Search

In this paper q-extensions of Genocchi numbers are de- flned and several properties of these numbers are presented. Prop- erties of q-Genocchi numbers and polynomials are used to construct q-extensions of p-adic measures which yield to obtain p-adic inter- polation functions for q-Genocchi numbers. As an application, gen- eral systems of congruences, including Kummer-type congruences for q-Genocchi numbers are proved.

In this paper, using Gauss multiplication formula, a recurrence relation for Bernoulli numbers, generalizing Namias’ results, is given.

In this article we prove some relations between two-variable q-Bernoullipolynomials and two-variable q-Euler polynomials. By using the equality $e_q(z)E_q(-z)=1$, we give an identity for the two-variable q-Genocchi polynomials. Also, we obtain an identity for the two-variableq-Bernoulli polynomials. Furthermore, we prove two theorems whichare analogues of the q-extension Srivastava-Pinter additional theorem

In this study we introduce a new type generalization of Chebyshevmatrix polynomials of second kind by using the integral representation. We obtain their matrix recurrence relations, matrix differentialequation and generating matrix functions. We investigate operationalrules associated with operators corresponding to Chebyshev-type matrix polynomials of second kind. Furthermore, in order to give qualitative properties of this integral transform, we introduce the Chebyshevtype matrix polynomials of first kind.

Bu çalışmada Poly-Bernoulli polinomlarının ve Poly-Genocchi polinomlarının genelleştirmesi tanımlandı. Bu polinomların gerçeklediği bazı özellikler incelenmiş, ve sağladığı bazı rekürans bağıntıları verilmiştir. Diğer taraftan genelleştirilmiş Poly-Bernoulli polinomlarınında simetrik özelliği, kapalı formülü verilmiştir. In this work, we define the generalized Poly-Bernoulli numbers and the generalized Poly-Bernoulli Polynomials and the generalized Poly-Genocchi numbers and the generalized Poly-Genocchi polynomials. We give some properties and recurrance relations for these polynomials. Also, we prove simetry properties,closed formulae for the generalized Poly-Bernoulli polynomials. 39

Bu tez çalışmasında, bazı klasik özel fonksiyon ailelerinin matris genişlemeleri üzerine çalışılacaktır. Hermite matris polinomlarının sağladığı toplam ve çarpım formülleri, sahip olduğu diğer üreteç fonksiyonları ve hipergeometrik matris fonksiyonları gösterimleri elde edilecektir. Genelleştirilmiş Hermite matris polinomları tanımlanarak, sağladığı özeliklerde uygun parametre seçimleriyle Hermite matris polinomları için Burchnall operatör formülü ve Nielsen bağıntısı ispatlanacaktır. Laguerre matris polinomlarının üreteç fonksiyonu modifiye edilerek modifiye Laguerre matris polinomları tanımlanacak, sağladığı üç terimli rekürans bağıntısı, Rodrigues formülü, matris diferansiyel denklemi ve sahip olduğu bilineer ve bilateral üreteç fonksiyonları incelenecektir. Ayrıca, Laguerre-tipli matris polinomları için yeni bir genelleştirme verilecektir. II. tip Chebyshev matris polinomları genelleştirilerek, özellikleri araştırılacaktır. Sağladığı bir integral gösterimi kullanılarak bu matris polinomları için bazı operatör formülleri ispatlanacaktır. Ayrıca, II. tip Chebyshev matris polinomlarının sağladığı bir matris diferansiyel denklem elde edilecektir. Genelleştirilmiş Humbert matris polinomları için bazı rekürans bağıntıları, matris diferansiyel denklemi, integral gösterimi gibi özellikler araştırılacaktır. Ayrıca, Gegenbauer matris polinomları için bir seri dönüşüm formülü ispatlanarak birkaç uygulaması verilecektir. Gamma matris fonksiyonunun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır. Bununla birlikte, sinüs matris fonksiyonu için bir sonsuz çarpım formülü elde edilecektir. Riemann zeta matris fonksiyonu tanımlanarak bazı matris integralleri hesaplanacaktır. Son olarak, Riemann zeta matris fonksiyonun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır. In this thesis, we study on matrix extension of some classical special functions. We give addition and multiplication formulas for Hermite matrix polynomials. We obtain other generating functions for Hermite matrix polynomials and write Hermite matrix polynomials as a hypergeometric matrix functions. We introduce generalized Hermite matrix polynomials. We obtain Burchnall operational formula and Nielsen identity for Hermite matrix polynomials by choosing appropriate parameters from the properties of generalized Hermite matrix polynomials. We define modified Laguerre matrix polynomials by modifiying the generating function of Laguerre matrix polynomials. We obtain three term matrix recurrence relation, Rodrigues formula, second-order matrix differential equation and several families of bilinear and bilateral generating matrix functions for modified Laguerre matrix polynomials. Moreover a new generalization of the Laguerre-type matrix polynomials is introduced. We generalize the second kind Chebyshev matrix polynomials and focus on their properties. Using their integral representation we investigate operational rules associated with operators corresponding to these matrix polynomials. Furthermore we obtain a matrix differential equation of second kind Chebyshev matrix polynomials. We obtain some properties of generalized Humbert matrix polynomials such as matrix recurrence relations, matrix differential equation and an integral representation. Moreover, we obtain a series transformation formula involving Gegenbauer matrix polynomials. Then we provide a number of applications. We get a functional equation of the gamma matrix function. Moreover we give the infinite product expansion of sin matrix function. We define Riemann zeta matrix function and evaluate some matrix integrals. Finally we prove a functional equation of Riemann zeta matrix function. 83

