèle génératif.

This report describes my research activities since I defended my PhD thesis. Chapter 1 outlines my research interests and summarises the background and main contributions of my research. These are organised into strands of work representing my research interests which can very roughly be classified into conditional extreme value analysis, multivariate extreme value theory and its offshoots, extremes in missing data contexts and risk assessment using extreme value theory. This last theme of research is currently my primary area of work. Chapter 2, which is the main chapter of this report, then expands further upon my contributions to this field, mostly through the introduction, study and estimation of risk measures at extreme levels, presenting and discussing the main results of my work in detail andproviding some perspectives for future research.

National audience; Nous étudions le comportement asymptotique de l'erreur d'extrapolation (relative) associée à l'estimateur deWeissman, un estimateur semi-paramétrique des quantiles extrêmes dédié au domaine d'attraction de Fréchet. Des conditions sont alors fournies de telle sorte que l'erreur tende vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. Nous montrons que, dans le cas où la loi appartient au domaine d'attraction de Fréchet, sans surprise, l'erreur d'extrapolation relative tend vers zéro sous des conditions très faibles sur l'ordre du quantile. De manière originale, nous montrons également que l'erreur d'extrapolation tend vers zéro pour deux types de lois du domaine d'attraction de Gumbel sous des conditions raisonnables sur l'ordre du quantile. Mieux encore, des équivalents de l'erreur sont établis montrant que l'estimateur de Weissman mène à des erreurs d'extrapolation plus faibles que l'estimateur Exponential Tail pour certains types de lois du domaine d'attraction de Gumbel. Ces résultats sont illustrés numériquement.

This thesis takes place in the extreme value statistics framework. It provides three main contributions to this area. The extreme quantile estimation is a two step approach. First, it consists in proposing an extreme value based quantile approximation. Then, estimators of the unknown quantities are plugged in the previous approximation leading to an extreme quantile estimator.The first contribution of this thesis is the study of this previous approximation error. These investigations are carried out using two different kind of estimators, both based on the well-known Generalized Pareto approximation: the Exponential Tail estimator dedicated to the Gumbel maximum domain of attraction and the Weissman estimator dedicated to the Fréchet one.It is shown that the extrapolation error can be interpreted as the remainder of a first order Taylor expansion. Necessary and sufficient conditions are then provided such that this error tends to zero as the sample size increases. Interestingly, in case of the so-called Exponential Tail estimator, these conditions lead to a subdivision of Gumbel maximum domain of attraction into three subsets. In constrast, the extrapolation error associated with Weissmanestimator has a common behavior over the whole Fréchet maximum domain of attraction. First order equivalents of the extrapolation error are thenderived and their accuracy is illustrated numerically.The second contribution is the proposition of a new extreme quantile estimator.The problem is addressed in the framework of the so-called ``log-Generalized Weibull tail limit'', where the logarithm of the inverse cumulative hazard rate function is supposed to be of extended regular variation. Based on this model, a new estimator of extreme quantiles is proposed. Its asymptotic normality is established and its behavior in practice is illustrated on both real and simulated data.The third contribution of this thesis is the proposition of new mathematical tools allowing the quantification of extrapolation limits associated with a real dataset. To this end, we propose estimators of extrapolation errors associated with the Exponentail Tail and the Weissman approximations. We then study on simulated data how these two estimators perform. We finally use these estimators on real datasets to show that, depending on the climatic phenomena,the extrapolation limits can be more or less stringent.; Cette thèse se place dans le cadre de la Statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. L'estimation des quantiles extrêmes se fait dans la littérature en deux