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The objective of this thesis is to study the influence of periodic conditions and in particular the corrections to be made, depending on the period considered, in the calculation of certain quantities of interest from molecular dynamics simulations. The latter are particularly useful for the understanding of solvation phenomena of molecules in solution and are naturally useful for the study of radioactive waste management. We are particularly interested in the study of the potential of Mean Force, described in the McMillan and Mayer formalism between two charged solutes in solution. We start by calculating analytically the potential of such a system by considering periodic edge conditions of period L. The calculation is based on the forces acting on one of the particles and on the clever joining of the terms of the obtained sum. We can finally verify that, at large distances, the potential converges to a coulombic potential, and we obtain a corrective term in L-5. From simulations using the Umbrella Sampling method combined with the WHAM method, we correct the McMillan and Mayer potential of sodium chloride, and lanthanides, from the term obtained in order to observe the resulting association constant. Moreover, we study the diffusion coefficient of a particle in a confined medium. Our calculation is based on the passage of the Stokes equation in Fourier, which gives us ODEs with distributions that we solve to obtain the velocity of the particle. Then, limited developments lead to the diffusion coefficient including a corrective term in L-1.; L'objectif de cette thèse est d'étudier l'influence des conditions périodiques et notamment les corrections à apporter, en fonction de la période considérée, dans le calcul de certaines quantités d'intérêt tirées de simulations de dynamique moléculaire. Ces dernières sont particulièrement profitables pour la compréhension des phénomènes de solvatation de molécules en solution et voient naturellement leur utilité pour l'étude de la gestion des déchets radioactifs. Nous nous intéressons notamment à l'étude du potentiel de Force moyenne, décrit dans le formalisme de McMillan et Mayer entre deux solutés chargés en solution. On commence par calculer analytiquement le potentiel d'un tel système en considérant des conditions aux bords périodiques de période L. Le calcul se base sur les forces agissant sur l'une des particules et sur la réunion astucieuse des termes de la somme obtenue. On peut finalement vérifier que, à grande distance, le potentiel converge vers un potentiel coulombien, et on obtient un terme correctif en L-5. A partir de simulations à partir de la méthode du Umbrella Sampling combinée à la méthode WHAM, on corrige le potentiel de McMillan et Mayer de chlorure de sodium, et de lanthanides, à partir du terme obtenu afin d'observer la constante d'association qui en résulte. Par ailleurs, on étudie le coefficient de diffusion d'une particule en milieu confiné. Notre calcul repose sur le passage de l'équation de Stokes en Fourier, ce qui nous donne des EDO avec distributions que l'on résout pour obtenir la vitesse de la particule. Ensuite, des développements limités aboutissent au coefficient de diffusion comprenant un terme correctif en L-1.

More than 17 million epileptic patients worldwide are not effectively relieved by medication. For these patients, electrical stimulation of the brain is a promising technique for stopping recurrent seizures that disrupt their daily lives. However, the effects of electrical stimulation on brain activity are not yet well understood. In addition, the stimulation parameters are often chosen empirically, based on trial-and-error approach, which limits the effectiveness of this therapy. In this thesis, we aim, using bio-inspired computational models and mathematical methods derived from the theory of dynamical systems, to design an optimal stimulation capable of attenuating or even suppressing epileptic brain activity., Près de 17 millions de patients épileptiques dans le monde ne sont pas soulagés efficacement par les médicaments. Pour ces patients, la stimulation électrique du cerveau est une technique pour arrêter les crises récurrentes qui perturbent leur vie quotidienne. Cependant, les effets de la stimulation électrique sur l'activité du cerveau ne sont pas encore bien compris. En outre, les paramètres de stimulation sont souvent choisis de manière empirique, ce qui limite l'efficacité de cette thérapie. Au cours de cette thèse, nous visons, en utilisant des modèles computationnels bio-inspirés et des méthodes mathématiques dérivées de la théorie des systèmes dynamiques, à concevoir des méthodes de stimulation optimales capables d'atténuer voire de supprimer l'activité cérébrale épileptique.

A thin and narrow rectangular plate having the two short edges hinged and the two long edges free is considered. A nonlinear nonlocal evolution equation describing the deformation of the plate is introduced: well-posedness and existence of periodic solutions are proved. The natural phase space is a particular second order Sobolev space that can be orthogonally split into two subspaces containing, respectively, the longitudinal and the torsional movements of the plate. Sufficient conditions for the stability of periodic solutions and of solutions having only a longitudinal component are given. A stability analysis of the so-called prevailing mode is also performed. Some numerical experiments show that instabilities may occur. This plate can be seen as a simplified and qualitative model for the deck of a suspension bridge, which does not take into account the complex interactions between all the components of a real bridge., 34 pages, 4 figures. The result of Theorem 6 is correct, but the proof was not correct. We slightly changed the proof in this updated version