Bu çalışmada ilk olarak Weierstrass fonksiyonunun temel özellikleri incelenmiş ve sağladığı teoremler verilmiştir.Sonra Jacobi Theta fonksiyonları verilip gerçeklediği bağıntılar ispatlanmıştır.Theta fonksiyonlarının yardımıyla Jakobi sn(z,k), cn(z,k) ve dn(z,k) fonksiyonları incelenmiştir.Bulgular bölümünde Theta fonksiyonlarının sonlu toplamları ve bunlarla ilgili bazı özdeşlikler incelenmiştir.Kübik theta fonksiyonlarında iki teorem ve iki sonuç ispatlanmıştır. In this study,firstly,the Weierstrass dunction is studied and also some theorems related to the Weierstrass function is given.The Jacobi theta functions are given.By using these functions, Jacobi theta functions sn(z,k), cn(z,k) and dn(z,k) is investigated.Finally,the finite summation formulas for the Theta functions and some identities are proved.Two teorems and two corollary for the cubic theta functions are proved. 36

In the present paper the authors consider the $\mathcal{P}_{\nu,2}$-transform as a generalization of the Widder potential transform and the Glasser transform. The $\mathcal{P}_{\nu,2}$-transform is obtained as an iteration of the the $\mathcal{L}_{2}$-transform with itself. Many identities involving these transforms are given. By making use of these identities, a number of new Parseval-Goldstein type identities are obtained for these and many other well-known integral transforms. The identities proven in this paper are shown to give rise to useful corollaries for evaluating infinite integrals of special functions. Some examples are also given as illustration of the results presented here., Comment: 13 pages