étapes. La première étape consiste à utiliser une approximation des quantiles basée sur la théorie des valeurs extrêmes. La deuxième étape consiste à estimer les paramètres inconnus de l'approximation en question, et ce en utilisant les valeurs les plus grandes du jeu de données. Cette décomposition mène à deux erreurs de nature différente, la première étant une erreur systémique de modèle, dite d'approximation ou encore d'extrapolation, la seconde consituant une erreur d'estimation aléatoire. La première contribution de cette thèse est l'étude théorique de cette erreur d'extrapolation mal connue.Cette étude est menée pour deux types d'estimateur différents, tous deux cas particuliers de l'approximation dite de la "loi de Pareto généralisée" : l'estimateur Exponential Tail dédié au domaine d'attraction de Gumbel et l'estimateur de Weissman dédié à celui de Fréchet.Nous montrons alors que l'erreur en question peut s'interpréter comme un reste d'ordre un d'un développement de Taylor. Des conditions nécessaires et suffisantes sont alors établies de telle sorte que l'erreur tende vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. De manière originale, ces conditions mènent à une division du domaine d'attraction de Gumbel en trois parties distinctes. En comparaison, l'erreur d'extrapolation associée à l'estimateur de Weissman présente un comportement unifié sur tout le domaine d'attraction de Fréchet. Des équivalents de l'erreur sont fournis et leur comportement est illustré numériquement. La deuxième contribution est la proposition d'un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Le problème est abordé dans le cadre du modèle ``log Weibull-tail'' généralisé, où le logarithme de l'inverse du taux de hasard cumulé est supposé à variation régulière étendue. Après une discussion sur les conséquences de cette hypothèse, nous proposons un nouvel estimateur des quantiles extrêmes basé sur ce modèle. La normalité asymptotique dudit estimateur est alors établie et son comportement en pratique est évalué sur données réelles et simulées.La troisième contribution de cette thèse est la proposition d'outils permettant en pratique de quantifier les limites d'extrapolation d'un jeu de données. Dans cette optique, nous commençons par proposer des estimateurs des erreurs d'extrapolation associées aux approximations Exponential Tail et Weissman. Après avoir évalué les performances de ces estimateurs sur données simulées, nous estimons les limites d'extrapolation associées à deux jeux de données réelles constitués de mesures journalières de variables environnementales. Dépendant de l'aléa climatique considéré, nous montrons que ces limites sont plus ou moins contraignantes.

This thesis takes place in the extreme value statistics framework. It provides three main contributions to this area. The extreme quantile estimation is a two step approach. First, it consists in proposing an extreme value based quantile approximation. Then, estimators of the unknown quantities are plugged in the previous approximation leading to an extreme quantile estimator.The first contribution of this thesis is the study of this previous approximation error. These investigations are carried out using two different kind of estimators, both based on the well-known Generalized Pareto approximation: the Exponential Tail estimator dedicated to the Gumbel maximum domain of attraction and the Weissman estimator dedicated to the Fréchet one.It is shown that the extrapolation error can be interpreted as the remainder of a first order Taylor expansion. Necessary and sufficient conditions are then provided such that this error tends to zero as the sample size increases. Interestingly, in case of the so-called Exponential Tail estimator, these conditions lead to a subdivision of Gumbel maximum domain of attraction into three subsets. In constrast, the extrapolation error associated with Weissmanestimator has a common behavior over the whole Fréchet maximum domain of attraction. First order equivalents of the extrapolation error are thenderived and their accuracy is illustrated numerically.The second contribution is the proposition of a new extreme quantile estimator.The problem is addressed in the framework of the so-called ``log-Generalized Weibull tail limit'', where the logarithm of the inverse cumulative hazard rate function is supposed to be of extended regular variation. Based on this model, a new estimator of extreme quantiles is proposed. Its asymptotic normality is