We give necessary and sufficient conditions for the existence of positive radial solutions for a class of fully nonlinear uniformly elliptic equations posed in the complement of a ball in RN, and equipped with homogeneous Dirichlet boundary conditions., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

The non-iterative imaging problem within the inverse electromagnetic scattering framework using the direct sampling method (DSM) is considered. Thanks to the combination of the asymptotic expression of the scattered near-field or far-field and of the small obstacle hypothesis the analytical expressions of the DSM indicator function are presented in various configurations such as 2D/3D configurations and/or mono-/multi-static configurations and/or limited-/full-view case and/or mono-/multi-frequency case. Once the analytical expression obtained, its structure is analyzed and improvements proposed. Our approach is validated using synthetic data and experimental ones when available. First, the mathematical structure of DSM at a fixed frequency in 2D various scattering problems is established allowing a theoretical analysis of its efficiency and limitations. To overcome the known limitations an alternative direct sampling method (DSMA) is proposed. Next, the multi-frequency case is investigated by introducing and analyzing the multi-frequency DSM (MDSM) and the multi-frequency DSMA (MDSMA).Finally, our approach is extended to 3D inverse electromagnetic scattering problems for which the choice of the polarization of the test dipole is a key parameter. Thanks to our analytical analysis it can be made based on the polarization of the incident field.; Le problème de l'imagerie non itérative dans le cadre de la diffraction électromagnétique inverse utilisant la méthode d'échantillonnage direct (DSM) est considéré. Grâce à une combinaison de l'expression asymptotique du champ proche ou du champ lointain diffracté et de l'hypothèse de petits obstacles, les expressions analytiques de la fonction d'indicateur DSM sont présentées dans diverses configurations telles que des configurations 2D/3D, mono-/multi-configurations statiques, à vue limitée/complète et fréquence unique/ diversité en fréquence. Une fois l'expression analytique obtenue, sa structure est analysée et des améliorations proposées. Notre approche est validée à l’aide de données de simulation, et d’expériences le cas échéant. Premièrement, la structure mathématique du DSM à fréquence fixe en 2D dans divers problèmes de diffusion est établie, permettant une analyse théorique de son efficacité et de ses limites. Pour surmonter les limitations connues, une méthode alternative d'échantillonnage direct (DSMA) est proposée. Puis le cas multi-fréquence est investigué en introduisant et en analysant le DSM multi-fréquence (MDSM) et le DSMA multi-fréquence (MDSMA). Enfin, notre approche est étendue aux problèmes de diffraction électromagnétique inverse 3D pour lesquels le choix de la polarisation du dipôle de test est un paramètre clé. De par notre approche analytique, ce choix peut être effectué sur la base de la polarisation du champ incident.

This thesis focuses on the mathematical analysis of electronic structure models for materials with defects.It contains three different topics. In Chapter 2 we study the ground state of an extended defect in a Fermisea. In Chapter 3 we are interested in the mathematical description of the junction of two perfect quasi onedimensional materials. In Chapter 4 we construct a mathematical framework for a lattice dynamics underthe Born-Oppenheimer approximation, where electrons are coupled with the nuclear dynamics, Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles de structures électroniques de matériaux présentant des défauts, elle contient trois sujets différents. Dans le chapitre 2, nous étudions l’état fondamental d’un défaut étendu dans une mer de Fermi. Dans le chapitre 3, nous nous intéressons à la description mathématique de la jonction de deux matériaux quasi unidimensionnels. Dans le chapitre 4, nous construisons un cadre mathématique pour la dynamique d’un réseau cristallin de taille infinie, dans l’approximation de Born-Oppenheimer, dans laquelle l’électron est couplé à la dynamique nucléaire

We study radial sign-changing solutions of a class of fully nonlinear elliptic Dirichlet problems in a ball, driven by the extremal Pucci's operators and with a power nonlinear term. We first determine a new critical exponent related to the existence or nonexistence of such solutions. Then we analyze the asymptotic behavior of the radial nodal solutions as the exponents approach the critical values, showing that new concentration phenomena occur. Finally we define a suitable weighted energy for these solutions and compute its limit value., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