81

Bu tezin amacı poly-üstel fonksiyonlar geometrik ve ¸stel polinomlar yardımile incelemektir. Ayrıca Apostol-Bernoulli fonksiyonlar¨ve Frobenius Eulerian polinomların açılımlarını farkl bir yoldan araştırmaktırTezin ilk bölümünde Bernoulli polinomlar Riemann zeta, Hurwitz zeta ve poly-üstel fonksiyonlar¨, H(s) ve H(s,z) Dirichlet serileri hakk¨nda bilgi verilmiştir. Ikinci ·bölümde Apostol-Bernoulli, Riemann zeta ve Hurwitz Zeta fonksiyonlar¨ile H(s,z)Dirichlet serisinin gerçekledigi temel teoremler ve bağıntılar verilmiştir. Üçüncübölümde (xD) türev operatörünün sagladığı bazı özellikler verilmistir. Daha sonra katsayıları Hurwitz zeta ve Lerch zeta fonksiyonlar¨olan seriler incelenmistir.Son bölümde poly-¸stel fonksiyonların seri açılımları yappılmış ve Frobenius Eulerian polinomlarının geometrik polinomlar cinsinden ifadesi verilmiştir.ANAHTAR KELIMELER : Frobenius Eulerian Polinomlar¨, Geometrik Polinom- ·lar, ‹stel Polinomlar, Riemann zeta Fonksiyonu,Hurwitz Zeta Fonksiyonu, Lerch Zeta Fonksiyonu,Poly-¸stel Fonksiyonlar, Dirichlet Serileri The aim of this thesis is to study polyexponantial functions with the help ofgeometric and exponantial polynomials and to investigate expansions of ApostolBernoulli functions and Frobenius Eulerian polynomials in a di§erent way.In the Örst section of the thesis we introduce Bernoulli polynomials, Riemannzeta, Hurwitz zeta, polyexponantial functions, Dirichlet series H(s) and H(s,z). In thesecond section, main theorems and some relations which holds by Apostol-Bernoulli,Riemann zeta, Hurwitz zeta, polyexponantial functions and Dirichlet series H(s,z)are given. In the third section, some properties of the (xD) operator are given.Afterwards series with Hurwitz and Lerch zeta function coe¢ cients are studied.In the Önal section, series with polyexponantial coe¢ cients are studied and Frobenius Eulerian polynomials and numbers are obtained in terms of geometric polynomials.KEY WORDS: Frobenius Eulerian Polynomials, Geometric Polynomials, Exponantial Polynomials, Riemann zeta Function, Hurwitz zetaFunction, Lerch zeta Function, Polyexponantials, Dirichlet Series. 57

56

ÖZET GENELLEŞTİRİLMİŞ HARDY TOPLAMLARI Mümün CAN Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Veli KURT Haziran 2006, 54 Sayfa Bu çalışmada, Theta fonksiyonlarının logaritmik dönüşüm formüllerinde görü len Hard)' toplamları, dönüşüm formülleri yardımı ile genelleştirilmiştir. Genelleştiril miş Hardy toplamlarının sağladıkları reciprocity bağıntıları dönüşüm formülleri yardımı ile bulunmuş, bazı özellikleri incelenmiş ve trigonometrik seriler ile Dedekind toplamı cinsinden ifadeleri verilmiştir. Ayrıca, elde edilen bu toplamlar Dirichlet karakteri ile genelleştirilip sağladık ları reciprocity bağıntıları dönüşüm formülleri yardımıyla ispatlanmış, bazı özellikleri incelenmiş ve karakter Dedekind toplamı cinsinden ifadeleri verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER : Dedekind Toplamları, Hardy Toplamları, Bernoulli Polinomları, Euler Polinomları. JÜRİ: Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. İlham ALİEV Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL Yrd. Doç. Dr. Yılmaz ŞİMŞEK Yrd. Doç. Dr. Melike B. YÜCEL ABSTRACT GENERALIZED HARDY SUMS Mümün CAN Ph.D. in Mathematics Adviser: Prof. Dr. Veli KURT June 2006, 54 Pages In this work, Hardy sums, arising in the transformation formulas of logarithms of theta functions, are generalized by using transformation formulas. Several properties of these sums are given and the connections between trigonometric series and Dedekind sums are derived. The reciprocity laws satisfied by these sums are obtained by employing the transformation formulas. Furthermore, the character generalizations of generalized Hardy sums are pre sented and the corresponding reciprocity laws are given. Several properties of this gen eralization are investigated and the connection between Dedekind character sums is derived as well. KEY WORDS: Dedekind Sums, Hardy Sums, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials. COMMITTEE: Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. İlham ALİEV Prof. Dr. Ismail Naci CANGÜL Asst. Prof. Dr. Yılmaz ŞİMŞEK Asst. Prof. Dr. Melike B. YÜCEL n 58

