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Seit 1993 veranstaltet der Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern jährlich die mathematischen Modellierungswochen. Die Veranstaltung erwuchs parallel zu der steigenden Relevanz angewandter mathematischer Forschungsgebiete, wie der Techno- und der Wirtschaftsmathematik. Sie soll dazu dienen, Schülerinnen und Schülern die Bedeutung mathematischer Arbeitsweisen in der heutigen Berufswelt, insbesondere in Industrie und Wirtschaft, begreifbar zu machen. Darüber hinaus bietet die Modellierungswoche den teilnehmenden Lehrkräften einen Einblick in die Projektarbeit mit offenen Fragestellungen im Rahmen der mathematischen Modellierung. In diesem Report beschreiben wir die Projekte, die während der Modellierungswoche im Dezember 2022 durchgeführt wurden.

Das MINT-EC-Girls-Camp: Math-Talent-School richtet sich an mathematikbegeisterte Schülerinnen von MINT-EC-Schulen, die Einblicke in die Berufswelt von Mathematikerinnen und Mathematikern bekommen möchten. Die Veranstaltung veranschaulicht den Schülerinnen die steigende Relevanz angewandter mathematischer Forschungsgebiete, wie der Techno- und der Wirtschaftsmathematik. Sie soll dazu dienen, Schüler:innen die Bedeutung mathematischer Arbeitsweisen in der heutigen Berufswelt, insbesondere in Industrie und Wirtschaft, begreifbar zu machen. Die Talent-School wird organisiert von MINT-EC und dem Felix-Klein-Zentrum für Mathematik. Die fachwissenschaftliche Betreuung der Schülerinnen während dieser Talent-School wurde durch Mitarbeitende des Kompetenzzentrums für Mathematische Modellierung in MINT-Projekten in der Schule (KOMMS) der TU Kaiserslautern und des Fraunhofer ITWM umgesetzt. In diesem Report beschreiben wir die Projekte, die während der Talent-School im Oktober 2022 durchgeführt wurden.

In this thesis, we first consider the periodic homogenization of the linearized elasticity equation with slip-displacement conditions of a two-scale composite of two solids. The jump conditions are motivated by fibre-reinforced materials, which are often modelled by perfect bonding between fibre and matrix, which may not be true in practice. We are interested in the impact of the interface jumps in displacement on the (upscaled) partial differential equations and distinguish three different cases. While one material is connected, the other one is either disconnected, globally connected or unidirectionally connected. In all three cases, we show the existence and uniqueness of the solution and prove some general compactness and convergence results, whereby we apply the method of periodic unfolding. In the end, we derive the homogenized problem. In the second part of the thesis, we combine the methods of homogenization and parameter identification. We consider the homogenized linear elasticity problem, whereby we assume perfect bonding on the interface of the two-scale composite, and want to deduce from measurements of the deformation on the boundary of a body the structure of the periodicity cell, which can be parametrized by finite real vector. After proving some general properties of the homogenized tensor, which describes the stiffness of the homogenized material, we show that there exists at least one solution of the minimization problem, which minimizes the L^2-difference of the measured deformation and the computed deformation for some given structure of the periodicity cell. Using shape optimization, in particular the Lagrangian method of Céa, we derive the Gâteaux derivative of the homogenized tensor, which we need to compute the Gâteaux derivative of the target functional. Finally, we use these results to apply gradient-based algorithms for some numerical simulations in the steady-state and time-dependent case.

Seit 1993 veranstaltet der Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern jährlich die mathematischen Modellierungswochen. Die Veranstaltung erwuchs parallel zu der steigenden Relevanz angewandter mathematischer Forschungsgebiete, wie der Technomathematik und der Wirtschaftsmathematik. Sie soll dazu dienen, Schülerinnen und Schülern die Bedeutung mathematischer Arbeitsweisen in der heutigen Berufswelt, insbesondere in Industrie und Wirtschaft, begreifbar zu machen. Darüber hinaus bietet die Modellierungswoche den teilnehmenden Lehrkräften einen Einblick in die Projektarbeit mit offenen Fragestellungen im Rahmen der mathematischen Modellierung. In diesem Report beschreiben wir die Projekte, die während der Modellierungswoche im Dezember 2021 durchgeführt wurden. Der Themenschwerpunkt der Veranstaltung lautete "Wetter und Katastrophenschutz".

The main kind of object considered in this thesis are ε-flat Fredholm bundles over simplicial complexes X. These consist of two Hilbert B-module bundles E^(0) and E^(1), equipped with connections with curvature of operator norm bounded by ε and an operator F: E^(0)->E^(1) which restricts to Fredholm operators on the fibres of E^(0) and E^(1), and which commutes with parallel transport up to compact operators. We consider ε-flat Fredholm bundles in the limit ε->0. Our main result is a kind of index theorem which computes the index of these almost flat Fredholm bundles in terms of so-called asymptotic Fredholm representations of the fundamental group. These asymptotic Fredholm representations only depend on the Fredholm operator on the fibre over a basepoint of the base space X and on the parallel transport along a finite set of curves in the geometric realization of X. We make essential use of Thomsen's D-theory, which is a discrete variant of the E-theory of Connes and Higson. As an application of our index theorem, we show that a K-homology class which is detected by indices of ε-flat Fredholm bundles for arbitrarily small ε>0 is mapped to a nonzero class under the maximal assembly map. We show how to use this statement to give a new proof for a special case of Yu's result that the Strong Novikov Conjecture holds for groups with finita asymptotic dimension.

The failure of a brittle dielectric material under mechanical load generates acoustic emission (AE) and electromagnetic emission (EME). Detection and analysis of acoustic signals are commonly used for the investigation of failure in solid materials. AE analysis aims at deriving information about the amount of damage, source position and type of damage from counting signal activity, localizing source positions and identifying classes of signals in order to investigate material failure. Similar to AE analysis, counting and classification of EME signals can provide further information about accumulated damage and failure type. In experiments, we observe further a strong directional character of the EME source, which indicates that EME analysis allows conclusions about position and orientation of fracture surfaces in the material. Both, AE analysis and EME analysis, allow conclusions based on real-time information on a qualitative basis. The lack of detailed understanding of correlation between source mechanisms and measured signals prohibit the reliability of quantitative information so far The profound understanding of the basic characteristics of the emitting EME source and the origins of the electromagnetic fields are essential to enable better analysis and interpretation of emitted signals. We establish a model of the emitting source, which is capable of explaining the different parts of the experimentally obtained EME signals by comparison of simulation and experimental data obtained during mode-I fracture of epoxy resin materials. Three contributions of the EME signals originate from separation and relaxation of charges during crack growth and from the vibration of charged crack surfaces. The simulations reproduce the results of the experimentally examined directional character of the emitted electromagnetic field and the strong dependence of the amplitude of the signals on the distance of source and capacitive sensor plate. The long-term objective of detection and analysis of EME and AE signals for the purpose of determination of failure type, location of failure and orientation of crack walls motivates the need for optimization of the EME sensor system. In particular, because there is no commercial sensor system available for EME detection until now, the development of EME sensor systems employed in the experiments is so far based on the experience of the scientists. Mathematical justification or improvement of these established sensor systems can improve the method considerably. We approach the topic of sensor optimization using and extending the so-called method of shape optimization via homogenization and investigate the applicability of the method in the described context in order to answer questions related to the sensor design in the experiments. Das Versagen eines spröden dielektrischen Materials unter mechanischer Belastung erzeugt Schallemission (AE) und elektromagnetische Emission (EME). Detektion und Analyse akustischer Signale werden häufig für die Untersuchung des Versagens in Feststoffen verwendet. Um Materialversagen zu untersuchen, werden in der Schallemissionsanalyse Informationen über Schadensausmaß, Quellenposition und Schadensart aus Signalaktivität, Lokalisierung von Quellenpositionen und Identifizierung von Signalklassen abgeleitet. Ähnlich wie bei der Schallemissionsanalyse können auch das Zählen und die Klassifizierung von EME-Signalen weitere Informationen über akkumulierte Schäden und Versagensart liefern. In Experimenten beobachten wir au\ss erdem eine stark richtungsabhängige Charakteristik der EME-Quelle. Dies weist darauf hin, dass die EME-Analyse Rückschlüsse auf Position und Orientierung von Bruchflächen im Material zulässt. Sowohl die Schallemissions- als auch die EME-Analyse ermöglichen Schlussfolgerungen qualitativer Art auf der Grundlage von Echtzeitinformationen. Es fehlt ein detailliertes Verständnis der Korrelation von Quellmechanismen und gemessenen Signalen, welches die Verlässlichkeit quantitativer Informationen bisher in Frage stellt. Das Verständnis der grundlegenden Eigenschaften der emittierenden EME-Quelle und des Ursprungs der elektromagnetischen Felder ist also wesentlich, um eine bessere Analyse und Interpretation der emittierten Signale zu ermöglichen. Auf Basis des Vergleichs von Simulationsdaten und experimentellen Ergebnissen, die während des Mode-I-Bruchs von Epoxidharzmaterialien gemessen wurden, erstellen wir ein Modell der emittierenden Quelle. Dieses Modell ist in der Lage, die verschiedenen Anteile der experimentell erhaltenen EME-Signale zu erklären. Die drei Beiträge der EME-Signale stammen aus der Trennung und der Relaxation von Ladungen während des Risswachstums und aus der Vibration geladener Rissoberflächen. Die Simulationen reproduzieren die Ergebnisse des experimentell untersuchten Richtungsverhaltens des emittierten elektromagnetischen Feldes und die starke Abhängigkeit der Amplitude der Signale vom Abstand der Quelle von der kapazitiven Sensorplatte. Das langfristige Ziel der Detektion und Analyse von EME- und AE-Signalen zur Bestimmung von Versagensart, Versagensort und Orientierung der Rissflächen motiviert die Notwendigkeit zur Optimierung des EME-Sensorsystems. Insbesondere da bisher kein kommerzielles Sensorsystem zur EME-Detektion zur Verfügung steht, basiert die Entwicklung der in den Experimenten eingesetzten EME-Sensorsysteme bisher auf den Erfahrungen der Wissenschaftler. Wir befassen uns mit dem Thema der Sensoroptimierung unter Verwendung und Erweiterung der sogenannten Methode der Topologieoptimierung durch Homogenisierung und untersuchen die Anwendbarkeit der Methode im beschriebenen Kontext, um Fragen des Sensordesigns für die Experimente zu beantworten.