established and its behavior in practice is illustrated on both real and simulated data.The third contribution of this thesis is the proposition of new mathematical tools allowing the quantification of extrapolation limits associated with a real dataset. To this end, we propose estimators of extrapolation errors associated with the Exponentail Tail and the Weissman approximations. We then study on simulated data how these two estimators perform. We finally use these estimators on real datasets to show that, depending on the climatic phenomena,the extrapolation limits can be more or less stringent.; Cette thèse se place dans le cadre de la Statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. L'estimation des quantiles extrêmes se fait dans la littérature en deux étapes. La première étape consiste à utiliser une approximation des quantiles basée sur la théorie des valeurs extrêmes. La deuxième étape consiste à estimer les paramètres inconnus de l'approximation en question, et ce en utilisant les valeurs les plus grandes du jeu de données. Cette décomposition mène à deux erreurs de nature différente, la première étant une erreur systémique de modèle, dite d'approximation ou encore d'extrapolation, la seconde consituant une erreur d'estimation aléatoire. La première contribution de cette thèse est l'étude théorique de cette erreur d'extrapolation mal connue.Cette étude est menée pour deux types d'estimateur différents, tous deux cas particuliers de l'approximation dite de la "loi de Pareto généralisée" : l'estimateur Exponential Tail dédié au domaine d'attraction de Gumbel et l'estimateur de Weissman dédié à celui de Fréchet.Nous montrons alors que l'erreur en question peut s'interpréter comme un reste d'ordre un d'un développement de Taylor. Des conditions nécessaires et suffisantes sont alors établies de telle sorte que l'erreur tende vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. De manière originale, ces conditions mènent à une division du domaine d'attraction de Gumbel en trois parties distinctes. En comparaison, l'erreur d'extrapolation associée à l'estimateur de Weissman présente un comportement unifié sur tout le domaine d'attraction de Fréchet. Des équivalents de l'erreur sont fournis et leur comportement est illustré numériquement. La deuxième contribution est la proposition d'un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Le problème est abordé dans le cadre du modèle ``log Weibull-tail'' généralisé, où le logarithme de l'inverse du taux de hasard cumulé est supposé à variation régulière étendue. Après une discussion sur les conséquences de cette hypothèse, nous proposons un nouvel estimateur des quantiles extrêmes basé sur ce modèle. La normalité asymptotique dudit estimateur est alors établie et son comportement en pratique est évalué sur données réelles et simulées.La troisième contribution de cette thèse est la proposition d'outils permettant en pratique de quantifier les limites d'extrapolation d'un jeu de données. Dans cette optique, nous commençons par proposer des estimateurs des erreurs d'extrapolation associées aux approximations Exponential Tail et Weissman. Après avoir évalué les performances de ces estimateurs sur données simulées, nous estimons les limites d'extrapolation associées à deux jeux de données réelles constitués de mesures journalières de variables environnementales. Dépendant de l'aléa climatique considéré, nous montrons que ces limites sont plus ou moins contraignantes.

This thesis in divided in two parts. The first part studies models for multivariate extremes. We give a method to construct multivariate regularly varying random vectors. The method is based on a multivariate extension of a Breiman Lemma that states that a product RZ of a random non negative regularly varying variable R and a non negative Z sufficiently integrable is also regularly varying. Replacing Z with a random vector mathbf{Z}, we show that the product Rmathbf{Z} is regularly varying and we give a characterisation of its limit measure. Then, we show that taking specific distributions for mathbf{Z}, we obtain classical max-stable models. We extend our result to non-standard regular variations. Next, we show that the Pareto model associated with the Hüsler-Reiss max-stable model forms a full exponential family. We show some properties of this model and we give an algorithm for exact simulation. We study the properties of the maximum likelihood estimator. Then, we extend our model to non-standard regular