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Tese de doutoramento em Ciências da Educação (ramo de conhecimento em Tecnologia Educativa), A globalização e a revolução tecnológica potenciaram novos desafios e oportunidades em diversas áreas, nomeadamente na educação. No caso particular da Matemática, dados os resultados menos positivos dos alunos portugueses em provas nacionais e internacionais, a utilização correta da tecnologia, com a incorporação de alguns pressupostos educativos propostos nesta investigação, pode contribuir para a melhoria desses resultados. O mesmo acontece se promovermos, nos ambientes tecnológicos, a autorregulação da aprendizagem (ARA), construto fundamental nos processos de aprendizagem com implicações no sucesso escolar. Esta investigação incorpora contribuições da tecnologia, da Matemática e da psicologia da educação na construção de uma aplicação hipermédia (inserida na plataforma Hypatiamat). Primeiramente foi construída uma aplicação hipermédia dinâmica e interativa sobre o Teorema de Pitágoras (TP) tendo em atenção alguns pressupostos (e.g., andaimagem, inclusão de um tutor digital, feedback adaptado, ARA). Posteriormente, e usando esta aplicação, desenvolvemos a nossa investigação seguindo um modelo quasi-experimental com avaliação pre-post com três grupos da variável independente. Participaram nesta investigação 62 professores, 120 turmas e 2862 alunos do 8.º ano de escolaridade. Pretendeu-se avaliar o impacto da utilização da aplicação do TP nos resultados académicos em Matemática, nos processos de ARA dos alunos e na autoeficácia (AE) a Matemática. Para isso, e antes de lecionado o conteúdo do TP, foi ministrada uma ação de formação a todos os docentes envolvidos na investigação e foram criados três grupos com as seguintes condições: no primeiro grupo, GE1, os alunos aprenderam os conteúdos de uma unidade curricular (Teorema de Pitágoras, TP) utilizando a aplicação hipermédia e o seu guião autorregulatório como suporte para as aprendizagens; no GE2 os alunos foram informados pelos professores da existência da aplicação, mas não a utilizaram na sala de aula como recurso para as aprendizagens. No terceiro grupo, GC, os alunos não foram informados da existência da aplicação. Os resultados do pré-teste revelaram que os grupos participantes eram equivalentes nos domínios do conhecimento prévio, na ARA e na AE. Após a intervenção, os resultados obtidos confirmam a eficácia da ferramenta na aprendizagem do conteúdo de matemática do TP e dos processos de autorregulação da aprendizagem. Os grupos GE1 e GE2 apresentaram diferenças estatisticamente significativas nas variáveis tomadas face ao GC, e o GE1 apresentou resultados superiores face ao GE2 nas mesmas variáveis. Globalmente, os resultados indicaram que as aplicações hipermédia baseadas nos pressupostos educativos já referidos podem contribuir para melhorar os resultados académicos a Matemática e os processos de autorregulação da aprendizagem., Globalization and technological revolution created new challenges and opened new avenues in several areas, namely in Education. Particularly concerning Maths, and due to the poor results of Portuguese students in national and international assessments, the proper use of technology combined with some educational assumptions referred in the present research work, may contribute to the improvement of our students academic results. The same is supposed to happen when one attends to self-regulated learning (SRL) – a fundamental construct – and incorporates it in technological environments as it may have clear repercussions in the enhancement of achievement. The current research combines contributions from Technology, Maths and Educational Psychology in its design and construction of the hypermedia application used (the one presented in the Hypatiamat site). Initially, a dynamic and interactive hypermedia application about The Pythagorean Theorem (TP) has been built, having some essential assumptions in mind (e.g., scaffolding, inclusion of a digital tutor, adjusted feedback, SRL). After this first step, while using this application, the study has been developed following a quasi- experimental model with a preposttest evaluation of the three independent variable groups under research. A sample of 62 teachers, 120 classes and 2862 students from the 8th grade enrolled in the study. The aim was to evaluate the impact of using the application with TP in the academic results of Maths, in the students’ SRL processes and in self-efficacy (SE) for Maths. Therefore, and prior to the teaching of the TP contents, a guided teaching aid was tutored to every teacher involved, and three groups were created according to the following experimental conditions: in the first group, named GE1, students learned the contents of the curricular Unit (Pythagorean Theorem - TP) using the hypermedia application and its SRL Framework as a learning support; in the second group, named GE2, students were informed about the application, but they did not actually use it as a learning support and, lastly, in the third group, named GC, students followed a regular learning pattern and were not even informed about the existing application. The pre-test results revealed that students in the assigned groups achieved similar in terms of prior knowledge in the domain, in SRL and SE. After the intervention, the results confirm the relevance and efficiency of this tool to learn the Maths TP contents along with the selfregulated learning processes. The groups GE1 and GE2 presented statistically significant differences in the executed variables comparing to GC; the students in GE1 achieved better results than students in GE2, when considering the same variables. In general, findings show that the hypermedia applications, based on the educational assumptions previously mentioned, may contribute to improve students’ academic results in Maths as well as their self-regulated learning processes., Este projeto foi financiado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), através da tribuição da bolsa de Doutoramento com a referência SFRH/BD/71590/2010.