The non-iterative imaging problem within the inverse electromagnetic scattering framework using the direct sampling method (DSM) is considered. Thanks to the combination of the asymptotic expression of the scattered near-field or far-field and of the small obstacle hypothesis the analytical expressions of the DSM indicator function are presented in various configurations such as 2D/3D configurations and/or mono-/multi-static configurations and/or limited-/full-view case and/or mono-/multi-frequency case. Once the analytical expression obtained, its structure is analyzed and improvements proposed. Our approach is validated using synthetic data and experimental ones when available. First, the mathematical structure of DSM at a fixed frequency in 2D various scattering problems is established allowing a theoretical analysis of its efficiency and limitations. To overcome the known limitations an alternative direct sampling method (DSMA) is proposed. Next, the multi-frequency case is investigated by introducing and analyzing the multi-frequency DSM (MDSM) and the multi-frequency DSMA (MDSMA).Finally, our approach is extended to 3D inverse electromagnetic scattering problems for which the choice of the polarization of the test dipole is a key parameter. Thanks to our analytical analysis it can be made based on the polarization of the incident field., Le problème de l'imagerie non itérative dans le cadre de la diffraction électromagnétique inverse utilisant la méthode d'échantillonnage direct (DSM) est considéré. Grâce à une combinaison de l'expression asymptotique du champ proche ou du champ lointain diffracté et de l'hypothèse de petits obstacles, les expressions analytiques de la fonction d'indicateur DSM sont présentées dans diverses configurations telles que des configurations 2D/3D, mono-/multi-configurations statiques, à vue limitée/complète et fréquence unique/ diversité en fréquence. Une fois l'expression analytique obtenue, sa structure est analysée et des améliorations proposées. Notre approche est validée à l’aide de données de simulation, et d’expériences le cas échéant. Premièrement, la structure mathématique du DSM à fréquence fixe en 2D dans divers problèmes de diffusion est établie, permettant une analyse théorique de son efficacité et de ses limites. Pour surmonter les limitations connues, une méthode alternative d'échantillonnage direct (DSMA) est proposée. Puis le cas multi-fréquence est investigué en introduisant et en analysant le DSM multi-fréquence (MDSM) et le DSMA multi-fréquence (MDSMA). Enfin, notre approche est étendue aux problèmes de diffraction électromagnétique inverse 3D pour lesquels le choix de la polarisation du dipôle de test est un paramètre clé. De par notre approche analytique, ce choix peut être effectué sur la base de la polarisation du champ incident.

We consider the best constant in a critical Sobolev inequality of second order. We show non-rigidity for the optimizers above a certain threshold, namely, we prove that the best constant is achieved by a nonconstant solution of the associated fourth order elliptic problem under Neumann boundary conditions. Our arguments rely on asymptotic estimates of the Rayleigh quotient. We also show rigidity below another threshold., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

Since the seminal contribution of Geymonat, Müller, and Triantafyllidis, it has been known that strong ellipticity is not necessarily conserved through periodic homogenization in linear elasticity. This phenomenon is related to microscopic buckling of composite materials. Consider a mixture of two isotropic phases which leads to loss of strong ellipticity when arranged in a laminate manner, as considered by Gutiérrez and by Briane and Francfort. In this contribution we prove that the laminate structure is essentially the only microstructure which leads to such a loss of strong ellipticity. We perform a more general analysis in the stationary, ergodic setting., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

We study singular radially symmetric solution of the stationary Keller-Segel equation, that is, an elliptic equation with exponential nonlinearity, which is super-critical in dimension N ≥ 3 . The solutions are unbounded at the origin and we show that they describe the asymptotics of bifurcation branches of regular solutions. It is shown that for any ball and any k ≥ 0 , there is a singular solution that satisfies Neumann boundary condition and oscillates at least k times around the constant equilibrium. Moreover, we prove that in dimension 3 ≤ N ≤ 9 there are regular solutions satisfying Neumann boundary conditions that are close to singular ones when the value at the origin is close to infinity. Hence, it follows that there exist regular solutions on any ball with arbitrarily fast oscillations. For generic radii, we show that the bifurcation branches of regular solutions oscillate in the bifurcation plane when 4 ≤ N ≤ 9 and approach to a singular solution. In dimension N > 10 , we show that the Morse index of the singular solution is finite, and therefore the existence of regular solutions with fast oscillations is not expected.

We study the mixed dispersion fourth order nonlinear Schrödinger equation i∂ tψ γ Δ 2ψ +β Δ ψ +, SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

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The essay offers an account of Alfred Marshall’s approach to mathematics and aims to deepen our understanding on his methodological considerations and views on Time. Contrary to what is commonly believed, 19th century mathematics developed in a manner similar to the evolution of political and economic ideas i.e. through passionate intellectual debates between opposing ideological parts. Time and the seek for its true meaning, constitutes a peculiar aspect of this controversy that the Cambridge Mathematical Tradition offers vital space for reflection. It is due to this educational background that Marshall separates between ‘t’ and ‘T’ and develops his skepticism against analytical reasoning. His thoughts on real time processes and on translating mathematical statements to economic language, advocates in favor of his unique intellectual depth. Research is textual, based on primary as well as secondary sources. L’essai offre un compte rendu de l’approche d’Alfred Marshall aux mathématiques et vise à approfondir notre compréhension de ses considérations méthodologiques et de ses vues sur le Temps. Contrairement à ce que l'on croit, les Mathématiques du 19e siècle se sont développées de manière similaire à l’évolution des idées politiques et économiques, c’est-à-dire par le biais de débats intellectuels passionnés entre des camps opposés. Le Temps et la recherche de son vrai sens, constitue un aspect particulier de cette controverse dont la Tradition Mathématique de Cambridge offre un espace vital pour la réflexion. Cela est dû à cette formation que Marshall sépare entre ‘t’ et ‘T’ et développe son scepticisme contre le raisonnement analytique. Ses réflexions sur les processus en temps réel et sur la traduction des déclarations mathématiques au langage économique, plaide en faveur de sa profondeur intellectuelle unique. La recherche est textuelle, basée sur des sources primaires aussi bien que secondaires.