variations. To finish the first part, we propose a numerical study of the Hüsler-Reiss Pareto model.In the second part, we start by giving a lower bound of the smallest singular value of a matrix perturbed by appending a column. Then, we give a greedy algorithm for feature selection and we illustrate this algorithm on a time series dataset. Secondly, we show that an incoherent matrix satisfies a weakened version of the NSP property. Thirdly, we study the problem of column selection of Xinmathbb{R}^{n imes p} given a coherence threshold mu. This means we want the largest submatrix satisfying some coherence property. We formulate the problem as a linear program with quadratic constraint on {0,1}^p. Then, we consider a relaxation on the sphere and we bound the relaxation error. Finally, we study the projected stochastic gradient descent for online PCA. We show that in expectation, the algorithm converges to a leading eigenvector and we suggest an algorithm for step-size selection. We illustrate this algorithm with a numerical experiment.; La thèse comporte deux parties distinctes. La première partie concerne des modèles pour les extrêmes multivariés.On donne une construction de vecteurs aléatoires multivariés à variations régulières. La construction se base sur une extension multivariée d'un lemme de Breiman établissant la propriété de variation régulière d'un produit RZ de variable aléatoire avec R positive à variation régulière et Z positive suffisamment intégrable. En prenant mathbf{Z} multivarié et suffisamment intégrable, on montre que Rmathbf{Z} est un vecteur aléatoire à variations régulières et on caractérise sa mesure limite. On montre ensuite que pour mathbf{Z} de loi bien choisie, on retrouve des modèles stables classiques comme le modèle t-extremal, Hüsler-Reiss, etc. Puis, on étend notre construction pour considérer la notion de variation régulière multivariée non standard. On montre ensuite que le modèle de Pareto (qu'on appelle Hüsler-Reiss Pareto) associé au modèle max-stable Hüsler-Reiss forme une famille exponentielle complète. On donne quelques propriétés du modèle Hüsler-Reiss Pareto puis on propose un algorithme de simulation exacte. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance. Finalement, on considère une extension du modèle Hüsler-Reiss Pareto utilisant la notion de variation régulière non standard. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance du modèle généralisé et on propose une méthode d'estimation des paramètres. On donne une étude numérique sur l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le modèle Hüsler-Reiss Pareto. Dans la second partie qui concerne l'apprentissage statistique, on commence par donner une borne sur la valeur singulière minimale d'une matrice perturbée par l'ajout d'une colonne. On propose alors un algorithme de sélection de colonne afin d'extraire les caractéristiques de la matrice. On illustre notre algorithme sur des données réelles de séries temporelles où chaque série est pris comme étant une colonne de la matrice. Deuxièmement, on montre que si une matrice X à une propriété d'incohérence alors X possède aussi une version affaiblie de la propriété NSP (null space property). Puis, on s'intéresse au problème de sélection de matrice incohérente. A partir d'une matrice Xin mathbb{R}^{n imes p} et mu>0, on cherche la plus grande sous-matrice de X avec une cohérence inférieure à mu. Ce problème est formulé comme un programme linéaire avec contrainte quadratique sur {0,1}^p. Comme ce problème est NP-dur, on considère une relaxation sur la sphère et on obtient une borne sur l'erreur lorsqu'on considère le problème relaxé. Enfin, on analyse l'algorithme de gradient stochastique projeté pour l'analyse en composante principale online. On montre qu'en espérance, l'algorithme converge vers un vecteur propre maximum et on propose un algorithme pour sélectionner le pas de l'algorithme. On illustre ensuite cet algorithme par une expérience de simulation.