Life insurance companies are asked by the Solvency II regime to retain capital requirements against economically adverse developments. This ensures that they are continuously able to meet their payment obligations towards the policyholders. When relying on an internal model approach, an insurer's solvency capital requirement is defined as the 99.5% value-at-risk of its full loss probability distribution over the coming year. In the introductory part of this thesis, we provide the actuarial modeling tools and risk aggregation methods by which the companies can accomplish the derivations of these forecasts. Since the industry still lacks the computational capacities to fully simulate these distributions, the insurers have to refer to suitable approximation techniques such as the least-squares Monte Carlo (LSMC) method. The key idea of LSMC is to run only a few wisely selected simulations and to process their output further to obtain a risk-dependent proxy function of the loss. We dedicate the first part of this thesis to establishing a theoretical framework of the LSMC method. We start with how LSMC for calculating capital requirements is related to its original use in American option pricing. Then we decompose LSMC into four steps. In the first one, the Monte Carlo simulation setting is defined. The second and third steps serve the calibration and validation of the proxy function, and the fourth step yields the loss distribution forecast by evaluating the proxy model. When guiding through the steps, we address practical challenges and propose an adaptive calibration algorithm. We complete with a slightly disguised real-world application. The second part builds upon the first one by taking up the LSMC framework and diving deeper into its calibration step. After a literature review and a basic recapitulation, various adaptive machine learning approaches relying on least-squares regression and model selection criteria are presented as solutions to the proxy modeling task. The studied approaches range from ordinary and generalized least-squares regression variants over GLM and GAM methods to MARS and kernel regression routines. We justify the combinability of the regression ingredients mathematically and compare their approximation quality in slightly altered real-world experiments. Thereby, we perform sensitivity analyses, discuss numerical stability and run comprehensive out-of-sample tests. The scope of the analyzed regression variants extends to other high-dimensional variable selection applications. Life insurance contracts with early exercise features can be priced by LSMC as well due to their analogies to American options. In the third part of this thesis, equity-linked contracts with American-style surrender options and minimum interest rate guarantees payable upon contract termination are valued. We allow randomness and jumps in the movements of the interest rate, stochastic volatility, stock market and mortality. For the simultaneous valuation of numerous insurance contracts, a hybrid probability measure and an additional regression function are introduced. Furthermore, an efficient seed-related simulation procedure accounting for the forward discretization bias and a validation concept are proposed. An extensive numerical example rounds off the last part., Zur Gewährleistung ihrer Solvabilität auch in nachteiligen ökonomischen Szenarien werden Lebensversicherer unter Solvency II aufgefordert, ein Solvenzkapital vorzuhalten. Für Versicherer mit einem internen Modell ist dieses als der 99.5%-Value-at-Risk ihrer einjährigen Verlustverteilung definiert. Im Einführungsteil dieser Dissertation werden die Grundlagen der aktuariellen Modellierung zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung einschließlich bekannter Methoden zur Risikoaggregation vorgestellt. Derzeit verfügen die Versicherer bei Weitem nicht über die Computerkapazitäten, die zur vollständigen Simulation ihrer Verlustverteilung notwendig wären. Deswegen müssen sie auf Approximationstechniken wie die Least-Squares Monte Carlo (LSMC)-Methodik zurückgreifen. Die Idee von LSMC besteht darin, nur wenige geschickt gewählte Simulationen durchzuführen und daraus approximativ den Zusammenhang zwischen Verlust und Risiken herzuleiten. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein theoretischer Rahmen für den LSMC-Ansatz zur Solvenzkapitalberechnung geschaffen. Nachdem die Verbindung zur Bewertung amerikanischer Optionen steht, wird der Ansatz in vier Schritte zerlegt. Im ersten Schritt wird das Monte Carlo Setting definiert. Dann folgen die Schritte zwei und drei zur Kalibrierung und Validierung der Proxyfunktion. Im vierten Schritt wird diese zur Vorhersage der Verlustverteilung angewendet. Parallel werden die Herausforderungen in der Praxis thematisiert sowie ein adaptiver Regressionsalgorithmus präsentiert. Abschließend wird die LSMC-Methodik mit Hilfe eines praktischen Beispiels illustriert. Der zweite Teil baut auf dem ersten auf und beleuchet den Kalibrierungsschritt tiefergehend. Nach einem Literaturüberblick und methodischen Basics werden diverse adaptive Machine Learning Ansätze basierend auf der Methode der kleinsten Quadrate und Modellwahlkriterien zur Herleitung der Proxyfunktion eingeführt. Die untersuchten Regressionstechniken reichen von der gewöhnlichen und verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung über GLM und GAM Methoden bis hin zur MARS Routine und Kernel-Regression. Alle Verfahren werden mathematisch legitimiert sowie anhand von praktischen Experimenten hinsichtlich ihres Verhaltens, ihrer numerischen Stabilität und Out-of-Sample Performance analysiert. Neben dem LSMC-Kontext kommen für diese Verfahren auch andere hochdimensionale Anwendungen mit Variablenselektion infrage. Lebensversicherungsverträge mit der Option zur vorzeitigen Beendigung können ebenfalls durch einen LSMC-Algorithmus bewertet werden. Im dritten Teil dieser Dissertation werden fondgebundene Verträge mit Mindestgarantiezinsen, die Rückkaufsrechte nach dem Vorbild amerikanischer Optionen enthalten, bewertet. Die Modellierung lässt Zufall und Sprünge in den Zins-, Volatilitäts-, Aktienmarkt- und Sterblichkeitsentwicklungen zu. Zur gleichzeitigen Bewertung zahlreicher Versicherungsverträge wird ein hybrides Wahrscheinlichkeitsmaß verwendet. Weiter werden eine seedbasierte Simulationsprozedur zur Kontrolle des Bias bei der Forwärtsdiskretisierung und ein Validierungskonzept vorgeschlagen. Ein numerisches Beispiel rundet den letzten Teil ab.

Die Felix-Klein-Modellierungswoche ist eine Projektwoche für Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe. Wir beschreiben hier die Projekte, die während der Modellierungswoche im Februar 2021 durchgeführt wurden.