We consider the homogenization of a coupled system of PDEs describing flows in highly heterogeneous porous media. Due to the coupling, the effective coefficients always depend on the slow variable, even in the simple case when the porosity is taken purely periodic. Therefore the most important part of the computational time for the numerical simulation of such flows is dedicated to the determination of these coefficients. We propose a new numerical algorithm based on Reduced Basis techniques, which significantly improves the computational performances., info:eu-repo/semantics/published

Consider an elliptic operator in divergence form with symmetric coefficients.If the diffusion coefficients are periodic, the Bloch theorem allows one to diagonalize the elliptic operator, which is key to the spectral properties of the elliptic operator and the usual starting point for the study of its long-time homogenization.When the coefficients are not periodic (say, quasi-periodic, almost periodic, or random with decaying correlations at infinity), the Bloch theorem does not hold and both the spectral properties and the long-time behavior of the associatedoperator are unclear.At low frequencies, we may however consider a formal Taylor expansion of Bloch waves (whether they exist or not) based on correctors in elliptic homogenization.The associated Taylor-Bloch waves diagonalize the elliptic operator up to an error term (an "eigendefect"), which we express with the help of a new family of extended correctors.We use the Taylor-Bloch waves with eigendefects to quantify the transport properties and homogenization error over large timesfor the wave equation in terms of the spatial growth of these extended correctors.On the one hand, this quantifies the validity of homogenization over large times (both for the standard homogenized equation and higher-order versions).On the other hand, this allows us to prove asymptotic ballistic transport of classical waves at low energies for almost periodic and random operators., Comment: Annales Scientifiques de l'{\'E}cole Normale Sup{\'e}rieure, Elsevier Masson, In press

This paper is concerned with the mean-field limit for the gradient flow evolution of particle systems with pairwise Riesz interactions, as the number of particles tends to in-finity. Based on the method introduced by Serfaty [Mean-Field Limits of the Gross-Pitaevskii and Parabolic Ginzburg-Landau equations, preprint, arXiv:1507.03821, 2015] in the context of the Ginzburg-Landau vortices, using regularity and stability properties of the limiting equation, we prove a mean-field limit result in dimensions 1 and 2 in cases for which this problem was still open., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

We show that certain linear elliptic equations (and systems) in divergence form with almost periodic coefficients have bounded, almost periodic correctors. This is proved under a new condition we introduce which quantifies the almost periodic assumption and includes (but is not restricted to) the class of smooth, quasiperiodic coefficient fields which satisfy a Diophantine-type condition previously considered by Kozlov (Mat Sb (N.S), 107(149):199–217, 1978). The proof is based on a quantitative ergodic theorem for almost periodic functions combined with the new regularity theory recently introduced by Armstrong and Shen (Pure Appl Math, 2016) for equations with almost periodic coefficients. This yields control on spatial averages of the gradient of the corrector, which is converted into estimates on the size of the corrector itself via a multiscale Poincaré-type inequality., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