This thesis in divided in two parts. The first part studies models for multivariate extremes. We give a method to construct multivariate regularly varying random vectors. The method is based on a multivariate extension of a Breiman Lemma that states that a product $RZ$ of a random non negative regularly varying variable $R$ and a non negative $Z$ sufficiently integrable is also regularly varying. Replacing $Z$ with a random vector $Z$, we show that the product $RZ$ is regularly varying and we give a characterisation of its limit measure. Then, we show that taking specific distributions for $Z$, we obtain classical max-stable models. We extend our result to non-standard regular variations. Next, we show that the Pareto model associated with the Hüsler-Reiss max-stable model forms a full exponential family. We show some properties of this model and we give an algorithm for exact simulation. We study the properties of the maximum likelihood estimator. Then, we extend our model to non-standard regular variations. To finish the first part, we propose a numerical study of the Hüsler-Reiss Pareto model. In the second part, we start by giving a lower bound of the smallest singular value of a matrix perturbed by appending a column. Then, we give a greedy algorithm for feature selection and we illustrate this algorithm on a time series dataset. Secondly, we show that an incoherent matrix satisfies a weakened version of the NSP property. Thirdly, we study the problem of column selection of $X\in\mathbb{R}^{n \times p}$ given a coherence threshold $\mu$. This means we want the largest submatrix satisfying some coherence property. We formulate the problem as a linear program with quadratic constraint on $\{0,1\}^p$. Then, we consider a relaxation on the sphere and we bound the relaxation error. Finally, we study the projected stochastic gradient descent for online PCA. We show that in expectation, the algorithm converges to a leading eigenvector and we suggest an algorithm for step-size selection. We illustrate this algorithm with a numerical experiment., La thèse comporte deux parties distinctes. La première partie concerne des modèles pour les extrêmes multivariés. On donne une construction de vecteurs aléatoires multivariés à variations régulières. La construction se base sur une extension multivariée d'un lemme de Breiman établissant la propriété de variation régulière d'un produit $RZ$ de variable aléatoire avec $R$ positive à variation régulière et $Z$ positive suffisamment intégrable. En prenant $Z$ multivarié et suffisamment intégrable, on montre que $Z$ est un vecteur aléatoire à variations régulières et on caractérise sa mesure limite. On montre ensuite que pour $Z$ de loi bien choisie, on retrouve des modèles stables classiques comme le modèle t-extremal, Hüsler-Reiss, etc. Puis, on étend notre construction pour considérer la notion de variation régulière multivariée non standard. On montre ensuite que le modèle de Pareto (qu'on appelle Hüsler-Reiss Pareto) associé au modèle max-stable Hüsler-Reiss forme une famille exponentielle complète. On donne quelques propriétés du modèle Hüsler-Reiss Pareto puis on propose un algorithme de simulation exacte. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance. Finalement, on considère une extension du modèle Hüsler-Reiss Pareto utilisant la notion de variation régulière non standard. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance du modèle généralisé et on propose une méthode d'estimation des paramètres. On donne une étude numérique sur l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le modèle Hüsler-Reiss Pareto. Dans la second partie qui concerne l'apprentissage statistique, on commence par donner une borne sur la valeur singulière minimale d'une matrice perturbée par l'ajout d'une colonne. On propose alors un algorithme de sélection de colonne afin d'extraire les caractéristiques de la matrice. On illustre notre algorithme sur des données réelles de séries temporelles où chaque série est pris comme étant une colonne de la matrice. Deuxièmement, on montre que si une matrice $X$ à une propriété d'incohérence alors $X$ possède aussi une version affaiblie de la propriété NSP (null space property). Puis, on s'intéresse au problème de sélection de matrice incohérente. A partir d'une matrice $X\in \mathbb{R}^{n \times p}$ et $\mu>0$, on cherche la plus grande sous-matrice de $X$ avec une cohérence inférieure à $\mu$. Ce problème est formulé comme un programme linéaire avec contrainte quadratique sur $\{0,1\}^p$. Comme ce problème est NP-dur, on considère une relaxation sur la sphère et on obtient une borne sur l'erreur lorsqu'on considère le problème relaxé. Enfin, on analyse l'algorithme de gradient stochastique projeté pour l'analyse en composante principale online. On montre qu'en espérance, l'algorithme converge vers un vecteur propre maximum et on propose un algorithme pour sélectionner le pas de l'algorithme. On illustre ensuite cet algorithme par une expérience de simulation.