Tese de doutoramento em Estudos da Criança (ramo de conhecimento em Matemática Elementar), O pensamento algébrico estabelece-se como uma das fundações matemáticas ao longo de toda a escolaridade. A Matemática, como ciência dos padrões, assenta na procura do que se mantém e do que varia, do que é igual e do que é diferente. O 1.º CEB revela-se como uma porta de entrada, com enormes potencialidades, para desenvolver as capacidades dos alunos ao nível do pensamento algébrico, através de tarefas de cariz algébrico pela procura de regularidades e generalizações. Diversos autores referem que a introdução do pensamento algébrico no 1.º CEB não implica mais conteúdos matemáticos, mas uma visão da matemática assente na procura de oportunidades para encontrar regularidades para expressar, justificar e construir generalizações matemáticas. O professor deve desenvolver a sua capacidade de detetar oportunidades algébricas, e, deste modo, criar situações ricas para desenvolver o pensamento algébrico dos alunos e todas as suas capacidades e aptidões. Assim, o objetivo deste estudo é examinar o tipo de processos usados pelos alunos – ao longo de dois períodos escolares incluindo as férias escolares de verão – na resolução de tarefas que envolvem pensamento algébrico, através de sequências de tarefas que abarcam pensamento algébrico e analisar as relações entre as tarefas e os processos de pensamento algébrico. Pretende-se, igualmente, analisar que tipo de tarefas possibilita melhor desempenho e qual a melhor ordem de apresentação das tarefas. Neste sentido, foram definidas as seguintes questões de investigação: 1. Que relações encontramos entre tarefas propostas e o pensamento algébrico, atendendo ao nível de complexidade dos processos utilizados: 1.1. Que sequências de oscilação de níveis de complexidade se destacam perante tarefas diferentes? 1.2. Que tarefas provocam chegar aos níveis de complexidade mais elevados? 1.3. Que tarefas provocam chegar rapidamente aos níveis de complexidade mais elevados? 2. Que tipo de tarefas (estruturais ou sequenciais) possibilita melhor desempenho: 2.1. Após a 1.ª fase de experimentação das tarefas. 2.2. Após pausa de três meses. 2.3. Após a 2.ª fase de experimentação das tarefas. 3. Que tipo de ordem de sequência de tarefas (Estrutural → Sequencial ou Sequencial → Estrutural) possibilita um melhor desempenho: 3.1. Comparando desempenhos dos grupos durante a utilização das tarefas. 3.1.1. Percentagem de tempo para chegar aos níveis mais altos. 3.1.2. Percentagem de tempo de permanência nos níveis mais altos. 3.1.3. Tempo total para a realização das tarefas. 3.2. Comparando grupos e turmas no fim de todo o processo. Com o objetivo de levar a cabo este estudo optou-se por uma metodologia mista, tendo, no entanto, uma prevalência do caráter qualitativo em relação ao quantitativo. O estudo decorreu ao longo do 3.º período do ano letivo de 2010/2011 e 1.º período do ano letivo de 2011/2012, envolveu duas turmas do 3.º ano de escolaridade, as mesmas foram acompanhadas durante o 1.º período, quando já se encontravam no 4.º ano. Os dados recolhidos, neste estudo, abrangeram as duas turmas em geral e um grupo de 4 alunos, em cada turma, em particular. Os dados recolhidos assentaram na observação, participação nas aulas, gravações áudio e vídeo, notas de campo, documentos diversos, sendo de realçar entre estes, os registos escritos da resolução das tarefas, por parte dos alunos, e o pré-teste e pós-testes aplicados ao longo do estudo (testes de avaliação de desempenho), num total de quatro ocorrências, bem como notas de campo. Os dados recolhidos possibilitaram verificar a ocorrência de processos oscilatórios durante a resolução de tarefas, os quais são ainda mais acentuados pelo facto do trabalho desenvolvido ter sido em contexto de grupo, provocando interações entre os elementos. As tarefas possibilitaram o desenvolvimento de processos de níveis de complexidade mais avançados. A larga maioria das tarefas envolvidas no estudo criou condições para a ocorrência de processos, dos níveis de complexidade mais elevados, num período de tempo curto (em menos de 3 minutos) que se traduziram, por exemplo, no levantamento de conjeturas e de processos de generalização. Apenas em duas tarefas os grupos não conseguiram chegar rapidamente aos níveis 5 ou 6. No entanto, em todas as tarefas os grupos desenvolveram processos enquadrados no nível 6. Apenas em duas tarefas não ocorreram processos de nível 5. Ao longo das 12 tarefas verificou-se a ocorrência de todos os 19 tipos de processos envolvidos neste estudo. Os resultados ocorridos, antes e depois do interregno escolar, mostram que as tarefas sequenciais permitem melhor desempenho e apresentam uma maior capacidade de retenção dos conhecimentos, por parte dos alunos, em relação às tarefas estruturais. Em relação à ordem das tarefas, os dados analisados ao nível de grupo e de turma indiciam que a sequência de tarefas Sequencial→Estrutural possibilita melhor desempenho. Em termos gerais, os resultados do pré-teste e pós-testes levam-nos a concluir que a ordem (Sequenciais → Estruturais) possibilita melhor desempenho., Algebraic thinking sets up itself as one of the mathematical foundations throughout schooling. Mathematics, as a science of patterns, consists of the search of what is invariant and what varies, of what is equal and what is different. Primary school can be seen as a gateway, with huge potentialities, to develop students’ capacities at the level of algebraic thinking, through tasks of algebraic characteristics based on the search for regularities and generalisations. Several authors report that the introduction of the algebraic thinking in the primary school does not imply more mathematical contents, but a vision of mathematics based on the search of opportunities to find out regularities to express, to justify and to build mathematical generalisations. Teachers must develop their capacity to detect algebraic opportunities, even in apparently routine tasks and thereby, create rich situations to develop students’ algebraic thinking and all their capacities and skills. Thus, the aim of this study is to examine the type of processes used by students – during two school terms where the interruption of the summer school holidays was included – in solving tasks involving algebraic thinking, specifically through sequences of tasks that include algebraic thinking, analysing the relationships between tasks and algebraic thought processes. It is also aimed to analyse what types of task enable a better performance, as well as what is the best order of presentation of tasks. In this sense, the following research questions have been identified: 1. What relations can be found between proposed tasks and algebraic thinking, considering the level of complexity of the processes used: 1.1.What oscillation sequences of the complexity levels arise in different tasks? 