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Count data are omnipresent in many applied fields, often with overdispersion. With mixtures of Poisson distributions representing an elegant and appealing modelling strategy, we focus here on how the tail behaviour of the mixing distribution is related to the tail of the resulting Poisson mixture. We define five sets of mixing distributions and we identify for each case whenever the Poisson mixture is in, close to or far from a domain of attraction of maxima. We also characterize how the Poisson mixture behaves similarly to a standard Poisson distribution when the mixing distribution has a finite support. Finally, we study, both analytically and numerically, how goodness-of-fit can be assessed with the inspection of tail behaviour., Stat, In press

We propose a new class of models for variable clustering called Asymptotic Independent block (AI-block) models, which defines population-level clusters based on the independence of the maxima of a multivariate stationary mixing random process among clusters. This class of models is identifiable, meaning that there exists a maximal element with a partial order between partitions, allowing for statistical inference. We also present an algorithm for recovering the clusters of variables without specifying the number of clusters \emph{a priori}. Our work provides some theoritical insights into the consistency of our algorithm, demonstrating that under certain conditions it can effectively identify clusters in the data with a computational complexity that is polynomial in the dimension. This implies that groups can be learned nonparametrically in which block maxima of a dependent process are only sub-asymptotic., Comment: 50 pages, 6 figures

This thesis is divided into three parts with an additional introduction. In the first part, we propose a smooth goodness-of-fit test for the Pareto distribution family. This test is based on LeCam's theory of local asymptotic normality (LAN). We establish the behaviour of our test statistic firstly under the null hypothesis that the sample follows a Pareto distribution and secondly under local alternatives using the LAN framework. We also expose some simulation results in order to study the finite sample behaviour of the test statistic. In the next chapter, we are interested in the topic of extreme value theory under random censoring. We propose an estimator of the two parameters of the generalized Pareto distribution based on the Newton-Raphson algorithm for which we establish the asymptotic normality. A simulation study illustrates its behaviour and also compares our estimator to the maximum likelihood estimator. In the last chapter, we deal with an autoregressive model adapted to the Gumbel distribution to take the dependence between maxima into account. We derive some theoretical properties of this model and present some simulation results in order to assess the quality of our model on finite samples. Finally, since this model is motivated by practical applications in atmospheric sciences, we fit it on daily and weekly maxima of carbon dioxide and methane., Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.

This thesis is divided into three parts with an additional introduction. In the first part, we propose a smooth goodness-of-fit test for the Pareto distribution family. This test is based on LeCam's theory of local asymptotic normality (LAN). We establish the behaviour of our test statistic firstly under the null hypothesis that the sample follows a Pareto distribution and secondly under local alternatives using the LAN framework. We also expose some simulation results in order to study the finite sample behaviour of the test statistic. In the next chapter, we are interested in the topic of extreme value theory under random censoring. We propose an estimator of the two parameters of the generalized Pareto distribution based on the Newton-Raphson algorithm for which we establish the asymptotic normality. A simulation study illustrates its behaviour and also compares our estimator to the maximum likelihood estimator. In the last chapter, we deal with an autoregressive model adapted to the Gumbel distribution to take the dependence between maxima into account. We derive some theoretical properties of this model and present some simulation results in order to assess the quality of our model on finite samples. Finally, since this model is motivated by practical applications in atmospheric sciences, we fit it on daily and weekly maxima of carbon dioxide and methane.; Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.