ÖZET DEDEKIND TOPLAMLARININ ORTALAMA DEĞERLERİ Ayhan DİL Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr.Veli KURT Aralık 2005, 51 Sayfa Bu tezin amacı Bernoulli, Euler, Genocchi polinomları ve sayıları ile ilgili bazı özdeşlikler, yineleme bağıntıları elde etmek; Euler-Seidel matrislerinin öğelerini veren yeni üreteçler bulmak ve Zp üzerinde Euler-Seidel matrislerinin tiplerini belirlemek tir. Çalışmada öncelikle Dedekind toplamları, Stirling sayıları, Bernoulli, Euler, Genocchi polinomları ve sayıları ile ilgili temel tanımlar, özdeşlikler, yineleme bağıntıları verilmiş; bazı özellikleri incelenmiştir. Söz konusu sayılar için Akiyama-Tanigawa algoritması verilmiştir. Daha sonra Euler-Seidel matrisleri tanıtılmış, çeşitli özellikleri gösterilmiş ve verilen örneklerle konu detaylandırılmıştır. Bunun yanısıra Euler-Seidel matrislerinin Bernoulli, Euler, Genocchi ve Tanjant sayıları ile ilişkisi kurulmuştur. Son bölümde Euler-Seidel matrislerinin Zp üzerinde p (p - 1) xp tipinde oldukları gösterilmiştir. Bu matrislerin a/ girdileri için yeni üreteçler elde edilmiştir. Zhi- Wei Sun, Hao Pan ve Ke-Jian Wu'nun Bernoulli, Euler polinomları ve sayıları için bulduğu bağıntılar, Genocchi sayıları ve polinomları için de elde edilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Dedekind Toplamları, Bernoulli Polinomları, Euler Polinomları, Genocchi Polinomları, Tanjant sayıları, Stirling Sayıları, Euler-Seidel matrisleri, Akiyama-Tanigawa Algoritması JÜRİ: Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. Nuri ÜNAL Yrd. Doç. Dr. Yılmaz ŞİMŞEK ABSTRACT MEAN VALUES OF DEDEKIND SUMS Ayhan DİL M.Sc. in Mathematics Adviser: Prof. Dr. Veli KURT December 2005, 51 Pages The aim of this thesis is to obtain some identities and recursion relations concerning Bernoulli, Euler, Genocchi polynomials and numbers; to find generators which give the entries of Euler-Seidel matrices and to determine the types of Euler- Seidel matrices. Firstly, Dedekind sums, Stirling numbers, Bernoulli, Euler, Genocchi polyno mials and numbers are defined; fundemental properties of these sums, numbers and polynomials are given also identities and recursion relations of these polynomials, numbers are investigated. Besides, The Akiyama-Tanigawa algorithm for these num bers is given. Then Euler-Seidel matrices are defined, some of their properties are given and with some examples the subject is studied in detail. Furthermore, the con nection between Euler-Seidel matrices and Bernoulli, Euler, Genocchi and Tangent numbers is established. In the final section it is proved that the type of Euler-Seidel matrices on Zp is p (p - 1) x p. New generators for afc which are entries of Euler-Seidel matrices are obtained. Also relations for Genocchi polynomials and numbers are obtained in a similar fashion to the relations for Bernoulli and Euler polynomials and numbers given bye Sun, Pan, Wu (2004). KEY WORDS: Dedekind Sums, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, Genocchi Polynomials, Tanjant numbers, Stirling numbers, Euler-Seidel matrices, Akiyama-Tanigawa Algorithm. COMMITTEE: Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. Nuri ÜNAL Yrd. Doç. Dr. Yılmaz ŞİMŞEK u 55