1.2. What tasks lead to the higher levels of complexity? 1.3. What tasks allow to attain quickly the higher levels of complexity? 2. Which type of tasks (structural or sequential) enables better performance: 2.1 After the first stage of the experimentation of tasks. 2.2. After a pause of three months. 2.3. After the second phase of the experimentation of tasks. 3. Which kind of sequential order of the tasks (Structural → Sequential or Sequential → Structural) enables a better performance: 3.1. Comparing the performances of the groups during the completion of tasks. 3.1.1 Percentage of time to achieve the highest levels. 3.1.2. Percentage of time remaining at the highest levels. 3.1.3. Total time to carry out the tasks. 3.2. Comparing groups and classes at the end of the whole process. In order to carry out this study, a mixed methodology was chosen, having, however a prevalence of the qualitative aspect in relation to the quantitative. The study took place during the third term of the academic year 2010/2011 and the first term of the following year (2011/2012), and it involved two classes from the third class that were accompanied during the first term, when students were already on the fourth year. Data collected in this study was from two classes, in general, and a group of four students, in each class, in particular. The collected data were based on observation, class participation, audio and video recordings, field notes, several documents, standing out, among these, the written four records of the tasks solving, by the students, and the pretest and post-tests applied throughout the study (performance evaluation tests), for a total of four implementations as well as the field notes. The collected data enabled the verification of the existence of oscillatory processes during tasks solving which were more accentuated due to the fact that the students work happened in a group setting, provoking interactions among the elements. Tasks enabled the development of processes of more advanced levels. The vast majority of the tasks involved in this study created conditions for the occurrence of processes of higher complexity levels, in a short period of time (in less than three minutes) that resulted, for example, in conjectures and generalisations processes. Only in two tasks, groups were not able to achieve quickly levels five or six. However, in all tasks the groups developed processes belonging to level six. Only in two tasks the level five processes did not occur. Throughout the twelve tasks all nineteen types of processes involved in this study occured. The results obtained, before and after school holidays, show not only that sequential tasks enable a better performance, but also a larger capacity of retention of knowledge by students compared to structural tasks. Regarding the order of tasks, data analysis both at the level of group and class indicate that the sequence of tasks Sequential → Structural allows a better performance. In general, the results of the pre-test and post-test in classes lead us to conclude that the order (Sequential → Structural) enable a better performance compared to the reverse – to beginning with structural tasks., Fundação para a Ciência e a Tecnologia bolsa no ano lectivo 2010/2011. Ministério da Educação e Ciência bolsa concedeu a equiparação a bolseiro durante os anos lectivos 2010/2013.

Tese de doutoramento em Estudos da Criança (especialidade em Matemática Elementar), Jogar é uma atividade que se encontra presente em diferentes domínios da cultura, sendo também uma atividade com forte ligação à matemática. A componente lúdica dos jogos tem contribuído para que sejam encarados como agentes motivadores do ensino e aprendizagem da matemática ou de outras áreas. A recomendação da prática de determinados jogos de estratégia, como meio de desenvolvimento de competências úteis ao ensino e aprendizagem da matemática, tem vindo a ser manifestada em documentos curriculares e na literatura. Nomeadamente, os jogos de tabuleiro são referidos como potenciadores de benefícios para o desempenho dos alunos em matemática, onde os tabuleiros podem constituir contexto para a resolução de problemas interessantes. A identificação de padrões é considerada, pela literatura e pelos documentos curriculares, um dos aspetos essenciais à aprendizagem matemática. A ligação entre padrões e jogos encontra-se presente em vários aspetos do jogo, como o material ou a análise de alguns jogos, onde é possível identificar diferentes padrões, que permitem o estabelecimento de conexões entre diferentes campos da matemática. A capacidade de identificar padrões foi analisada num estudo, desenvolvido junto de alunos do Ensino Básico, que revelou existir relação entre a força de jogo em xadrez e a capacidade de identificar padrões. A implementação do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos veio divulgar e incentivar a prática deste tipo de jogos de tabuleiro. Atendendo a que os jogos matemáticos não são jogos didáticos, interessava verificar se a prática deste tipo de jogos teria alguma relação com aspetos ligados ao ensino da matemática, nomeadamente à identificação de padrões. Consequentemente surgiu o interesse em aferir possíveis diferenças nessas relações entre jogos matemáticos distintos, bem como estre estes jogos e outro tipo de jogos. Este estudo pretende verificar se a capacidade de identificar padrões está relacionada com a capacidade de jogar jogos matemáticos, um jogo de informação imperfeita e um jogo para um jogador; se existem, para os grupos dos melhores jogadores e dos piores jogadores, relações específicas e diferenciadas entre a capacidade de jogar e a capacidade de identificar padrões; se a capacidade de jogar está relacionada com a avaliação escolar a matemática; se existem diferenças na capacidade de identificação de padrões entre a prática sistemática de jogos matemáticos e a resolução de problemas em contexto de jogo. O estudo é de natureza quantitativa, e foi desenvolvido em duas etapas complementares: um estudo correlacional e um estudo quase-experimental. A população é constituída por alunos do Ensino Básico, sendo utilizada uma amostra de alunos do 3.