Real analysis is pervasive to many applications, if only because it is a suitable tool for modeling physical or socio-economical systems. As such, its support is warranted in proof assistants, so that the users have a way to formally verify mathematical theorems and correctness of critical systems. The Coq system comes with an axiomatization of standard real numbers and a library of theorems on real analysis. Unfortunately, this standard library is lacking some widely used results. For instance, the definitions of integrals and derivatives are based on dependent types, which make them cumbersome to use in practice. This thesis first describes various state-of-the-art libraries available in proof assistants. To palliate the inadequacies of the Coq standard library, we have designed a user-friendly formalization of real analysis: Coquelicot. An easier way of writing formulas and theorem statements is achieved by relying on total functions in place of dependent types for limits, derivatives, integrals, power series, and so on. To help with the proof process, the library comes with a comprehensive set of theorems that cover not only these notions, but also some extensions such as parametric integrals and asymptotic behaviors. Moreover, an algebraic hierarchy makes it possible to apply some of the theorems in a more generic setting, such as complex numbers or matrices. Coquelicot is a conservative extension of the classical analysis of Coq's standard library and we provide correspondence theorems between the two formalizations. We have exercised the library on several use cases: in an exam at university entry level, for the definitions and properties of Bessel functions, and for the solution of the one-dimensional wave equation.; L'analyse réelle a de nombreuses applications car c'est un outil approprié pour modéliser de nombreux phénomènes physiques et socio-économiques. En tant que tel, sa formalisation dans des systèmes de preuve formelle est justifié pour permettre aux utilisateurs de vérifier formellement des théorèmes mathématiques et l'exactitude de systèmes critiques. La bibliothèque standard de Coq dispose d'une axiomatisation des nombres réels et d'une bibliothèque de théorèmes d'analyse réelle. Malheureusement, cette bibliothèque souffre de nombreuses lacunes. Par exemple, les définitions des intégrales et des dérivées sont basées sur les types dépendants, ce qui les rend difficiles à utiliser dans la pratique. Cette thèse décrit d'abord l'état de l'art des différentes bibliothèques d'analyse réelle disponibles dans les assistants de preuve. Pour pallier les insuffisances de la bibliothèque standard de Coq, nous avons conçu une bibliothèque facile à utiliser : Coquelicot. Une façon plus facile d'écrire les formules et les théorèmes a été mise en place en utilisant des fonctions totales à la place des types dépendants pour écrire les limites, dérivées, intégrales et séries entières. Pour faciliter l'utilisation, la bibliothèque dispose d'un ensemble complet de théorèmes couvrant ces notions, mais aussi quelques extensions comme les intégrales à paramètres et les comportements asymptotiques. En plus, une hiérarchie algébrique permet d'appliquer certains théorèmes dans un cadre plus générique comme les nombres complexes pour les matrices. Coquelicot est une extension conservative de l'analyse classique de la bibliothèque standard de Coq et nous avons démontré les théorèmes de correspondance entre les deux formalisations. Nous avons testé la bibliothèque sur plusieurs cas d'utilisation : sur une épreuve du Baccalauréat, pour les définitions et les propriétés des fonctions de Bessel ainsi que pour la solution de l'équation des ondes en dimension 1.

Quantum dots are nanostructures confined in the three space directions. Since many decades, numerous studies have been devoted to these structures for their interesting electronic and optical properties.In this thesis, we model the electronic behaviour of quantums dots thanks to a type Bloch model derived il the Heisenberg formalism. The closure of equations leads to a non linear model stemming from Coulomb and electron--phonon interactions. We study the qualitative properties of the obtained Bloch models (trace, hermicity, positivitiveness) and the Cauchy problem for the semi-classical model coupling Bloch and Maxwell equations to describe laser--quantum dot interaction. We derive also formally rate equations from the non-linear Bloch equations. The discretizations of one-dimensionnal Maxwell--Bloch equations involve splitting methods for the Bloch equations, which enable the preservation of the qualitative properties of the continuous model. The validation of the model and the study of the relevancy of some simplification is performed thanks to self-induced transparency and coherence-transfert test cases., Les boîtes quantiques sont les nanostructures confinées suivant les trois directions de l'espace. Depuis quelques décennies, de nombreuses études sont consacrées à des boîtes pour leurs propriétés électroniques et optiques intéressantes.Dans cette thèse, nous modélisons le comportement électronique de boîtes quantiques par un modèle de type Bloch dérivé dans le formalisme de Heisenberg. La fermeture des équations du modèle aboutit à un modèle non-linéaire issu des interactions coulombiennes et des interactions entre les électrons et les phonons. Nous étudions les propriétés qualitatives de la solution des modèles de Bloch obtenus (trace, hermicité, positivité) ainsi que le problème de Cauchy associé au couplage semi-couplage avec les équations de Maxwell. Nous dérivons également formellement des équations de taux à partir des modèles de Bloch non-linéaires. La discrétisation des modèles unidimensionnels de Maxwell--Bloch fait appel à une méthode de splitting (méthode par pas fractionnaires) pour les équations de Bloch préservant les propriétés qualitatives du modèle continu. La validation du modèle et l'étude de pertinence de certaines simplifications sont effectuées grâce à des cas tests de transparence auto-induite et de transfert de cohérence.

This article is concerned with numerical methods to approximate effective coefficients in stochastic homogenization of discrete linear elliptic equations, and their numerical analysis --- which has been made possible by recent contributions on quantitative stochastic homogenization theory by two of us and by Otto. This article makes the connection between our theoretical results and computations. We give a complete picture of the numerical methods found in the literature, compare them in terms of known (or expected) convergence rates, and study them numerically. Two types of methods are presented: methods based on the corrector equation, and methods based on random walks in random environments. The numerical study confirms the sharpness of the analysis (which it completes by making precise the prefactors, next to the convergence rates), supports some of our conjectures, and calls for new theoretical developments., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

International audience; We consider a linear elliptic equation in divergence form on a bounded domain (or on $\R^d$) in dimension $d\geq 2$, whose coefficients are perturbed by a stationary noise of correlation length $\e>0$. We give estimates on the fluctuation of the solution in function of the correlation length $\e$ of the noise, both in terms of strong $L^2$ and weak $L^1$ norms. This result can be seen as a quantification of the propagation of uncertainties in linear elliptic partial differential equations.