ÖZET GENELLEŞTİRİLMİŞ DEDEKIND TOPLAMLARI VE BERNOULLI POLİNOMLARI MEHMET CENKÇİ Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Veli KURT Mayıs 2001, 36 Sayfa Bu çalışmanın esası, Genelleştirilmiş Dedekind Toplamlarındaki reciprocity bağıntısını Bernoulli polinomları yardımı ile bulmaktır, ilk olarak Dedekind Toplam larının temel özellikleri, bu toplamlarla ilgili teoremler, genelleştirmeler ve ispatlar verildi. Bernoulli polinomuna Dieter anlamında türev operatörünün uygulaması yapıldı. Son bölümde, homojen olmayan Dedekind Toplamlarında D (h, k) fonksiy onunun sürekli kesir ifadesi ispatlandı. Bununla birlikte türev operatörü Bernoulli polinomlarına uygulanarak Genelleştirilmiş Dedekind Toplamlarının reciprocity bağıntısı ispatlandı. Bu bağıntının 3 = 1 özel durumu olan Takacs'ın sonucu elde edildi. ANAHTAR KELİMELER: Dedekind Toplamları, Bernoulli Polinomları JÜRİ: Prof. Dr. Veli KURT, Yrd. Doç. Dr. Hüseyin IRMAK Yrd. Doç. Dr. Fatma GÖK ABSTRACT GENERALIZED DEDEKIND SUMS AND BERNOULLI POLYNOMIALS MEHMET CENKÇİ M.S. IN MATHEMATICS Adviser: Veli KURT, Ph. D. May 2001, 36 Pages The main purpose of this study is to obtain reciprocity formula for Generalized Dedekind Sums with the help of Bernoulli polynomials. First, basic properties of Dedekind Sums, fundamental theorems and generalizations are given. Afterwards, Bernoulli polynomials are defined and applications of the operator ^ are given. At the end, in nonhomogeneous Dedekind Sums the function D (h, k) is given by continued fractions. Also, the operator Jj is used in Bernoulli polynomials to get the reciprocity formula for the Generalized Dedekind Sums. In particular, for s - 1 some results are obtain, equivalent in Takacs'. KEY WORDS: Dedekind Sums, Bernoulli Polynomials COMMITEE: Prof. Dr. Veli KURT Yrd. Doç. Dr. Hüseyin IRMAK Yrd. Doç. Dr. Fatma GÖ] 32

Bu çalişmanın esası s (h,k) 1 , s (h,k) 2 , s (h,k) 3 , s (h,k) 5 Hardy toplamlarındaRademacher'ın iki sorusunu araştırıp yanıtlamaktır. Daha sonra bu toplamların sağladığıbazı eşitsizlikleri ifade etmektir. İlk olarak Dedekind toplamları, Hardy toplamlarınıntanımları, bu toplamların bazı özellikleri, aralarındaki bağıntılar ve sağladıkları temeleşitlikler verildi.S(h, k), s (h, k) 4 toplamlarının seri açılımı yardımıyla ifadesi ve sağladıkları bazıeşitlikler verildi.Son bölümde s (h,k) 1 , s (h,k) 2 , s (h, k) 3 , s (h,k) 5 Hardy toplamlarının seriaçılımı ve bazı eşitsizlikler ispatlandı.ANAHTAR KELİMELER : Dedekind Toplamları, Hardy Toplamları, Farey Kesri The main purpose of this study is to investigate extensively Rademacher's twoquastions on s (h, k) 1 , s (h, k) 2 , s (h, k) 3 , s (h, k) 5 Hardy sums. First, Dedekind sumsand Hardy sums are defined and fundamental properties of these sums are given.Afterwards, some relations and expressions on S(h, k), s (h, k) 4 are given.At the end, we obtain some equalities and inequalities on s (h, k) 1 , s (h, k) 2 ,s (h, k) 3 , s (h, k) 5 Hardy sums. The answers of Rademacher's queastions are obtainedon this s (h,k) 1 , s (h, k) 2 , s (h, k) 3 , s (h, k) 5 sums.KEY WORDS : Dedekind Sums, Hardy Sums, Farey Fractions 43