In diesem Text werden einige wichtige Grundlagen zusammengefasst, mit denen ein schneller Einstieg in das Arbeiten mit Arduino und Raspberry Pi möglich ist. Wir diskutieren nicht die Grundfunktionen der Geräte, weil es dafür zahlreiche Hilfestellungen im Internet gibt. Stattdessen konzentrieren wir uns vor allem auf die Steuerung von Sensoren und Aktoren und diskutieren einige Projektideen, die den MINT-interdisziplinären Projektunterricht bereichern können.

Die Felix-Klein-Modellierungswoche ist eine Projektwoche für Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe. Wir beschreiben hier die Projekte, die während der Modellierungswoche im Dezember 2020 durchgeführt wurden. Der Themenschwerpunkt der Veranstaltung lautete "Digitaler Wandel"., KOMMS Reports (Reports zur Mathematischen Modellierung in MINT-Projekten in der Schule), 13

We consider the process of phase separation of a binary system under the influence of mechanical stress and we derive a mathematical multiscale model, which describes an evolving microstructure taking into account the elastic properties of the involved materials. Motivated by phase-separation processes observed in lipid monolayers in film-balance experiments, the starting point of the model is the Cahn–Hilliard equation coupled with the equations of linear elasticity, the so-called Cahn–Larché system. Owing to the fact that the mechanical deformation takes place on a macrosopic scale whereas the phase separation happens on a microscopic level, a multiscale approach is imperative. We assume the pattern of the evolving microstructure to have an intrinsic length scale associated with it, which, after non-dimensionalisation, leads to a scaled model involving a small parameter ɛ > 0, which is suitable for periodic-homogenisation techniques. Furthermore, we present a linearised Cahn–Larché system. For the associated ɛ-dependent problem, we proof the existence and uniqueness of a weak solution by a Galerkin approach, for every ɛ > 0. As discretisation in space leads to a linear differential–algebraic system of equations, we apply solution theory for such equations in a weak setting. A-priori estimates enable us to homogenise the linear system rigorously using the concept of two-scale convergence. The full nonlinear problem is formally homogenised using the method of two-scale asymptotic expansion. Both systems leads to models of distributed-microstructure type in the limit. Properties of the limit models are discussed. Finally, numerical simulations based on a finite-element approach are considered to showcase the model behaviour of the nonlinear distributed-microstructure model. Wir betrachten den Prozess der Phasenseparation eines binären Systems unter Einfluss von mechanischer Spannung und leiten ein mathematisches Multiskalenmodell her, das die Entwicklung einer Mikrostruktur unter Berücksichtigung der elastischen Eigenschaften der beteiligten Materialien beschreibt. Motiviert durch Entmischungsprozesse, die in Lipidmonolagen in Filmwaage-Experimenten beobachtet wurden, stellt den Ausgangspunkt des Modells die Cahn-Hilliard-Gleichung dar, die mit den Gleichungen der linearen Elastizität zum sogenannten Cahn-Larché-System gekoppelt wird. Da die mechanische Deformation auf einer makroskopischen Skala stattfindet, wohingegen die Phasenseparation sich auf mikroskopischer Ebene abspielt, ist ein Multiskalenansatz erforderlich. Wir gehen dabei davon aus, dass das Muster der sich entwickelnden Mikrostruktur eine intrinsische Längenskala aufweist, so dass eine Entdimensionalisierung zu einem skalierten Modell mit einem kleinen Parameter ɛ > 0 führt, welches für Techniken der periodischen Homogenisierung geeignet ist. Außerdem stellen wir ein linearisiertes Cahn-Larché-System vor. Für das damit verbundene ɛ-abhängige Problem wird für jedes ɛ > 0 die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung mit Hilfe eines Galerkin-Ansatzes nachgewiesen. Da die Diskretisierung im Ort zu einem linearen differential-algebraischen Gleichungssystem führt, wird die Lösungstheorie für solche Gleichungen in einem schwachen Kontext angewendet. A-priori-Abschätzungen ermöglichen eine rigorose Homogenisierung des linearen Systems mittels Zwei-Skalen-Konvergenz. Das vollständige nichtlineare Problem wird formal mit der Methode der asymptotischen Zwei-Skalen-Entwicklung homogenisiert. Beide Systeme führen beim Übergang zum Grenzwert zu Modellen vom sogenannten Verteilte-Mikrostruktur-Typ. Eigenschaften der Grenzwert-Modelle werden diskutiert. Schließlich werden numerische Simulationen, die auf einem Finite-Elemente-Ansatz basieren, betrachtet, um das Modellverhalten des nichtlinearen Grenzwertmodells vom Verteilte-Mikrostruktur-Typ aufzuzeigen.

Die Felix-Klein-Modellierungswoche ist eine Projektwoche für Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe. Wir beschreiben hier die Projekte, die während der Modellierungswoche im Februar 2020 durchgeführt wurden. Der Themenschwerpunkt der Veranstaltung lautete "Gesundheit und Medizin".

This thesis deals with stochastic models for electricity markets. The focus is on wholesale prices and renewable power generation. Continuous-time autoregressive (CAR) processes are frequently used in this context. We define two new types within the class of CAR processes and show their benefits in application to the electricity market. The first process extends CAR processes with regime switching mean-reversion rates by including a jump component. This is necessary because spikes are one of the most pronounced features of electricity prices. CAR processes with non-constant parameters are also considered in an innovative model for photovoltaic (PV) power generation. This model provides for the first time a pure statistical approach to map intraday variation of solar power infeed. The second newly defined stochastic process allows to include external information in a flexible way. This makes it possible to take many facets of renewable energy production into account when determining the electricity price. Since renewable energies have an increasing impact on electricity prices, models that can handle related information are becoming more and more important. All results are applied to the German electricity market. Implementations for the newly defined processes are provided in R and C++.

Aktuelle Entwicklungen führen zu komplexeren Produktionssystemen, insbesondere in der variantenreichen Serienfertigung. Als Folge bestehen erhebliche Herausforderungen darin, die technische Kapazität mit strategischem Zeithorizont effizient, transparent und flexibel zu planen. Da zahlreiche Abhängigkeiten berücksichtigt werden müssen, ist in der Praxis festzustellen, dass sich Vollständigkeit und Verständlichkeit der Modelle ausschließen. Zur Lösung dieses Zielkonflikts wird ein softwaregestützter Workflow vorgeschlagen, welcher in der neu entwickelten Software AURELIE realisiert wurde. Der Workflow basiert auf der grafischen Modellierung eines geplanten Systems von Wertströmen, der automatischen Validierung und Transformation des grafischen Modells und der automatischen Optimierung des resultierenden mathematischen Modells. Den Ausgangspunkt bildet ein grafisches Modell, das nicht nur verständlich ist, sondern auch das System in seiner Komplexität vollständig widerspiegelt. Aus Sicht der Forschung liegt der wesentliche Beitrag neben einer formalen Systembeschreibung und dem Aufzeigen der Forschungslücke in der Entwicklung der notwendigen Modelle und Algorithmen. Der Neuheitsgrad ist durch den ganzheitlichen Lösungsansatz gegeben, dessen Umsetzbarkeit durch die Software AURELIE belegt wird. Aus Sicht der Praxis werden die Effizienz, Transparenz und Flexibilität im Planungsprozess signifikant gesteigert. Dies wird durch die weltweite Einführung der Software AURELIE an den Standorten der Bosch Rexroth AG bestätigt.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis Recent developments lead to increasingly complex production systems, especially in the case of series production with a great number of variants. As a result, considerable challenges exist in planning the technical capacity with strategic time horizon efficiently, transparently and flexibly. Since numerous interdependencies must be considered, it can be observed in practice that completeness and understandability of the models are mutually exclusive. To solve this conflict of objectives, a software-based workflow is proposed, which was implemented in the newly developed software AURELIE. The workflow relies on the graphical modeling of a planned system of value streams, the automated validation and transformation of the graphical model and the automated optimization of the resulting mathematical model. The starting point is a graphical model, which is not only understandable, but also reflects the system completely with respect to its complexity. From a research perspective, the essential contribution, besides a formal system description and the identification of the research gap, lies in the development of the required models and algorithms. The degree of novelty is given by the holistic solution approach, which is proven feasible by the software AURELIE. From a practical perspective, efficiency, transparency and flexibility in the planning process are significantly increased. This is confirmed by the worldwide implementation of the software AURELIE at the locations of Bosch Rexroth AG.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis

Die MINT-EC-Girls-Camp: Math-Talent-School ist eine vom Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM) initiierte Veranstaltung, die regelmäßig als Kooperation zwischen dem Felix-Klein-Zentrum für Mathematik und dem Verein mathematisch-naturwissenschaftlicher Excellence-Center an Schulen e.V. (Verein MINT-EC) durchgeführt wird. Die methodisch-didaktische Konzeption der Math-Talent-Schools erfolgt durch das Kompetenzzentrum für Mathematische Modellierung in MINT-Projekten in der Schule (KOMMS), einer wissenschaftlichen Einrichtung des Fachbereichs Mathematik der Technischen Universität Kaiserslautern. Die inhaltlich-organisatorische Ausführung übernimmt das Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM in enger Abstimmung und Kooperation von Wissenschaftlern der Technischen Universität und des Fraunhofer ITWM. Die MINT-EC-Girls-Camp: Math-Talent-School hat zum Ziel, Mathematik-interessierten Schülerinnen einen Einblick in die Arbeitswelt von Mathematikerinnen und Mathematikern zu geben. In diesem Artikel stellen wir die Math-Talent-School vor. Hierfür werden die fachlichen und fachdidaktischen Hintergründe der Projekte beleuchtet, der Ablauf der Veranstaltung erläutert und ein Fazit gezogen.

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019; Aachen 1 Online-Ressource (V, 349 Seiten) : Illustrationen, Diagramme (2019). = Dissertation, RWTH Aachen University, 2019, Today, students live in a world strongly influenced by digitisation and data. In order to solve real-word problems with data, knowledge of mathematical modelling and methods from the field of data science are necessary. At the moment, teaching data science is not explicitly provided within teaching guidelines. However, initial ideas can already be found in didactic research. In order to make a contribution to this discourse, the dissertation will illustrate the development and evaluation of teaching materials for data science and mathematical modelling with high school students by focussing on questions about "privacy of data in social networks" and "evolutionary distances". For this purpose, background information on data science and mathematical modelling is given (Chapter 2). Chapter 3 deals with "privacy of data in social networks" and Chapter 4 considers "evolutionary distances". Both chapters include an introduction into the mathematical (and biological) background and a description of the teaching materials as well as a didactic reflection on it. In addition, first empirical results from tests of the materials and an outlook on further work steps are presented. The topics are prepared in a subject-related didactic way: Existing methods and models are elementarily presented or linked; aspects of data science and mathematical modelling are underlined as well as applied and analysed to real data. This will be done on the topic of privacy of data following from a master's thesis by expanding the existing investigations. For the topic of evolution, the mathematical work is newly invented. Different models for distance calculation and phylogenetic tree creation are combined to form a comprehensive model and are edited. The results of the application to a data set are evaluated in great detail. Additionally, the influence of the underlying assumptions is discussed. This part of the work is addressed to those readers interested in mathematics and biology on university level. In particular, it serves teachers in mathematics or biology as supplementary material for the treatment of working materials. The teaching material, which has been developed based on this, is presented and evaluated within this work. The topic of privacy of data can be dealt within the context of an Abitur examination with high school students in advanced courses for mathematics from the 11th grade on. The topic evolution is intended as a project day for high school students of mathematics from the 9th grade on or for high school students in an advanced biology class. The materials show a balance between the fulfilment of given framework conditions (e.g. the curriculum) and further didactic quality criteria: The materials can be seen as innovative; the problems are authentic, relevant and demonstrate the main aspects of mathematical modelling. They show data science and mathematical modelling in complementary form. In addition, problem-oriented concepts can be created, which are worked on as actively and independently by the students. The fact that the concepts are appropriate for the target groups is theoretically supported by reference to the curricula and practically by initial tests., Published by Aachen

Dieser Beitrag beschreibt eine Lernumgebung für Schülerinnen und Schüler der Unter- und Mittelstufe mit einem Schwerpunkt im Fach Mathematik. Das Thema dieser Lernumgebung ist die Simulation von Entfluchtungsprozessen im Rahmen von Gebäudeevakuierungen. Dabei wird das Konzept eines zellulären Automaten vermittelt, ohne dabei Programmierkenntnisse vorauszusetzen oder anzuwenden. Anhand dieses speziellen Simulationswerkzeugs des zellulären Automaten werden Eigenschaften, Kenngrößen sowie Vor- und Nachteile von Simulationen im Allgemeinen thematisiert. Dazu gehören unter anderem die experimentelle Datengewinnung, die Festlegung von Modellparametern, die Diskretisierung des zeitlichen und räumlichen Betrachtungshorizonts sowie die zwangsläufig auftretenden (Diskretisierungs-)Fehler, die algorithmischen Abläufe einer Simulation in Form elementarer Handlungsanweisungen, die Speicherung und Visualisierung von Daten aus einer Simulation sowie die Interpretation und kritische Diskussion von Simulationsergebnissen. Die vorgestellte Lernumgebung ermöglicht etliche Variationen zu weiteren Aspekten des Themas „Evakuierungssimulation“ und bietet dadurch auch vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten.

Wir zeigen an einigen Beispielen, wie man numerische Simulationen in Tabellenkalkulationsprogrammen (hier speziell in Excel) erzeugen kann. Diese können beispielsweise im Kontext von mathematischer Modellierung verwendet werden. Die Beispiele umfassen ein Modell zur Ausbreitung von Krankheiten, die Flugkurve eines Fußballs unter Berücksichtigung von Luftreibung, eine Monte-Carlo-Simulation zur experimentellen Bestimmung von pi, eine Monte-Carlo-Simulation eines gemischten Kartenstapels und die Modellierung von Benzinpreisen mit einem Preistrend und Rauschen

Phase decomposition in lipid membranes has been the subject of numerous investigations by both experiment and theoretical simulation,(1) yet quantitative comparisons of the simulated data to the experimental results are rare.(2) In this work, we present a novel way of comparing the temporal development of liquid-ordered domains obtained from numerically solving the Cahn–Hilliard equation and by inducing a phase transition in giant unilamellar vesicles (GUVs). Quantitative comparison is done by calculating the structure factor of the domain pattern. It turns out that the decomposition takes place in three distinct regimes in both experiment and simulation. These regimes are characterized by different rates of growth of the mean domain diameter, and there is quantitative agreement between experiment and simulation as to the duration of each regime and the absolute rate of growth in each regime.

Die Akustik liefert einen interessanten Hintergrund, interdisziplinären und fächerverbindenen Unterricht zwischen Mathematik, Physik und Musik durchzuführen. SchülerInnen können hierbei beispielsweise experimentell tätig sein, indem sie Audioaufnahmen selbst erzeugen und sich mit Computersoftware Frequenzspektren erzeugen lassen. Genauso können die Schüler auch Frequenzspektren vorgeben und daraus Klänge erzeugen. Dies kann beispielsweise dazu dienen, den Begriff der Obertöne im Musikunterricht physikalisch oder mathematisch greifbar zu machen oder in der Harmonielehre Frequenzverhältnisse von Intervallen und Dreiklängen näher zu untersuchen. Der Computer ist hier ein sehr nützliches Hilfsmittel, da der mathematische Hintergrund dieser Aufgabe -- das Wechseln zwischen Audioaufnahme und ihrem Frequenzbild -- sich in der Fourier-Analysis findet, die für SchülerInnen äußerst anspruchsvoll ist. Indem man jedoch die Fouriertransformation als numerisches Hilfsmittel einführt, das nicht im Detail verstanden werden muss, lässt sich an anderer Stelle interessante Mathematik betreiben und die Zusammenhänge zwischen Akustik und Musik können spielerisch erfahren werden. Im folgenden Beitrag wird eine Herangehensweise geschildert, wie wir sie bereits bei der Felix-Klein-Modellierungswoche umgesetzt haben: Die SchülerInnen haben den Auftrag erhalten, einen Synthesizer zu entwickeln, mit dem verschiedene Musikinstrumente nachgeahmt werden können. Als Hilfsmittel haben sie eine kurze Einführung in die Eigenschaften der Fouriertransformation erhalten, sowie Audioaufnahmen verschiedener Instrumente.