We establish the existence, uniqueness and attraction properties of an ergodic invariant measure for the Boussinesq equations in the presence of a degenerate stochastic forcing acting only in the temperature equation and only at the largest spatial scales. The central challenge is to establish time asymptotic smoothing properties of the Markovian dynamics corresponding to this system. Towards this aim we encounter a Lie bracket structure in the associated vector fields with a complicated dependence on solutions. This leads us to develop a novel Hörmander-type condition for infinite-dimensional systems. Demonstrating the sufficiency of this condition requires new techniques for the spectral analysis of the Malliavin covariance matrix., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

International audience; We consider a nonlocal reaction-diffusion equation as a model for a population structured by a space variable and a phenotypical trait. To sustain the possibility of invasion in the case where an underlying principal eigenvalue is negative, we investigate the existence of travelling wave solutions. We identify a minimal speed $c^*>0$, and prove the existence of waves when $c\geq c^*$ and the non existence when $0\leq c < c^*$

This paper is the companion article to [Ann. Probab. 39 (2011) 779--856]. We consider a discrete elliptic equation on the $d$-dimensional lattice $\mathbb{Z}^d$ with random coefficients $A$ of the simplest type: They are identically distributed and independent from edge to edge. On scales large w.r.t. the lattice spacing (i.e., unity), the solution operator is known to behave like the solution operator of a (continuous) elliptic equation with constant deterministic coefficients. This symmetric "homogenized" matrix $A_{\mathrm{hom}}=a_{\mathrm{hom}}\mathrm{Id}$ is characterized by $\xi\cdot A_{\mathrm{hom}}\xi=$ for any direction $\xi\in\mathbb{R}^d$, where the random field $\phi$ (the "corrector") is the unique solution of $-\nabla^*\cdot A(\xi+\nabla\phi)=0$ in $\mathbb{Z}^d$ such that $\phi(0)=0$, $\nabla\phi$ is stationary and $=0$, $$ denoting the ensemble average (or expectation)., Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/10-AAP745 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org). arXiv admin note: text overlap with arXiv:1104.1291

We introduce and analyze a numerical strategy to approximate effective coefficients in stochastic homogenization of discrete elliptic equations. In particular, we consider the simplest case possible: An elliptic equation on the $d$-dimensional lattice $Z^d$ with independent and identically distributed conductivities on the associated edges. Recent results by Otto and the author quantify the error made by approximating the homogenized coefficient by the averaged energy of a regularized corrector (with parameter $T$) on some box of finite size $L$. In this article, we replace the regularized corrector (which is the solution of a problem posed on $Z^d$) by some practically computable proxy on some box of size $Rgeq L$, and quantify the associated additional error. In order to improve the convergence, one may also consider $N$ independent realizations of the computable proxy, and take the arithmetic mean of the associated approximate homogenized coefficients. A natural optimization problem consists in properly choosing $T,R,L$ and $N$ in order to reduce the error at given computational complexity. Our analysis is sharp and allows us to give a clear answer to this question. In particular, we propose and analyze a numerical algorithm to approximate the homogenized coefficients, taking advantage of the (nearly) optimal scalings of the errors we derive. The efficiency of the approach is illustrated by a numerical study in dimension 2., info:eu-repo/semantics/published

International audience; In this note we prove under some general assumptions on elastic energy densities (namely, frame indifference, minimality at identity, non-degeneracy and existence of a quadratic expansion at identity) that homogenization and linearization commute at identity. This generalizes a recent result by S.~Müller and the second author by dropping their assumption of periodicity. As a first application, we extend their $\Gamma$-convergence commutation diagram for linearization and homogenization to the stochastic setting under standard growth conditions. As a second application, we prove that the $\Gamma$-closure is local at identity for this class of energy densities.

International audience; In this article we show that for the homogenization of multiple integrals, the quasiconvexification of the cell formula is different from the asymptotic formula in general. To this aim, we construct three examples in three different settings: the homogenization of a discrete model, the homogenization of a composite material and the homogenization of a homogeneous material on a perforated domain.

Na‘im ibn Musa's lived in Baghdad in the second half ofthe 9th century. He was probably not a major mathematician. Still his Collection of geometrical propositions---recently edited and translated in French by Roshdi Rashed and Christian Houzel---reflects quite well the mathematical practice that was common in Thabit ibn Qurra's school. A relevant characteristic of Na‘im's treatise is its large use of a form of inferences that can be said ‘algebric' in a sense that will be explained. They occur both in proofs of theorems and in solutions of problems. In the latter case, they enter different sorts of problematic analyses that are mainly used to reduce the geometrical problems they are concerned with to al-Khwarizmi 's equations., Na‘im ibn Musa a vécu à Bagdad pendant la seconde moitié du IXème siècle. Il n'a pas été probablement un mathématicien majeur. Néanmoins, sa Collection de proposition géométriques}---qui a été récemment éditée en traduite en français par Roshdi Rashed and Christian Houzel---reflet assez bien la pratique mathématique qui était commune à l'école de Thabit ibn Qurra. Une caractéristique relevante du traité de Na‘im est son large usage d'une forme d'inférences qui peut être dite `algébrique' en un sens qui sera expliqué. Celles-ci interviennent autant dans la preuve de théorèmes que dans la solution de problèmes. En ce dernier cas, elles participent de différentes sortes d'analyses qui sont surtout employées pour réduire les problèmes géométriques auxquelles elles s'appliquent à des équations au sens d'al-Khwarizmi.