Projection of future extreme events is a major issue in a large number of areas including the environment and risk management. Although univariate extreme value theory is well understood, there is an increase in complexity when trying to understand the joint extreme behavior between two or more variables. Particular interest is given to events that are spatial by nature and which define the context of infinite dimensions. Under the assumption that events correspond marginally to univariate extremes, the main focus is then on the dependence structure that links them. First, we provide a review of parametric dependence models in the multivariate framework and illustrate different estimation strategies. The spatial extension of multivariate extremes is introduced through max-stable processes. We derive the finite-dimensional distribution of the widely used Brown-Resnick model which permits inference via full and composite likelihood methods. We then use Skew-symmetric distributions to develop a spectral representation of a wider max-stable model: the extremal Skew-t model from which most models available in the literature can be recovered. This model has the nice advantages of exhibiting skewness and nonstationarity, two properties often held by environmental spatial events. The latter enables a larger spectrum of dependence structures. Indicators of extremal dependence can be calculated using its finite-dimensional distribution. Finally, we introduce a kernel based non-parametric estimation procedure for univariate and multivariate tail density and apply it for model selection. Our method is illustrated by the example of selection of physical climate models., La prédiction de futurs évènements extrêmes est d’un grand intérêt dans de nombreux domaines tels que l’environnement ou la gestion des risques. Alors que la théorie des valeurs extrêmes univariées est bien connue, la complexité s’accroît lorsque l’on s’intéresse au comportement joint d’extrêmes de plusieurs variables. Un intérêt particulier est porté aux évènements de nature spatiale, définissant le cadre d’un nombre infini de dimensions. Sous l’hypothèse que ces évènements soient marginalement extrêmes, nous focalisons sur la structure de dépendance qui les lie. Dans un premier temps, nous faisons une revue des modèles paramétriques de dépendance dans le cadre multivarié et présentons différentes méthodes d’estimation. Les processus maxstables permettent l’extension au contexte spatial. Nous dérivons la loi en dimension finie du célèbre modèle de Brown- Resnick, permettant de faire de l’inférence par des méthodes de vraisemblance ou de vraisemblance composée. Nous utilisons ensuite des lois asymétriques afin de définir la représentation spectrale d’un modèle plus large : le modèle Extremal Skew-t, généralisant la plupart des modèles présents dans la littérature. Ce modèle a l’agréable propriété d’être asymétrique et non-stationnaire, deux notions présentées par les évènements environnementaux spatiaux. Ce dernier permet un large spectre de structures de dépendance. Les indicateurs de dépendance sont obtenus en utilisant la loi en dimension finie.Enfin, nous présentons une méthode d’estimation non-paramétrique par noyau pour les queues de distributions et l’appliquons à la sélection de modèles. Nous illustrons notre méthode à partir de l’exemple de modèles climatiques.

Since univariate extreme value theory is essentially based on asymptotic theorems, the elaboration of adaptive estimation procedures or oracle inequalities is challenging. The purpose of this thesis is to show how the development of concentration inequalities in extreme value theory allows us to derive oracle type results. } The first chapter gathers the principal results on order statistics, extreme value theory and concentration theory. Chapters 2 and 3 represent a joint work with Stéphane Boucheron: the first chapter presents concentration inequalities for order statistics of a sample of random variables; the second chapter deals with the development of an adaptive version of the Hill estimator based on non asymptotic bounds of this estimator. Chapter 4 summarises the work done in collaboration with epidemiologists on the application of extreme value theory to the example of influenza epidemics., La théorie statistique univariée des valeurs extrêmes repose essentiellement sur des théorèmes asymptotiques rendant délicate l'élaboration de procédures d'estimation adaptatives, voire d'inégalités oracle. Le but de cette thèse est de montrer comment le développement d'inégalités de concentration en théorie des valeurs extrêmes permet d'établir des résultats de type oracle. Le premier chapitre rappelle les résultats principaux concernant les statistiques d'ordre, la théorie univariée des valeurs extrêmes et la théorie de la concentration. Les trois prochains chapitres réunissent les trois articles écrits au cours de cette thèse. Les chapitres 2 et 3 présentent des travaux en collaboration avec Stéphane Boucheron : le premier propose des inégalités de concentration pour les statistiques d'ordre d'un échantillon de variables aléatoires ; le deuxième s'intéresse au développement d'une version adaptative de l'estimateur de Hill, après avoir établi des bornes non-asymptotiques pour cet estimateur. Le chapitre 4 est un travail en collaboration avec des épidémiologistes. Il consiste en une application de la théorie des valeurs extrêmes à l'exemple particulier des épidémies de grippe.