Der vorliegende Artikel befasst sich mit der Realisierung eines einfachen Motion Capturing Verfahrens in MATLAB als Vorschlag für eine Umsetzung in der Schule. Die zugrunde liegende Mathematik kann ab der Mittelstufe leicht vermittelt werden. Je nach technischer Ausstattung können mit einfachen Mitteln farbige Marker in Videos oder Webcam-Streams verfolgt werden. Notwendige Konzepte und Algorithmen werden im Artikel beleuchtet.

Insbesondere bei der industriellen Nutzung tiefer geothermischer Systeme gibt es Risiken, die im Hinblick auf eine zukunftsträchtige Rolle der Ressource "Geothermie" innerhalb der Energiebranche eingeschätzt und minimiert werden müssen. Zur Förderung und Unterstützung dieses Prozesses kann die Mathematik einen entscheidenden Beitrag leisten. Um dies voranzutreiben haben wir zur Charakterisierung tiefer geothermischer Systeme ein Säulenmodell entwickelt, das die Bereiche Exploration, Bau und Produktion näher beleuchtet. Im Speziellen beinhalten die Säulen: Seismische Erkundung, Gravimetrie/Geomagnetik, Transportprozesse, Spannungsfeld.

We will be concerned with the mathematical modeling, numerical simulation, and shape optimization of microfluidic biochips that are used for various biomedical applications. A particular feature is that the fluid flow in the fluidic network on top of the biochips is induced by surface acoustic waves generated by interdigital transducers. We are thus faced with a multiphysics problem that will be modeled by coupling the equations of piezoelectricity with the compressible Navier-Stokes equations. Moreover, the fluid flow exhibits a multiscale character that will be taken care of by a homogenization approach. We will discuss and analyze the mathematical models and deal with their numerical solution by space-time discretizations featuring appropriate finite element approximations with respect to hierarchies of simplicial triangulations of the underlying computational domains. Simulation results will be given for the propagation of the surface acoustic waves on top of the piezoelectric substrate and for the induced fluid flow in the microchannels of the fluidic network. The performance of the operational behavior of the biochips can be significantly improved by shape optimization. In particular, for such purposes we present a multilevel interior point method relying on a predictor-corrector strategy with an adaptive choice of the continuation steplength along the barrier path. As a specific example, we will consider the shape optimization of pressure driven capillary barriers between microchannels and reservoirs.

The paper deals with the numerical computation of a crack problem posed on microstructural heterogeneous materials containing multiple phases in the microstructure. The failure of such materials is a natural multi-scale effect since cracks typically nucleate in regions of defects on the microscopic scale. The modeling strategy for solving the crack problem concerns simultaneously the macroscopic and microscopic models. Our approach is based on an efficient combination of the homogenization technique and the mesh superposition method (s-version of the finite element method). The homogenized model relies on a double-scale asymptotic expansion of the displacement field. The mesh superposition method uses two independent (global and local) finite element meshes and the concept of superposing the local mesh arbitrarily on the global continuous mesh. The crack is treated by the local mesh and the homogenized material model is considered on the global mesh. Numerical experiments for problems on biomorphic microcellular ceramic templates with porous microstructures of different materials constituents are presented.

Im realitätsbezogenen Mathematikunterricht werden Aspekte der Realität ausgewählt und mathematisch modelliert. So lassen sich natürliche, wirtschaftliche oder soziale Zusammenhänge besser verstehen und verändern. In vielen Fällen sind dabei Simulationen von einfachen Modellen sehr hilfreich. Offene Unterrichtsmethoden sind im realitätsbezogenen Mathematikunterricht besonders empfehlenswert, weil so vielfältige Chancen zu entdeckendem Lernen, hoher Motivation und nachhaltigem Lernerfolg eröffnet werden. Eine Lehrkraft in Mathematik wird im realitätsbezogenen Mathematikunterricht von einer Person, an deren strengen Frontalunterricht mit vielen unangenehmen Prüfungen sich noch Erwachsene in Alpträumen erinnern, zum beliebten Menschen, der hilft, die Welt der Mathematik und mit ihr die Welt außerhalb der Mathematik zu verstehen und zu verändern. Das klingt motivierend, oder? Aber: Wie kann eine Lehrkraft, die nie in dieser Weise unterrichtet wurde, ihren Unterricht in dieser Richtung ändern? Dieses Lernbuch hilft dabei! Ausgehend von kleinen Schritten, etwas umformulierten Schulbuchaufgaben, bis hin zu größeren Projekten werden Sie als Leserin bzw. als Leser zum Mitmachen und Ausprobieren eingeladen. In dieser neuen Auflage sind auf fast 40 Seiten ein Theoriekapitel und viele neue Unterrichtsbeispiele hinzugekommen., Vorwort ..... 5 Danksagung ..... 7 Anschließend noch eine Anmerkung zu Bildrechten ..... 9 Anmerkungen zur zweiten Auflage ..... 11 Kapitel 1: Einleitung ..... 13 Mathematisches Modellieren anhand einer konkreten Idee – Smartphone-Tarif ..... 14 Entscheidungen zum Start ..... 18 Erste Modellierung ..... 20 Reflexion der ersten Modellierung ..... 26 Zwischenfazit nach der ersten Modellierung ..... 27 Erste Modellverbesserung im Detail: Taktung ..... 28 Verbessertes Modell: Telefon- + SMS-Gebühren ..... 35 Fazit Smartphoneprojekt ..... 39 Kapitel 2: Motivation ..... 41 Nachhaltig positives Image ..... 42 Besseres Verständnis von Mathematik durch mehr Wissen über Mathematik ..... 43 Zur Perspektive von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern ..... 46 Kapitel 3: Einige empirische Forschungsergebnisse zum Themenbereich Modellieren im realitätsbezogenen Mathematikunterricht ..... 49 Empirie und Modellbildung ..... 51 Ein Beispiel für eine qualitative Forschung ..... 55 Kapitel 4: Erste Schritte – Wege zum Öffnen des Mathematikunterrichts ..... 61 Herausforderungen beim Stellen von Mathematikaufgaben ..... 62 Zur didaktischen Qualität von Aufgaben – neue Wege öffnen ..... 63 Analyse des Kleingedruckten - Lesekompetenz fördern im Mathematikunterricht? ..... 67 Noch kleinere Schritte? Selbstständiges Problemlösen lernen mit leicht veränderten Schulbuchaufgaben ..... 69 Viele Beispiele für stärkeren Realitätsbezug aus verschiedenen Themengebieten und Schulstufen ..... 71 „Roll It“ ..... 81 Welche Route nehmen wir? ..... 82 Getränkeversorgung Elternabend/Schulfest ..... 89 Zimmer einrichten ..... 91 Mäuse im Getreidespeicher ..... 93 Robotersteuerung ..... 98 Goldener Schnitt ..... 102 Beschreibende Statistik: Eine Firmenbilanz positiv oder negativ darstellen ..... 106 Mogelpackungen – Volumen schätzen ..... 110 Schatzkarte ..... 112 Klassenraum anstreichen ..... 113 Hinweise auf andere Ideen und Veröffentlichungen zu kleineren Projekten in der Schule ..... 116 Das Thema Energie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I ..... 116 Der tropfende Wasserhahn ..... 116 Raumheizung ..... 117 Mathematikunterricht rund ums Auto ..... 118 Geld als Thema für realitätsbezogenen Mathematikunterricht ..... 123 Spiele gewinnen mit Hilfe von etwas Mathematik ..... 123 Das Bewerten von Projektergebnissen ..... 125 Kapitel 6: Zwei Beispiele für größere Projekte ..... 133 Projektphasen ..... 134 Projekt 1: Sportwetten aus mathematischer Perspektive ..... 137 Projektstart: Wie starten wir? ..... 139 Erste Modellierung ..... 142 Zusatzfrage: Wetten Buchmacher mit? ..... 145 Anmerkung zur Unterrichtsmethodik ..... 150 Die Angst des Buchmachers vorm Risiko ..... 155 Eine kleine Modellvariation: Reaktion auf Unerwartetes ..... 157 Modellrechnungen zur Reaktion des Buchmachers ..... 158 Zusätzliche Modellannahmen und Simulationen ..... 167 Didaktische Überlegungen zur Entwicklung des Themas Sportwetten im Unterricht ..... 168 Probedurchlauf ..... 170 Projekt 2: Wettbetrug als Thema mathematischer Modellierungen und als Warnung für die Lernenden ..... 173 Abschließende Reflexion: Suchtprävention als Unterrichtsziel? ..... 180 Kapitel 7: Wie modellieren Profis? Und was nützt uns das für den Mathematikunterricht? ..... 183 Magnetresonanztomographie ..... 186 Landwirtschaft ..... 189 Transport und Logistik ..... 195 Hermes: Hitzeverteilung beim Wiedereintritt in die Erdatmosphäre ..... 197 Wege zu Referatsthemen: Max Planck Institute ..... 198 Andere Wege: Geschichte ..... 198 Kapitel 8: Überlegungen zur Theorie des mathematischen Modellierens in der Schule ..... 201 Was ist Realität? Was ist "wahr"? ..... 201 Einige Überlegungen zum mathematischen Modellieren ..... 210 Verantwortung? ..... 218 Exkurs "Mathematik als Technologie" ..... 219 Kapitel 9: Zwischenbilanz ..... 225 Tipps zur effizienten Vorbereitung realitätsbezogenen Mathematikunterrichts ..... 226 Wie finde ich selbst neue Beispiele? Wie finden meine Schülerinnen und Schüler Beispiele? ..... 230 Die Welt mit mathematischen Augen sehen ..... 232 Die Welt mit Hilfe der Mathematik besser verstehen und verändern ..... 235 Zwischenbilanz für den Lernerfolg Ihrer Schülerinnen und Schüler ..... 236 Ausblick ..... 238 Ausklang ..... 240 Literatur ..... 241