º ao 6.º ano. Como instrumentos de recolha de dados utilizou-se um teste que mede a capacidade de identificar padrões, o ranking dos campeonatos, os resultados obtidos nas provas de aferição e uma bateria de problemas em contexto de jogo. A análise estatística dos dados foi efetuada recorrendo aos testes adequados a cada especificidade, utilizando o programa SPSS para Windows, versão 17. A análise dos dados revelou que dos quatro jogos de informação perfeita (jogos matemáticos) apenas o Ouri e o Semáforo apresentaram relação significativa com a capacidade de identificar padrões. O jogo de informação imperfeita, Dominó Belga, e o jogo Syzygies (para um jogador) revelaram estar relacionados com a capacidade de identificar progressões numéricas e geométricas e padrões que envolvem números pares e ímpares, respetivamente. No que respeita aos melhores jogadores, a análise revelou que a identificação de padrões apresenta uma relação muito forte com a capacidade de jogar Semáforo e Pontos e Quadrados. Esta análise também identificou uma relação moderada entre a capacidade de jogar Ouri, Semáforo, Pontos e Quadrados, Dominó Belga e Syzygies e tipos particulares de padrões. Relativamente ao grupo de piores jogadores identificaram-se relações entre os jogos Semáforo, Pontos e Quadrados, Gatos & Cães e Syzygies e determinado tipo de padrões. Os resultados da análise também mostraram que apenas o jogo Semáforo tem uma relação moderada com os resultados globais nas provas de aferição, embora os jogos Ouri e Semáforo revelassem relação com alguns dos domínios. Para o jogo Semáforo, a análise da covariância (ANCOVA) revelou a existência de diferenças significativas entre os grupos. Os resultados obtidos sugerem-nos que a identificação de padrões é significativamente diferente quando os alunos praticam sistematicamente o jogo Semáforo., Play is an activity that is present in different fields of culture and with a strong link to mathematics. The recreational aspect of games has contributed to being seen as motivators of the teaching and learning of mathematics or other areas. The recommendation of the practice of certain strategy games as a means for developing useful skills to teaching and learning mathematics has been present in curriculum documents and literature. In particular, board games are referred to as driving forces of benefits for student performance in mathematics, where the boards can be the context for solving interesting problems. Patterns identification is considered, by the literature and the curriculum documents, one of the essential aspects of learning mathematics. The connection between patterns and games is present in different aspects of games, such as materials or the analysis of some games, where it is possible to identify different patterns that enable connections between different fields of mathematics. The ability to identify patterns was analyzed in a study with students of elementary education, which revealed a relationship between the strength of chess and the ability to identify patterns. The realization of the National Championship Game Mathematicians disseminated and encouraged the practice of this group of board games. Since mathematical games are not educational games, we were interested in verifying whether the practice of this kind of games would have some relation to aspects related to the teaching of mathematics, including the identification of patterns. Consequently, we became interested in assessing possible differences in relationships between different mathematical games, as well as between these games and other games. This study aimed to assess whether the ability to identify patterns is related to the ability to play mathematical games , a game of imperfect information and a game for one player; if there is, for the groups of the best players and the worst players, specific and differentiated relationships between the ability to play and the ability to identify patterns; if the ability to play is related to school mathematics assessment; and if there are differences in the ability to identify patterns among the systematic practice of mathematical games and problem solving in a game context. The study is quantitative, and was developed in two complementary steps: a correlational study and a quasi-experimental study. The population consists of elementary school students and we used a sample of students from 3rd to 6th grade. As instruments to collect data we used a test that measures the ability to identify patterns, the ranking of the championships, the results obtained from the standardized tests and a set of problems in a game context. The statistical analysis was performed using the appropriate tests for each specific case, using SPSS for Windows, version 17. Data analysis revealed that concerning the four games of perfect information (mathematical games) only Ouri and Traffic Lights showed a significant relationship with the ability to identify patterns. The game of imperfect information, Dominó Belga, and the game Syzygies (one player) proved to be related to the ability to identify numerical and geometric progressions and patterns involving even and odd numbers, respectively. Concerning the best players, analysis revealed that the identification of patterns has a strong relationship with the ability to play Traffic Lights and Dots and Boxes. This analysis also identified a moderate relationship between the ability to play Ouri, Traffic Lights, Dots and Boxes, Dominó Belga and Syzygies and particular types of patterns. Regarding the group of worst players relationships were identified between games Traffic Lights, Dots and Boxes, Cats & Dogs and Syzygies and particular types of patterns. The results analysis also revealed that only the game Traffic Lights has a moderate relationship with the overall results of the standardized tests, although games Traffic Lights and Ouri revealed relationships with some of the specific fields. Concerning the game Traffic Lights, the analysis of covariance (ANCOVA) revealed significant differences between groups. The results suggest that the identification of patterns is significantly different when students systematically practice the game Traffic Lights.