This habilitation manuscript presents my research work on statistics for weakly dependent processes. Asymptotical results for the Quasi Maximum Likelihood Estimator in general affine models are given in the first part. To detect stationarity breaks, we suggest to penalize the Quasi Likelihood criteria by the number of breaks. For some volatility models such as EGARCH model, the procedure is not stable and we suggest to constrain the criteria on the continuously invertible domain. Then we consider the one-step prediction of weakly dependent processes, establishing new oracle inequalities. Such non asymptotical results need to assert the gaussian concentration properties of weakly dependent measures. To this aim, we propose a notion of weak transport and new conditional transport inequalities. Finally, we introduce the cluster index to characterize the extremal behavior of regularly varying partial sums. We obtain limit properties such as the $\alpha$-stable limits in the Central Limit Theorem or the large deviations in presence of dependent extremes. Solutions of linear stochastic recurrent equation and the GARCH model are examples of heavy tailed processes. We apply our results to characterize asymptotically the estimation errors of heavy tailed processes autocovariances.; Ce mémoire d'habilitation traite de la statistique des processus à temps discret faiblement dépendants. Une première partie présente des résultats asymptotiques d'estimation pour les paramètres de modèles affines généraux. La méthode étudiée est la maximisation du critère de quasi-vraisemblance. Afin de traiter de possibles ruptures de stationnarité, nous pénalisons ce critère par le nombre de ruptures. Pour les modèles à volatilité comme le modèle EGARCH, cette procédure est instable et nous proposons de contraindre le critère au domaine dit d'inversibilité continue. Nous étudions le problème de la prédiction de processus faiblement dépendants dans une seconde partie. Les résultats obtenus sont des inégalités d'oracle non asymptotiques nécessitant l'étude préalable des propriétés de concentration gaussiennes de lois faiblement dépendantes. Pour ce faire nous utilisons une notion de transport faible et de nouvelles inégalités dites de transport conditionnel. Enfin, le comportement des extrêmes en présence de dépendance fait l'objet de la troisième partie. Nous introduisons un indice de {\it cluster} qui caractérise les lois limites $\alpha$-stables dans le théorème de la limite centrale et les grandes déviations des sommes partielles à variation régulière. Nous traitons des exemples de processus à queues épaisses tels que les solutions des équations récurrentes stochastiques linéaires et le modèle GARCH. Nous appliquons ces résultats pour caractériser asymptotiquement les erreurs d'estimation des auto-covariances de processus à queues épaisses.

This habilitation manuscript presents my research work on statistics for weakly dependent processes. Asymptotical results for the Quasi Maximum Likelihood Estimator in general affine models are given in the first part. To detect stationarity breaks, we suggest to penalize the Quasi Likelihood criteria by the number of breaks. For some volatility models such as EGARCH model, the procedure is not stable and we suggest to constrain the criteria on the continuously invertible domain. Then we consider the one-step prediction of weakly dependent processes, establishing new oracle inequalities. Such non asymptotical results need to assert the gaussian concentration properties of weakly dependent measures. To this aim, we propose a notion of weak transport and new conditional transport inequalities. Finally, we introduce the cluster index to characterize the extremal behavior of regularly varying partial sums. We obtain limit properties such as the $\alpha$-stable limits in the Central Limit Theorem or the large deviations in presence of dependent extremes. Solutions of linear stochastic recurrent equation and the GARCH model are examples of heavy tailed processes. We apply our results to characterize asymptotically the estimation errors of heavy tailed processes autocovariances.; Ce mémoire d'habilitation traite de la statistique des processus à temps discret faiblement dépendants. Une première partie présente des résultats asymptotiques d'estimation pour les paramètres de modèles affines généraux. La méthode étudiée est la maximisation du critère de quasi-vraisemblance. Afin de traiter de possibles ruptures de stationnarité, nous pénalisons ce critère par le nombre de ruptures. Pour les modèles à volatilité comme le modèle EGARCH, cette procédure est instable et nous proposons de contraindre le critère au domaine dit d'inversibilité continue. Nous étudions le problème de la prédiction de processus faiblement dépendants dans une seconde partie. Les résultats obtenus sont des inégalités d'oracle non asymptotiques nécessitant l'étude préalable des propriétés de concentration gaussiennes de lois faiblement dépendantes. Pour ce faire nous utilisons une notion de transport faible et de nouvelles inégalités dites de transport conditionnel. Enfin, le comportement des extrêmes en présence de dépendance fait l'objet de la troisième partie. Nous introduisons un indice de {\it cluster} qui caractérise les lois limites $\alpha$-stables dans le théorème de la limite centrale et les grandes déviations des sommes partielles à variation régulière. Nous traitons des exemples de processus à queues épaisses tels que les solutions des équations récurrentes stochastiques linéaires et le modèle GARCH. Nous appliquons ces résultats pour caractériser asymptotiquement les erreurs d'estimation des auto-covariances de processus à queues épaisses.