Die Planung von Bushaltestellen in Innenstadten ist ein authentisches Thema, welches sich fur den Einsatz in einem realitatsbezogenen Unterricht in unterschiedlichen Klassenstufen eignet. Verschiedene Interessen und Gegebenheiten mussen in einem Modell und in einer Losungsstrategie vereint werden. Durch eine sehr offen gewahlte Fragestellung sind verschiedene Ansatze und Modelle moglich. Somit wird mathematisches Modellieren trainiert und das Durchlaufen eines Modellierungsprozesses in einem interessanten Projekt ermoglicht. Die mathematischen Hintergrunde sowie das vielseitige Losungsspektrum von Schulerinnen und Schulern unterschiedlicher Jahrgangsstufen zu derselben Fragestellung werden im Folgenden vorgestellt.

Die Autoren befassen sich mit der Ableitung und Bearbeitung eines Modellierungsprojektes aus der popularen Sportart Fusball: Ein Freistos wird unter Beachtung der gegebenen physikalischen Effekte mathematisch modelliert und simuliert. Der Fokus liegt auf der moglichen Durchfuhrung dieses Modellierungsprojekts mit Schulerinnen und Schulern der Sekundarstufe II.

Um Spielkarten zu mischen gibt es unterschiedliche Techniken, die sich sowohl in ihrem Zeitaufwand, als auch in der Gute der Durchmischung unterscheiden. Der folgende Artikel vermittelt, wie man die Frage nach einer besonders guten Mischtechnik nutzen kann, um mathematische Modellierung anhand einer alltagsnahen Fragestellung in den Unterricht einzubinden. Dabei konnen verschiedene Aspekte der Stochastik angesprochen werden, und es bietet sich ein breites Potential, auf unterschiedlichen Niveaus Computer zum Generieren von Zufallsexperimenten zu verwenden.

Der Beitrag beschaftigt sich mit der Frage, ob Schildkroten alleine anhand der Musterung bzw. Struktur ihres Bauch- und Ruckenpanzers eindeutig identifiziert werden konnen. Dabei sollen sinnvolle Identifizierungsmerkmale entwickelt werden, die auf der Basis von Fotos ausgewertet werden. Das Besondere an diesem Problem ist, dass es mit Lernenden ganz unterschiedlicher Altersstufen bearbeitet werden kann und dass es eine unheimliche Vielfalt an mathematischen Methoden gibt, die auf dem Weg zu einer Losung hilfreich sind: Dies reicht von einfachen geometrischen Uberlegungen uber Analysis (Integration, Kurvendiskussion) bis hin zu mathematischer Bildverarbeitung und Fragen der Robustheit. Genauso breit wie das Spektrum der einsetzbaren mathematischen Werkzeuge ist die Altergruppe, mit der ein derartiges Projekt durchfuhrbar ist: Vom Grundschulalter bis hin zur Masterarbeit ist eine Bearbeitung moglich, und die benotigte Zeitspanne reicht von wenigen Stunden bis hin zu mehreren Monaten. Im Beitrag wird die angesprochene Vielfalt exemplarisch gezeigt, so dass die Leser im Idealfall das Projekt genau an die Bedurfnisse ihrer Lerngruppe anpassen konnen.

This doctoral thesis is concerned with the mathematical modeling of magnetoelastic materials and the analysis of PDE systems describing these materials and obtained from a variational approach. The purpose is to capture the behavior of elastic particles that are not only magnetic but exhibit a magnetic domain structure which is well described by the micromagnetic energy and the Landau-Lifshitz-Gilbert equation of the magnetization. The equation of motion for the material’s velocity is derived in a continuum mechanical setting from an energy ansatz. In the modeling process, the focus is on the interplay between Lagrangian and Eulerian coordinate systems to combine elasticity and magnetism in one model without the assumption of small deformations. The resulting general PDE system is simplified using special assumptions. Existence of weak solutions is proved for two variants of the PDE system, one including gradient flow dynamics on the magnetization, and the other featuring the Landau-Lifshitz-Gilbert equation. The proof is based on a Galerkin method and a fixed point argument. The analysis of the PDE system with the Landau-Lifshitz-Gilbert equation uses a more involved approach to obtain weak solutions based on G. Carbou and P. Fabrie 2001., Die vorliegende Doktorarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung magnetoelastischer Materialien und der Analysis von Systemen partieller Differentialgleichungen für diese Materialien. Die Herleitung der partiellen Differentialgleichungen erfolgt mittels eines variationellen Zugangs. Ziel ist es, das Verhalten elastischer Teilchen zu beschreiben, welche nicht nur magnetisch sind, sondern sich durch eine magnetische Domänenstruktur auszeichnen. Diese Struktur wird beschrieben durch die mikromagnetische Energie und die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung der Magnetisierung. Die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit des Materials ist in einem kontinuumsmechanischen Setting von einer Energiegleichung abgeleitet. In der Modellierung liegt der Fokus auf dem Zusammenspiel von Lagrange’schen und Euler’schen Koordinaten, um Elastizität und Magnetismus in einem Modell zu kombinieren. Dies geschieht ohne die Annahme kleiner Deformationen. Das resultierende allgemeine System partieller Differentialgleichungen wird durch spezielle Annahmen vereinfacht und es wird die Existenz von schwachen Lösungen gezeigt. Der Beweis wird für zwei Varianten des Differentialgleichungssystems geführt. Das erste System enthält die Beschreibung der Dynamik der Magnetisierung mittels Gradientenfluss, im zweiten wird die Dynamik mittels Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung beschrieben. Schlüsselidee des Beweises ist ein Galerkin-Ansatz, kombiniert mit einem Fixpunkt-Argument. Zum Beweis der Existenz schwacher Lösungen des Systems mit Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung wird eine aufwändigere Methode herangezogen, welche auf einer Arbeit von G. Carbou und P. Fabrie aus 2001 beruht.

Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, aufzuzeigen, wie eine mathematische Modellierung, verbunden mit Simulations- und Ansteuerungsaspekten eines Segways im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe als interdisziplinäres Projekt umgesetzt werden kann. Dabei werden sowohl Chancen, im Sinne von erreichbaren mathematischen Kompetenzen, als auch Schwierigkeiten eines solchen Projektes mit einer interdisziplinären Umsetzung geschildert.