International audience; In a recent work, Blanc, Le Bris and Lions have introduced the notion of stochastic diffeomorphism together with a variant of stochastic homogenization theory for linear and monotone elliptic operators. Their proofs rely on the ergodic theorem and on the analysis of the associated corrector equation. In the present article, we provide another proof of their results using the formalism of integral functionals. We also extend the analysis to cover the case of quasiconvex integrands.

Il y a cinquante ans s'éteignait l'un des plus grands mathématiciens qu'a connu ce siècle: David Hilbert. Ses recherches et ses découverts ont touché presque tous les domaines des mathématiques. Au cours des années 1900-1930, il a contribué à faire de Göttingen le centre de mathématiques le plus important du monde, centre que les persécutions nazies déferont. A travers ses travaux, ses éléves et les célébres vingt-trois problèmes qu'il a énoncés en 1900, Hilbert a considérablement influencé plusieurs générations de chercheurs. Il a également joué un rôle important dans l'émergence d'une réflexion approfondie sur les fondements de sa discipline. Les AA. de cet article nous décrivent le parcours de ce mathématicien hors du commun, en soulignant l'influence qu'il a eue et l'actualité que son oeuvre a gardée

The aim of this thesis is to develop and analyse deterministic predator-prey models for species living in heterogeneous insular environments. We are interested in the evolution of a native prey population, after the introduction of alien species, predators and competitors. In a first part we look at the spatially unstructured models; this yields singular systems of ODEs, some denominator of the RHS can be zero. The mathematical analysis gives some conditions for persistence or finite time extinction of populations. The asymptotical behaviour depends on additional hypotheses. In a similar way, we study the case of a native prey species split into 2 age stages: juveniles and adults. The second part deals with spatial models. We derive models taking into account the spatial heterogeneities of the environment and their effects on demographic parameters. We use reaction-diffusion systems with a singular logistic right hand side. Detailed analysis of these models gives criteria for global existence versus finite time existence of the solutions. At the same time, we develop a well adapted numerical method, using splitting methods, to validate the spatial models and allow the study of invasion processes. Numerical results point out the essential role played by the introduced prey population in successful invasion of isolated native preys colonies by the predator species. Finally, the discrete age structure for the native species allows us to exhibit oscillatory behaviours.; L'objet de cette thèse est la construction, l'étude mathématique et numérique de modèles déterministes pour des systèmes Proie-Prédateur en milieu insulaire hétérogène. Il s'agit d'évaluer les effets de l'introduction d'espèces invasives, prédateurs et compétiteurs, sur une population de proies natives. La première partie présente l'étude de modèles faiblement structurés, bas´es sur des systèmes d'E.D.O. singuliers, le dénominateur d'un des termes de réaction pouvant s'annuler. L'analyse mathématique permet d'isoler des conditions d'extinction en temps fini ou de persistance. Dans ce second cas, le comportement en temps long dépend d'hypothèses supplémentaires. Une étude similaire est menée dans le cadre d'une population de proies natives structurée en 2 classes d'âge : juvéniles et adultes. Dans la seconde partie, on étend les modèles précédents au cadre avec structuration en espace, pour prendre en compte les hétérogénéités spatiales du milieu. On obtient des systèmes d'E.D.P. du type Réaction-Diffusion singuliers. Une analyse approfondie donne des critères d'existence globale en temps et d'existence sur un intervalle de temps fini des solutions. Parallèlement, nous mettons en place une méthode numérique du type splitting d'opérateurs dans un but double : valider les modèles spatiaux et étudier des processus d'invasion. Les simulations numériques permettent d'établir le rôle fondamental des proies introduites dans le succès de l'invasion par les prédateurs de colonies isolées de proies natives. Enfin, la structuration discrète en âge pour les proies natives permet d'exhiber des dynamiques oscillatoires.