Tese de Doutoramento em Psicologia (Especialidade em Psicologia da Educação), A matemática é uma das áreas mais importantes no percurso académico, com impacto nas escolhas vocacionais e na própria gestão pessoal (OECD, 2013), mas também uma das que apresenta resultados mais negativos. De acordo com dados mais recentes (PISA, 2012), Portugal, apesar da melhoria, continua a apresentar no domínio da matemática resultados abaixo da média. Compreender o (ins)sucesso na matemática é, portanto, uma das grandes preocupações de pais, professores, políticos, investigadores e da comunidade em geral. Sob o guarda-chuva da teoria sociocognitiva da aprendizagem autorregulada (Zimmerman, 2000, 2008; Rosário et al., 2007, 2010), este trabalho procura compreender como os alunos percecionam a sua aprendizagem da matemática ao longo do tempo, assumindo uma visão holística dos fatores pessoais, sociais e instrutivos que contribuem para o rendimento académico. Para tal, realizou-se um estudo qualitativo com base em entrevistas a alunos do 9.º ano, provenientes de escolas públicas e privadas do norte do país. Considerando as suas classificações a matemática nos 7.º e 8.º anos, foram identificados 2 grupos, com 10 participantes cada: um com percursos de elevado rendimento e outro com percursos de baixo rendimento. Ao longo de um ano letivo, foram conduzidas entrevistas semiestruturadas em 3 momentos distintos, as quais foram codificadas e analisadas de acordo com o racional teórico e com recurso ao software NVivo 9.0. A partir da análise de conteúdo do discurso, das 14 categorias definidas a priori com base na revisão da literatura, foram identificadas 11 gerais, mencionadas por todos os participantes de ambos os grupos (cf. Hill, 2011): objetivos, autoeficácia, comportamentos na sala de aula, atitudes e comportamentos de estudo, estratégias de aprendizagem, autoavaliação, atribuições causais, envolvimento parental, suporte de pares, relação pedagógica e metodologias de ensino dos professores de matemática. As restantes 3 categorias foram consideradas típicas, uma vez que são referidas por metade ou mais de metade dos alunos nos 2 grupos: interesse, inferências adaptativas e satisfação/afeto. O grupo com percursos de elevado rendimento a matemática relatou detalhadamente as suas competências autorregulatórias. Assim, verbalizou objetivos concretos, elevados níveis de autoeficácia e interesse pela disciplina, alterações aos seus comportamentos de estudo decorrentes da autoavaliação, em consonância com a literatura. O grupo com insucesso reportou um conhecimento declarativo e condicional das estratégias mais forte, por oposição a um procedimental mais frágil. Na linha de estudos prévios, os alunos com percursos de elevado rendimento descreveram um apoio direto da família desde o 1.º ciclo, distinto da realidade percecionada pelos alunos de insucesso, de pais com menos tempo e conhecimentos para ajudar. Este grupo atribuiu as suas dificuldades académicas sobretudo ao baixo controlo volitivo, à falta de apoio dos professores e aos comportamentos disruptivos dos pares. Com a exceção de alguns alunos de sucesso, ambos os grupos admitiram que o seu investimento é guiado pelos momentos de avaliação. Este foco nas classificações foi reforçado pela pressão exercida pelos pais e professores, sobretudo no final do ano, para conseguirem os resultados desejados no exame nacional de matemática. Os resultados, à semelhança de estudos anteriores, indicam que a qualidade das relações com os pares, pais e professores pode influenciar os comportamentos autorregulatórios dos alunos. Investigações futuras poderão aprofundar a análise dos resultados apresentados através da triangulação com outras medidas ou ainda levar a cabo estudos de follow-up. O presente trabalho alerta-nos para a importância de repensar o sistema de avaliação do ensino básico, o papel dos pais e professores na promoção das competências autorregulatórias do aluno, com vista a diminuir as diferenças que separam os estudantes de elevado rendimento dos de baixo rendimento e a alcançar o sucesso na matemática, numa responsabilidade partilhada., Mathematics is one of the most important areas in one’s academic career, with repercussion on vocational choices and personal management itself (OECD, 2013), but also one that exhibits the most negative results. According to recent data (PISA, 2012), and despite some improvement, Portugal continues to display below average results in mathematics proficiency. Understanding the mathematics (under)achievement is therefore one of the major concerns of parents, teachers, politicians, researchers and the community in general. Under the umbrella of the social cognitive theory of self-regulated learning (Zimmerman, 2000, 2008; Rosário et al., 2007, 2010), this dissertation attempts to understand students’ perspectives of their mathematics learning throughout time, stressing personal, social and instructive factors contributing to academic achievement. In order to do so, a qualitative study based on interviews to 9th grade students, from both public and private schools, located in the North of the country, was conducted. Based on the marks of 7th and 8th grade students in mathematics, two groups were identified, with 10 participants each: one enrolling low-achievers and the other enrolling high-achievers in mathematics. Throughout one academic year, semi-structured interviews were conducted in three different moments, and then coded and analyzed according to the theoretical rationale, using NVivo 9.0 software. Based on a qualitative content analysis, from the 14 categories defined a priori found on the literature review, 11 were identified as general by all the participants of both groups (cf. Hill, 2011): goals, self-efficacy, classroom behavior, study attitudes and behaviors, learning strategies, selfevaluation, causal attributions, parental involvement, peer support, the pedagogical relationship with mathematics teachers and their teaching methodologies. The other 3 categories were considered typical, since they were mentioned by half or more than half of the students in both groups, namely: interest, adaptive inferences and satisfaction/affection. The mathematics high-achievers group reported in detail its self-regulatory skills. They described concrete goals, high levels of self-efficacy and interest in the subject, changes in its study behaviors resulting from its performance self-evaluation, in