Dieser Sammelband entstand im Zusammenhang mit dem von den Herausgebern organisierten Minisymposium zum Thema „Problemlöse- und Modellbildungsprozesse bei Schülerinnen und Schülern“ bei der gemeinsamen Jahrestagung von GDM und DMV im Jahr 2007 in Berlin. Im Rahmen dieses Minisymposiums wurde diskutiert, wie Problemlöse- und Modellbildungsprozesse bei Schülerinnen und Schülern der Primar- und Sekundarstufe tatsächlich ablaufen und wie sie durch geeignete Studien beschrieben werden können. In diesem Zusammenhang stellt sich auch die Frage, wie solche Problemlöse- und Modellbildungsprozesse im Unterricht gefördert werden und welche Aufgaben oder Probleme derartige Prozesse anregen können.

Das vorliegende Buch wendet sich an Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrer. Es enthält Beiträge zur Herausbildung von Modellierungskompetenzen unter fächerübergreifenden Aspekten. Die Fallstudien sollen zur mathematischen Modellierung von Anwendungssituationen im Mathematikunterricht der SI und SII anregen. Die vorgestellten Beispiele aus unterschiedlichen Bereichen sollen deutlich machen wie Mathematik in ihrer „Werkzeugfunktion“ genutzt werden kann, um für die Lösung realistischer Probleme geeignete mathematische Modelle zu finden.

Primzahlenbild 1-9216, 1 + 1 = 3, Farbfraktal – bereits solche Titel von Werken der Konkreten Kunst verweisen auf die engen Beziehungen dieser Kunstgattung zur Mathematik. Wie lassen sich solche Verbindungen im Mathematikunterricht nutzen, um zentrale Kompetenzen wie Modellieren, Argumentieren oder Problemlösen anzusprechen? Der Autor gibt einen Überblick über die Verknüpfungen von Konkreter Kunst und Mathematik: Bei dieser Gattung bildender Kunst spielen die Kunstschaffenden mit logischen Regeln. Eine Aufgabe des Betrachters kann das Herauslesen der Regelwerke aus den Bildern sein. Dabei erfordern die Suche nach Strukturen und das Beschreiben derartiger Regelmäßigkeiten ganz ähnliche Tätigkeiten, wie sie beim mathematischen Modellieren von Alltagsphänomenen notwendig sind. Doch welche Art von Modellen entsteht hierbei? Theoretische Überlegungen zum Modellieren spannen den Bogen zu Computersimulationen, die als wichtige Werkzeuge im Modellierungsprozess angesehen werden. Die Analyse Konkreter Kunstwerke und ihre Variation mittels Computersimulationen bilden daher eine Einheit, die sich als Zwei-Phasen-Schema auch auf die Modellierung von Realsituationen übertragen lässt. Anhand empirischer Daten wird der Bezug dieser Vorgehensweise zum Problemlösen und mathematischen Modellieren herausgearbeitet und es werden Aufgaben für den Einsatz im Unterricht der Sekundarstufe vorgestellt.

Under the current interests of artificial active particles diffusing in the microscopic geometries, we numerically study the transport and diffusion of Janus micro-swimmers along a narrow periodically corrugated channel. With the motivation of the recent experimental development of the active particles with or without chirality, we introduce the Langevin approach to describe 2D model of the bulk diffusion of active particles proposed in previous literature. Regarding the extreme difficulty of analytically solving the FJ equations of active diffusion in confinement, in this thesis we investigate the confined active transport numerically. We transfer the Langevin equations into finite difference equations, and introduce the algorithm of sliding boundary condition for the investigation of confined active diffusion. For the purpose of quantitative characterization, we define two key transport quantifiers: the rectification power and channel diffusivity at the steady state. The simulation results and analysis of the autonomous transport and diffusivity are displayed, and it is found that characterization functions strongly depend on the self-propulsion mechanism and chirality of the JP, as well as the channel geometry. This simplified model so-far discussed in this thesis can be considered as a stepping stone for more challenging generalizations and a useful reference for the real applications of control techniques.

Embedded in an interdisciplinary research project, the present work investigates the modeling, simulation, and optimization of specific processes for the production of functional nanoparticles. The examined material systems represent a selection of important core building blocks for future nanotechnologies. Depending on the application, a well-defined particle size distribution of the final product is required. The involved mechanisms (e.g. reaction, growth, ripening, and agglomeration) are described in the modeling by a hyperbolic partial integro-differential equation coupled to one or more ordinary differential equations. The successful validation against experimental data combined with the techniques of optimal control theory thereby allow for a targeted manipulation of the underlying processes. The developed methods establish in many cases for the first time a systematic approach for the production of tailor-made nanoparticles.

The sorting of biological cells using biological micro-electro-mechanical systems (BioMEMS) is of utmost importance in various biomedical applications. Here, we consider a new type of devices featuring surface acoustic wave (SAW) actuated cell sorting in microfluidic separation channels. The SAWs are generated by an interdigital transducer (IDT) and manipulate the fluid flow such that cells of different type leave the channel through designated outflow boundaries. The operation of the device can be formulated as an optimal control problem where the objective functional is of tracking type, the state equations describe the fluid-structure interaction between the carrier fluid and the cells, and the control is the electric power applied to the IDT.

This dissertation was the result of the interdisciplinary project SimuVSP founded by the Federal Ministry of Economics and Technology. Focus of the project is the numerical simulation and optimisation of ship hull geometries with Voith-Schneider-Propeller (VSP). The dissertation is covering the parametric modelling, the simulation and the optimisation. The development of the geometry model is done with respect to ship hull geometries with VSP. For the simulation of the fluid a finite volume method is used. The control of the model is based on parameters which describe the form of the geometry. The process of simulating and optimising the ship geometry is described. Results are shown.

Inductive heating is a technological process where a steel workpiece is surrounded by an electromagnetic coil to which currents at various frequencies and time-varying amplitudes are applied. The amplitudes are considered as the controls and the objective is to heat the workpiece up to a desired temperature profile at the final time of the heating process. The workpiece is then quenched which due to a phase transition in the crystallographic structure of the steel leads to a hardening of the surface of the workpiece. For the inductive heating process, the state equations represent a coupled system of nonlinear partial differential equations consisting of the eddy currents equations in the coil, the workpiece, and the surrounding air, and a heat equation in the workpiece. The nonlinearity stems from the temperature dependent nonlinear material laws for steel both with regard to its electromagnetic and thermal behavior. Following the principle 'Discretize first, then optimize', we consider a semi-discretization in time by the implicit Euler scheme which leads to a discrete-time optimal control problem. We prove the existence of a minimizer for the discrete-time optimal control problem and derive the first order necessary optimality conditions.

This thesis gives an overview over mathematical modeling of complex fluids with the discussion of underlying mechanical principles, the introduction of the energetic variational framework, and examples and applications. The purpose is to present a formal energetic variational treatment of energies corresponding to the models of physical phenomena and to derive PDEs for the complex fluid systems. The advantages of this approach over force-based modeling are, e.g., that for complex systems energy terms can be established in a relatively easy way, that force components within a system are not counted twice, and that this approach can naturally combine effects on different scales. We follow a lecture of Professor Dr. Chun Liu from Penn State University, USA, on complex fluids which he gave at the University of Wuerzburg during his Giovanni Prodi professorship in summer 2012. We elaborate on this lecture and consider also parts of his work and publications, and substantially extend the lecture by own calculations and arguments (for papers including an overview over the energetic variational treatment see [HKL10], [Liu11] and references therein)., Die vorliegende Masterarbeit beschaeftigt sich mit der mathematischen Modellierung komplexer Fluessigkeiten. Nach einer Einfuehrung in das Thema der komplexen Fluessigkeiten werden grundlegende mechanische Prinzipien im zweiten Kapitel vorgestellt. Im Anschluss steht eine Einfuehrung in die Modellierung mit Hilfe von Energien und eines variationellen Ansatzes. Dieser wird im vierten Kapitel auf konkrete Beispiele komplexer Fluessigkeiten angewendet. Dabei werden zunaechst viskoelastische Materialien (z.B. Muskelmasse) angefuehrt und ein Modell fuer solche beschrieben, bei dem Eigenschaften von Festkoerpern und Fluessigkeiten miteinander kombiniert werden. Anschliessend untersuchen wir den Ursprung solcher Eigenschaften und die Auswirkungen von bestimmten Molekuelstrukturen auf das Verhalten der umgebenden Fluessigkeit. Dabei betrachten wir zunaechst ein Mehrskalen-Modell fuer Polymerfluessigkeiten und damit eine Kopplung mikroskopischer und makroskopischer Groessen. In einem dritten Beispiel beschaeftigen wir uns dann mit einem Model fuer nematische Fluessigkristalle, die in technischen Bereichen, wie beispielsweise der Displaytechnik, Anwendung finden. Geschlossen wird mit einem Ausblick auf weitere Anwendungsgebiete und mathematische Probleme. Wir folgen einer Vorlesung von Professor Dr. Chun Liu von der Penn State University, USA, die er im Sommer 2012 im Rahmen einer Giovanni-Prodi Gastprofessur an der Universitaet Wuerzburg ueber komplexe Fluessigkeiten gehalten hat. Bei der Ausarbeitung werden ebenfalls Teile seiner Veroeffentlichungen aufgegriffen und die Vorlesung durch eigene Rechnungen und Argumentationsschritte deutlich erweitert.