We investigate in this thesis some molecular models and some multiscale methods for the numerical simulation of materials.The first part (chapters 2, 3 and 4) is devoted to an atomistic modelling. Statistical physics shows that the relevant quantities at the macroscopic scale are phase space averages. Molecular dynamics can be used to compute theseaverages. The time evolution of the system is simulated, that allows one to compute time averages along the trajectories of the system. Under the ergodic assumption, these averages converge in the long time limit to the phase space averages. We study here the convergence rate of the time averages, and provide a numerical analysis of several schemes.In a second part, we study some multiscale approaches. The chapter 6 is devoted to the numerical analysis of a method that couples an atomistic model with a continuum model: the computational domain is split into two subdomains, one described by a continuum model, the other one described by an atomistic model. In particular, we study the criterion that governs the choice, at each material point, of the model (discrete or continuous).In the chapter 7, we study the numerical homogenization of some polycrystal models, that describe matter at the micrometric scale.; Le travail de cette thèse a porté sur l'étude de modèles moléculaires et de méthodes multi-échelles pour la simulation numérique des matériaux.Dans une première partie (les chapitres 2, 3 et 4), on s'intéresse à une modélisation à l'échelle atomistique. La physique statistique montre alors que les grandeurs macroscopiques pertinentes sont des moyennes dans l'espace des phases du système étudié. La dynamique moléculaire est une approche pour calculer ces moyennes. L'évolution en temps du système est simulée (par exemple suivant les équations de Newton), ce qui permet de calculer des moyennes temporelles le long des trajectoires du système. Sous l'hypothèse d'ergodicité, ces moyennes convergent en temps long vers la moyenne dans l'espace des phases. Nous nous intéressons ici au rythme deconvergence des moyennes temporelles, et faisons en particulier l'analyse de quelques schémas numériques.Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à des approches multi-échelles. Le chapitre 6 est consacré à l'analyse numérique d'une méthode couplant un modèle atomistique avec un modèle de continuum: le domaine de calcul est partitionné en deux sous-domaines, l'un décrit par un modèle de continuum, l'autre par un modèleatomistique. Nous étudions en particulier le critère permettant de choisir en chaque point du matériau le modèle(discret ou continu) qui est utilisé. Enfin, le chapitre 7 est consacré à l'homogénéisation numérique de modèles de polycristaux, décrivant le comportement de la matière à l'échelle du micromètre.

Based on statistical data and Delphi input, a logic has been worked out which is capable of offering quantitative support for decisions concerning the equivalence of various fire safety alternatives. Examples of the use of the logic are presented and some conclusions drawn as to the relative merits of various fire safety measures., Reprinted from: Fire and Materials, v. 14, no. 1, March 1989, p. 1-10. ISSN: 0308-0501, DOI: 10.1002/fam.810140102.

Recent developments and future trends in building energy analysis techniques and design tools are discussed in light of papers presented at ICBEM'87 session on Building Planning and Design Tools. The presentations cover both detailed and simplified tools, and their use in the analysis of energy conservation strategies and the development of simpler energy conservation guidelines. Presentations related to case studies on energy savings in practice, as well as occupant interaction, are also summarized., Proc. 3rd Int. Conf. Building Energy Management : ICBEM ' 87: I: Plenary sessions conferences: 28 September 1987, Lausanne, Switzerland

Ces méthodes ont pour but commun l'étude des transitions de phase sous l'aspect analytique de singularités de fonctions. On présente les modèles discrets à spins d'Ising qui servent de support à ce travail. Les fonctions d'énergie de la physique statistique sont alors étudiées dans un contexte général d'approximations de singularités de fonctions convexes. Autour de la notion de matrice de transfert sont élaborées des propriétés de localisation de racines de polynômes. On termine par l'élaboration d'algorithmes de calcul formel de quelques fonctions fondamentales de la physique statistique: fonction de partition, énergie libre. On donne un panorama assez vaste des résultats obtenus à l'aide de ces algorithmes

Application de méthodes mathématiques pour optimiser la séparation de mélanges complexes ou simples. Etude de mélanges complexes (nombre d'espèces infini) dans du pétrole brut: analyse et évaluation des propriétés physiques et conservatives des coupes pétrolières et ajustement et recalage des chromatogrammes afin de rendre régulières les courbes des fractions de ségrégation. Les outils mathématiques utilisés sont les fonctions histoplines d'interpolation et de lissage. Les résultats obtenus ont permis de mettre au point deux progiciels interactifs et visuels. Etude de mélanges simples (nombre d'espèces fini): fabrication d'un mélange objectif à partir d'une famille de mélange de base donnée, étude de la gestion d'un mélange ayant deux espèces et mise au point d'un progiciel numérique et graphique regroupant toutes les opérations

The fire risk posed by soft furnishings such as bedding materials and upholstered furniture and the strategies being developed to reduce the number of fire-related casualties are reviewed from a Canadian point of view. Statistics from Canada, the United States and the United Kingdom indicate that a substantial reduction in the number of fire deaths would be possible if the ability of assemblies of materials to resist ignition by smokers' materials, such as cigarettes and matches, could be improved. The post- ignition performance of furnishings that results in generation of heat, smoke and toxic gases is also important from a safety point of view. A need exists for both full- scale and small-scale fire tests, and for mathematical modelling for present and future control strategies., Reprinted from: Fire and Materials, v. 6, no. 1, 1982, p. 16-22. ISSN: 0308-0501. DOI: 10.1002/fam.810060106