accordance with the literature. The low achievers group reported a stronger declarative and conditional knowledge of the strategies, in opposition to a more fragile procedural one. In line with previous studies, high-achievers described a direct support from their families, since elementary school, something different from the perception of the low-achievers, whose parents displayed less time and knowledge to help. This group justified its academic difficulties mainly to its low volitional control, to the lack of teachers’ support and to the peers’ disruptive behavior. With the exception of a few high-achievers, both groups admitted their academic investment is guided by the assessments. This focus on grades was reinforced by parental and teacher pressure, especially at the end of the year, to achieve the desired results in the national mathematics exam. The results help to confirm previous studies indicating that the quality of the relationships with peers, parents and teachers can influence the students self-regulatory learning behavior. Future research may help to deepen the analysis of the results presented through the triangulation with other measures or even carry out a follow-up study. This work alerts to the importance of rethinking the middle school assessment system, the parents’ and teachers’ roles in promoting students self-regulatory skills in order to decrease the gap between low- and high-achievers and reach academic success in mathematics, in a shared responsibility., Este projeto foi financiado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), através da atribuição da Bolsa de Doutoramento com a referência SFRH/BD/48427/2008.

Dissertação de mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), A disciplina de Matemática é das disciplinas curriculares que adquire um maior impacto social, sobretudo pelo fraco desempenho de muitos alunos. Muitas vezes, como justificação desse desempenho, os alunos referem-se à disciplina de Matemática como sendo aborrecida, não motivadora, sobretudo por os seus conteúdos lhes chegarem como algo já feito. Os desafios de pensar e de criar nem sempre estão presentes nas atividades de estudo de tópicos matemáticos. Uma forma de contrariar essa visão é através da matemática recreativa. O que se entende por matemática recreativa? Uma resposta imediata será “é aquela matemática que nos desafia a pensar, nos entretém e nos diverte quando pensamos nela”. Claro que qualquer matemático diria que se diverte com toda a matemática que faz e, portanto, toda a matemática seria matemática recreativa. É preciso, por isso, uma definição mais concreta. Quando se fala em matemática recreativa fala-se não só em jogos matemáticos e em puzzles matemáticos, mas também noutras atividades com carácter lúdico e pedagógico. Com ou sem fator competiçao, pretende-se dar solução a um certo problema. A procura da solução de um problema nem sempre exige um conhecimento profundo de matemática, pelo que as recreações matemáticas atraem a curiosidade de não-matemáticos e inspiram-nos para o seu estudo. Esta é a grande aposta pedagógica da matemática recreativa. Neste trabalho, apresentam-se e estudam-se algumas recreações matemáticas. O primeiro capítulo é dedicado a três jogos matemáticos: o jogo do semáforo, do final do século XX, o jogo dos pontos e linhas, do meio do século XX, e o ouri, o mais antigo jogo matemático que se conhece, que terá mais de 7000 anos. No segundo capítulo, dedicado aos puzzles matemáticos, são trabalhados o Sudoku, o Quadrado Mágico e o Tangram. No terceiro e último capítulo, apresentam-se algumas atividades que, pelo carácter lúdico com que podem ser realizadas, fazem sentido ser abordadas no âmbito da matemática recreativa. Essas atividades envolvem números, cálculo de áreas, distâncias e transformações geométricas. Todas estas atividades podem ser realizadas e exploradas nas aulas de Matemática do Ensino Básico, no desenvolvimento de tópicos matemáticos, de competências, tais como raciocínio e cálculo mental, e de atitudes, tais como persistência e gosto em aprender. Pretende-se, assim, que este trabalho seja também um apoio aos professores deste nível de ensino., Mathematics is one of the curriculum syllabus that has greater social impact, specially due to the poor performance of many students. As a justification of this performance, students often refer to mathematics as being boring, not motivating, specially because mathematical contents are taught as something already established. The challenge of thinking and of creating is not always present in study activities of mathematical topics. One way of correcting this situation is through recreational mathematics. What does recreational mathematics mean? An immediate response is “ it is that mathematics that challenges us to think, that entertains and amuses us when you think about it.” Of course, any mathematician argues that he has fun with all the math involved in his work and so all mathematics would be recreational mathematics. We must, therefore, think of a more precise definition. When we speak of recreational mathematics we mean not only mathematical games and puzzles, but also other activities of fun and educational nature. With or without competitive edge, we want to find the solution of a certain problem. The search for the problem’s solution does not always require a thorough knowledge of mathematics. Hence mathematical recreations attract the curiosity of non-mathematicians and inspire us to its study. This is the great pedagogical objective of recreational mathematics. In this monography, we present and study several mathematical recreations. The first chapter is dedicated to three mathematical games: the traffic light game, from the late twentieth century, the sprouts game, from the middle of the twentieth century and oware, the oldest known mathematical game, which is more than 7000 years old. In the second chapter, which is about mathematical puzzles, we work with Sudoku, Magical Squares and Tangram. In the third and last chapter, we present some activities that can be considered to be recreational mathematics as they can be performed in a playful way. These activities involve numbers, areas, distances and geometric transformations. All the activities presented in this thesis can be performed and explored in mathematics classes of the basic curriculum, on the development of topics of mathematics, of skills, such as reasoning and mental calculation, and of attitudes, such as persistence and joy of learning. Having this in mind, we intend that this monography also supports teachers of basic curriculum.