II ÖZ Bu çalışmanın giriş kısmında, çalışmanın diğer kısmına bir temel oluşturmak için, 1atisiler, çifte periyodik fonksiyonlar ve memomorf fonksiyonların bazı tanımları verilip, Welertrass 'm Spu, Çu, ou fonksiyonları tanıtıldı. I. kısımda jpu 'nun normalla eştirilmiş latislerde aldığı değerler verildi. İkinci kısımda g. u ve hu eliptik fonksiyonları tanıtıldı, buna ilaveten, bu fonksiyonların yarı ve çeyrek periyot noktalarda aldığı değerler hesaplandı. Ill ABSTRACT In introduction of this study, soihe definitions of lattices, first order and meromorphic functions are given to construct a base for the rest of the study and Weierstrass ^pu, Çu and cm functions are introduced. In chapter one, the values of pu function, which takes on the normalized lattices, are given. In chapter two, g. u and h: u elliptic functions are introduced. In addition, the values öf these functions which take ön the half period points and oh the quarter period points, are calculated. 57

II ÖZ Bu çalışmadaki amaç Dedekind ve Hardy toplamlarının temel özelliklerini daha geniş bir şekilde incelemektir, ilk olarak Dedekind ve Hardy toplamlarının ardışık; Farey kesirleri yardımıyla genelleştirmeleri yapıldı. Sonra Dedekind ve Hardy toplamları arasındaki bağıntılar incelendi. Hardy toplamları, Dedekind toplamları ve. Bernoulli sayıları cinsinden ifade edilerek genelleştirildi. Son olarakta, / Polinomlar için tanımlanmış olan üçlü-terim bağıntısına türev operatörleri uygullanarak, Hardy toplamlarının üçlü-terim bağıntıları verildi. Buradan aynı yöntem kullanılarak Hardy toplamların da s3(h,k) ile S4

V ÖZET Modüler formlar, eliptik fonksiyonların bir ileri konusudur. Çeşitli şekillerde tanımlanan bu formlar, burada, Rankin anlamında tanımlandı. Daha sonra formun, modüler fonksiyon ve uçform olma özellikleri ele alındı. Hecke operatörü, Atkin-Lehner anlamında tanımlanarak bunun bir takım özellikleri gerçeklendi ve ilgili bazı teoremler ispatlandı. VI SUMMARY ` Modular forms ` is a further subject of elliptic functions. These forms described in various ways were defined as that of Rankin in this study. Later, modular functions of the forms and their cusp form features were studied. The features of Hecke operators being described as Atkin-Lehner have been realized and some ralated theorems have been proved. 34

ÖZET Bu çalışmanın ilk bölümünde Hermityen matrislerde temel tanımlar, matris özellikleri, sınırlı doğrusal dönüşüm, Hilbert Uzayı tanımı verilmiştir. ikinci bölümde Hermityen matris eşitsizlikleri ile ilgili bazı teoremler verilmiştir ve ispatlanmıştır.- Gerçek sayılar kümesi üzerinde gerçeklenen bazı eşitsizlikler Hermityen matrisler üzerinde sağlanmadığı gösterilmiştir. Son bölümde A i B >, 0 eşitsizliğini sağlayan pozitif Hermityen matrislerde A`1 î B-1 eşitsizliği genelleştirilerek A-1'` S B-1'` eşitsizliği bulunmuştur. Hilbert uzayları üzerinde tanımlı sınırlı pozitif Hermityen dönüşümlerinde A` i B` ise A >, B olduğu ispatlanmıştır. Son olarak Chan-Kwong' un iki açık problemi çözülmüştür. Ve ters örnek verilmiştir. VI SÜTGCAHY In part-I of this study the basic definition of Hermitian Katrix and their characteristics together with the definitions of bounded linear operators and Hubert Space were introduced. In part-I I the inequalities related to Hermitian Matrix were introduced and some theorems were proved. It was shown that some inequalities that can be obtained for real number sets, can not be obtained for Hermitian Matrix, In the final part the positive Hermitian Matrix Inequality A i B i 0 which result in the inequality A-1 * B`1 has been generalized to obtain A-1'` S B-``. The nonnegatif Hermitian operators A` ) B` has been proved to be A i B on Hi 1 bert Space when restricted for positive definition only. Finally, the two conjecture of Chan-Kwong was solved and a counterexample was given. 26