Die mathematische Modellierung und Analyse elektrischer Energieübertragungssysteme mit dezentraler Erzeugung begründet sich in der zunehmenden Bedeutung an erneuerbaren Energiequellen, wie etwa Wind- oder Solarenergie. Eine Nutzung derartiger Systeme erfordert neben der Steuerung der Energieerzeugungsanlagen auch die der Energieflüsse, und das unter Beachtung von Unsicherheiten. Es ergeben sich, in mathematischer Betrachtungsweise, Verknüpfungen kombinatorischer und stochastischer Effekte unter Miteinbeziehung von Netzwerken, die zu hochgradig nichtlinearen Strukturen führen und geeignete Approximationstechniken erfordern. Unterschiedliche Interpretationen des Risikos, von risikoneutralen bis hin zu risikoaversen Modellierungen unter Nutzung geeigneter statistischer Parameter, werden angesprochen. Dekompositionsalgorithmen für zweistufige stochastische gemischt-ganzzahlige Modelle werden vorgestellt, mit deren Hilfe es möglich ist, sowohl lineare als auch nichtlineare Approximationen der Energieflüsse bei adäquater Modellierung des Zufalls zu beachten. Zahlreiche Beispielrechnungen werden aufgezeigt. Dissertation, Universität Duisburg-Essen, 2008 - In der vorliegenden Neuauflage wurden Tippfehler korrigiert. Das Layout wurde geringfügig überarbeitet. Zudem wurde auf den Seiten 38, 53, 99 und 108 jeweils eine Korrektur in der Symbolik vorgenommen. Bis auf die angesprochenen Änderungen sind die 1. und 2. Auflage inhaltlich identisch.

In this work we provide a general classification of dynamic transportation networks (DTNs), which represent macroscopic PDE/ODE-based descriptions of network flow problems. There is a broad variety of versions depending on the application; for example it is possible to model buffers, where particles can be stored. Furthermore, we can describe the evolution of density by conservation laws and model different kinds of coupling conditions. Afterwards we consider optimisation techniques. We discuss the advantages of mixed integer optimisation and presented a general strategy how DTNs can be transformed into linear mixed-integer optimization Problems (short MIPs). Furthermore, we show how the knowledge of the problem structure can be used to introduce bounding heuristics which are extremely efficient to speed up the optimisation procedure. Within this frame, we present specific models with application in production and traffic. The first is a novel production model for the time-changing repair worker assignment. The main idea is to keep the system performance optimal whenever machines have failed and must be repaired. In general, available workers are limited and therefore a decision has to be made on which machines are repaired first. The resulting optimisation question is how the optimal worker schedule looks like to maximise the production flow. This issue is intensively analysed and numerical case studies comparing fixed and time-changing schedules are presented. The numerical results show the different opportunities of our modelling approach. With respect to the second application, we consider the LWR-based traffic flow network model. We show how coupling conditions of several junction types can be transformed into easily linearisable min-terms. We introduce a numerical framework for the Hamilton-Jacobi formulation of traffic flow and show how this correctly resolves the dynamics at the junction. We present simulations for a roundabout and compare them with existing results and computed travel times for certain routes through the network depending on the starting time of the travel. Moreover, we model traffic light settings for LWR-based traffic flow networks that can easily be adapted to arbitrary junction types and network topologies and discuss requirements for secure traffic light settings. We show the necessity of additional requirements on the switching time rate to avoid inapplicably frequent fluctuations which appear when mixed integer optimisation techniques are used, and solve this problem with previously derived techniques. Furthermore, we use the knowledge of the problem structure to develop bounding heuristics to speed up the optimisation process by providing feasible solutions for the subproblems within the Branch&Bound procedure. The resulting improvements for the optimisation procedure are remarkable and indicate the potential of combining simulation techniques with Branch & Bound procedures.

A two-dimensional atomic mass spring system is investigated for critical fracture loads and its crack path geometry. We rigorously prove that in the discrete-to-continuum limit, the minimal energy leads to a universal cleavage law and energy minimizers are either homogeneous elastic deformations or configurations that are cracked along specific crystallographic hyperplanes. Furthermore, we identify an effective continuum model through Gamma-convergence.

Depth perception is a very significant and important aspect of human perception. In particular for a person participating in traffic, his or her ability to recognize depth differences is of great importance to their safety as it facilitates assessing the distances to other vehicles or pedestrians. Moreover in many sports a good depth perception is a considerable advantage. Thus, for example, the distance between a ball and the net can be estimated properly. Beyond its significance in everyday life, in the age of 3D movies the topic is of great interest. For students interested in mathematics or biology this topic is rich in content. In the present thesis the topic is made accessible to students with varying background and prior knowledge. The aim of this work is to create authentic learning material which can be applied in schools and first semester courses in college. The material builds on everyday experience, draws on present curricular knowledge, expands and deepens this knowledge, and is relevant in the field of biology. The work is divided into three parts, which can be read separately. The first part deals with experiments on depth perception. The aim is to measure an individual's depth perception. As a first result, subjects create an initial set of data, which shows an s-shaped curve when charted into a coordinate system. For the evaluation of the experiments, the data is fitted with a logistic function. The parameters of the fitted curve provide a threshold from which a measure of the depth perception can be calculated. The data fit is performed on different levels, thus readers with little mathematical knowledge as well as readers who have advanced mathematical knowledge from secondary school can carry out the experiments. A new computer program has been written for conducting the experiments and analysing the data. In addition, worksheets and interactive applets have been created that contribute to the understanding of the data analysis. The second part deals with the geometry of depth perception, with the goal to establish a model of binocular depth perception and analyze it. There are two different approaches to the model analysis, which require different amounts of prior knowledge of the reader. On the one hand, the model is analyzed experimentally by means of interactive applets on the basis of a dynamic geometry system. On the other hand, fundamental formulas and mapping rules are derived by which the model is investigated analytically. Finally, it is shown how appropriate approximation methods greatly simplify the equations and formulas. The third part provides readily usable educational material in the form of a guided program ("Leitprogramm"). It features topics from the first two parts of the work adequately edited for direct application in class.

We study the mathematical modeling and numerical simulation of the motion and deformation of red blood cells (RBC) and vesicles subject to an external incompressible flow in a microchannel. RBC and vesicles are viscoelastic bodies consisting of a deformable elastic membrane enclosing an incompressible fluid. We provide an extension of the Finite Element Immersed Boundary Method based on a model for the membrane that additionally accounts for bending energy and also consider inflow/outflow conditions for the external fluid flow. The stability analysis requires both the approximation of the membrane by cubic splines (instead of linear splines without bending energy) and an upper bound on the inflow velocity. In the fully discrete case, the resulting CFL-type condition on the time step size is also more restrictive. We perform numerical simulations for various scenarios including the tank treading motion of vesicles in microchannels, the behavior of 'healthy' and 'sick' RBC which differ by their stiffness, and the motion of RBC through thin capillaries. The simulation results are in very good agreement with experimentally available data.

The thesis introduces an authentic modelling process for two interacting species which is well accessible to high school students. Based on an analysis of ecological systems, a simple conceptual model leads to simulation software tools and the derivation of a mathematical model. A wide range of systems, e.g. predator-prey, competition or parasitism can be investigated. The approach also allows independent modelling activities and in silico experimentation by students. As the presented modelling process builds on authentic research by Johannson and Sumpter (2003) it allows to give students an insight into current research of Theoretical Biology.