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente estudo reveste-se de uma natureza qualitativa, e tem por base dados recolhidos relativos aos comportamentos naturais dos alunos. Assim, com este estudo, pretende-se averiguar quais os padrões de interação dos alunos em grupo ao longo da realização de diferentes tipologias de tarefas, sem a presença do professor, assim como algumas das suas perceções sobre o trabalho de grupo. Nesse sentido formularam-se as seguintes questões: (1) Quais os padrões de interação entre os alunos ao longo da realização do trabalho de grupo? (2) De que forma é que a tipologia de tarefa influencia os padrões de interação no trabalho de grupo? (3) Quais as perceções dos alunos sobre a importância do grupo para a aprendizagem da Geometria? (4) Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo e a sua aprendizagem na Geometria? Para o estudo das interações entre os alunos, selecionaram-se três grupos heterogéneos quanto ao nível de desempenho na disciplina de matemática. Nos três grupos selecionados colocou-se uma câmara de filmar, gravando-se cada uma das aulas de 90 minutos, posteriormente transcritas. Para este trabalho e para a análise das interações selecionaram-se dois problemas: uma tarefa exploratória e um exercício. Para averiguar as perceções dos alunos sobre o trabalho de grupo recorreu-se a um questionário, que também foi utilizado nas entrevistas realizadas aos alunos. Em termos de resultados obtidos, ao nível do processo de resolução, constatou-se que nos dois problemas apresentados, houve sempre um aluno a “dizer como se faz” aos restantes. A tarefa de natureza exploratória favoreceu a evidência do padrão de colaboração indireta nos três grupos. O padrão de colaboração direta apenas se evidenciou na tarefa da tipologia exercício, quando os alunos efetuavam procedimentos simples. Ao nível do resultado, no grupo onde existia um líder explícito, o padrão evidenciado foi univocal, sendo que foram sempre as ideias do líder a dominar. Nos outros dois grupos, uma das tarefas de grau de desafio reduzido favoreceu a evidência do padrão multivocal, tendo a solução sido construída por dois alunos. Relativamente às perceções dos alunos, verificou-se que tendencialmente os alunos de nível 2 afirmaram não se sentirem confortáveis para partilhar os seus raciocínios, e que no trabalho de grupo, preferem partilhar as suas ideias só depois de ouvirem os seus colegas de grupo a discutir e a resolver., The present study has a qualitative nature and has its basis on the data gathered about the natural behaviours of students. Therefore, this study has the intention of investigating the pattern of interaction among the students in a group throughout the practice of different types of tasks, without the presence of a teacher, as well as some of their perceptions about group work. In that way the following questions were raised: (1) Which are the patterns of interaction among the students through the practice of group work? (2) In what way does the type of task influence the patterns of interaction in group work? (3) Which are the perceptions of students about the importance of the group for the learning of Geometry? (4) What is the relation between the perceptions of students about group work and their learning in Geometry? For the study of the interactions among the students, three heterogenic groups regarding level of performance in the subject of mathematics were chosen. For the three selected groups, a image and audio recording camera was set so as to record each one of the 90 minute classes, which were then transcribed. For this study, and for the analysis of interactions, two problems, one exploratory task and an exercise were selected. To determine the perceptions of the students about group work there was the resort to a questionnaire, which was also used in the interviews that were done to the students. In terms of the results that were obtained, regarding the process of resolution, it was observed that, in both problems presented, there was always a student telling the others “what to do”. The exploratory task favoured the statement of the pattern of indirect collaboration in the three groups. The pattern of direct collaboration was only evident in the task of exercise, when the students carried simple procedures. As for the result, in the group where there was an explicit leader, the pattern that was determined was univocal, having the ideas of the leader always prevailed. In the other two groups, one the tasks of a reduce level of challenge favoured the evidence of the multivocal pattern, having the solution been built by two students. As for the perceptions of the students it was observed that low ability students stated that they weren’t at ease to share their reasoning and also that these are the ones that in group work like to listen more to their group colleagues debating and solving problems, and only then sharing their ideas., Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) - Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124- FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013))

Dissertação de mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências (Formação Contínua de Professores) cujo público-alvo são sobretudo os professores do Ensino Secundário que desejem aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do seu desempenho como professores. Em função da experiência profissional do autor e da pesquisa bibliográfica realizada percebeu-se que o trabalho com o cálculo numérico pode ter um grande potencial na formação matemática dos alunos nos anos que antecedem a entrada num curso superior. Parece-nos de primordial importância confrontar os alunos em fase final do Ensino Secundário com problemas que não podem ser resolvidos por fórmulas exatas e sensibilizá-los para a importância dos métodos de cálculo aproximado. O tema de equações não lineares adequa-se completamente a este objetivo. Nos programas tradicionais os alunos aprendem a usar a fórmula resolvente das equações polinomiais do 2º grau e também a regra de Ruffini se uma das raízes for de determinação fácil. Depois de aprendidas estas regras clássicas, devem os alunos ser confrontados com outras equações (polinomiais ou não) que mostrem a necessidade de outras