International audience; Afin de quantifier les risques ainsi qu'évaluer des performances de système, il est souvent nécessaire d'estimer des quantiles et des probabilités faibles. Les techniques habituelles d'estimation de type méthode de Monte Carlo n'étant plus efficaces, nous détaillons les principales techniques d'estimation de probabilités rares telles que l'importance sampling, l'importance splitting ou la théorie des valeurs extrêmes. Ces différents algorithmes sont appliqués au cas de l'estimation d'une zone de retombée d'un engin spatial

International audience; La modélisation du comportement extrême de phénomènes aléatoires spatiaux est indispensable dans l'évaluation et la gestion des risques environnementaux. L'environnement, la climatologie sont des champs d'application privilégiés (températures, précipitations, neige, marée, vent ...). Les champs max-stables spatiaux, en tant que limites de suites normalisées de processus spatiaux, sont des candidats naturels pour modéliser la dépendance spatiale entre événements extrêmes. Nous présentons d'abord la théorie des valeurs extrêmes univariée et multivariée, théorie qui est à la fois fondement et outil pour les champs max-stables. Après avoir défini les processus max-stables et rappelé quelques-unes de leurs propriétés d'intérêt, nous faisons le point sur les principales méthodes inférentielles actuelles. Des outils graphiques originaux et une approche d'inférence innovante pour caractériser la structure de dépendance extrémale entre paires de sites sont alors proposés.

Statistical analysis of extremes currently assumes that data arise from a stationary process, although such an hypothesis is not easily assessable and should therefore be considered as an uncertainty. The aim of this paper is to describe a Bayesian framework for this purpose, considering several probabilistic models (stationary, step-change and linear trend models) and four extreme values distributions (exponential, generalized Pareto, Gumbel and GEV). Prior distributions are specified by using regional prior knowledge about quantiles. Posterior distributions are used to estimate parameters, quantify the probability of models and derive a realistic frequency analysis, which takes into account estimation, distribution and stationarity uncertainties. MCMC methods are needed for this purpose, and are described in the article. Finally, an application to a POT discharge series is presented, with an analysis of both occurrence process and peak distribution.

Au stade de la conception des ponts, toutes les actions possibles et leurs combinaisons doivent être considérées. Dans certains cas, l'influence de l'environnement doit être prise en compte en plus des valeurs de conception des charges de trafic. Afin d'évaluer l'état actuel d'un pont existant, les actions réellement appliquées doivent être prises en compte: situation du trafic mise à jour, actions climatiques surveillées et leurs combinaisons défavorables. Par conséquent, le suivi de toutes les actions permet d'étudier adéquatement une structure. Étant donné que seules des données limitées sont généralement disponibles, la question importante est de savoir comment la qualité et la durée du suivi influencent l'évaluation de la structure. Dans la présente étude appliquée au viaduc de Millau, les effets du trafic surveillé et des actions du vent sont évalués. L'analyse statistique des actions appliquées et des effets provoqués est effectuée selon l'approche POT (Peaks Over Threshold). Les résultats comprennent la comparaison entre les intervalles de confiance des prévisions, pour chaque cas de charge étudié et pour différentes périodes de surveillance. En outre, cet article présente une étude de l'influence de la longueur des données de surveillance sur les prédictions des futurs cas de charges extrêmes, et propose également un algorithme efficace alternatif pour le choix du seuil dans l'approche POT.