ferramentas matemáticas e computacionais. Assim, este trabalho é uma reflexão sobre esta temática e inclui a apresentação de exemplos concretos da possibilidade de trabalho destas questões com alunos do Ensino Secundário. Do vasto leque de métodos numéricos que existem para a resolução de equações selecionamos apenas três (dos mais populares) que servem bem o objetivo de perspetivar a respetiva integração curricular no ensino não superior. São eles o método da bisseção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Raphson. Para além do respetivo interesse intrínseco, estes métodos são também uma oportunidade para os alunos apreciarem uma aplicação muito concreta de conhecimentos matemáticos por eles já adquiridos (limites de sequências numéricas, o teorema de Bolzano, derivadas e o teorema do valor médio de Lagrange, entre outros). Para além disto, a implementação prática destes métodos também envolve capacidades que os alunos desenvolvem em unidades curriculares da área da informática. Uma questão fundamental na utilização dos métodos numéricos é a do controle dos erros. Os erros de arredondamento são inevitáveis porque a máquina de calcular (ou o computador) opera apenas com um número finito, embora grande, de números e com eles tem que representar todos os números reais (dentro de certos limites). Por outro lado, os erros propagam-se de diferentes maneiras em diferentes sequências de operações numéricas. Estes são temas complexos tratados em cursos superiores e é nosso entendimento que não deve ser tentado no ensino antes disso. No entanto, pode ser interessante dar aos alunos alguma informação sobre a representação de números em ponto flutuante, quer no sistema decimal quer no sistema binário, e mostrar com exemplos algumas consequências na precisão da aritmética computacional., This dissertation takes place within an MSc degree in Science which is tailored for those which are already professional teachers in high school but envisage to acquire further knowledge and skills that will, hopefully, help them in their teaching duties. In the light of the author’s teaching experience and the biographical research conducted, it was realized that working with numerical calculus may have great potential in mathematics education of students even before their entrance into higher education. In our opinion, it is of paramount importance to make the students, at a late stage of their high school learning, tackle problems that cannot be solved by exact formulae and raise their attention to the relevance of methods that provide numerical approximations. The topic of solving equations serves well such goal. In the traditional curricula students learn how to use the exact formula for the roots of quadratic equations and also Ruffini’s rule if they manage somehow to get one of the roots in the first place. But after this the students should be given other equations (not necessarily polynomial) that make evident the need of further mathematical and computational tools. Thus, this work aims to be a study on the subject and, in particular, we present examples of how these topics may be taught to high school students. From the large spectrum of numerical methods that exist for solving equations we selected only three (of the most popular) that are well in accordance with our goal of their inclusion in pre-university curricula. These are the bisection method, the fixed point iteration and Newton-Raphson’s method. Besides their own importance, these methods are also an opportunity for the students to see a very concrete application of mathematical knowledge that they should have learned before the use of numerical methods (limits of sequences of numbers, Bolzano’s theorem, derivatives and Lagrange’s mean value theorem, among others). Furthermore, the practical implementation of the methods also require skills that the students are expected to develop in curriculum units that belong to the area of information technology. A fundamental issue in using numerical methods is that of keeping the errors under control. Rounding errors are unavoidable because the calculator (or the computer) only stores a large but finite number of representations. Furthermore, the analysis of propagation of numerical errors belongs to advanced courses where the numerical stability of algorithms is studied and clearly no attempt should be made to treat such subject in high school. However, it may be useful to teach the students about the way numbers are represented in the calculator and in the computer, and show with examples some consequences on the precision of the computational arithmetic.

Dissertação de mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), Este trabalho de investigação centra-se fundamentalmente no objetivo de analisar e comparar os novos Programas e Metas Curriculares de Matemática e de Matemática A, com os anteriores Programas, no Ensino Básico, do sétimo ao nono ano de escolaridade, e no Ensino Secundário, do décimo ao décimo segundo ano de escolaridade, no âmbito dos conteúdos curriculares de Estatística e de Probabilidades. Para o desenvolvimento deste trabalho foram utilizados diversos documentos: No que diz respeito ao Ensino Básico, destaca-se o documento da Reorganização Curricular do Ensino Básico, que culminou com a publicação do Decreto - Lei nº 6/2001. Neste ano foi publicado o Currículo Nacional do Ensino Básico (CNEB), um documento oficial, que passou a coexistir com o programa da disciplina, o qual permaneceu em vigor, na sua generalidade, tal como fora escrito em 1991, tendo-se procedido a um ajustamento, com versão homologada a 28 de dezembro de 2007, na brochura de apoio do tema da Organização e Tratamento de Dados nos cadernos de apoio do 1.º, 2.º e 3.º Ciclos e nas Metas Curriculares de Matemática, tendo o Programa de Matemática do Ensino Básico sido homologado a 17 de junho de 2013. Relativamente ao Ensino Secundário a análise é feita com base no Programa inicial de Matemática A do Ensino Secundário, de 1996, que foi reajustado em 2001, dirigido aos alunos dos Cursos Científico Humanísticos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas; brochuras de apoio da componente de Estatística do programa do 10.º ano, e da componente de Probabilidades e Combinatória do Programa do 12.º ano; nos cadernos de apoio para o 10.º, 11.º e 12.º ano de escolaridade; e no documento das Metas Curriculares de Matemática A do Ensino Secundário, tendo o Programa da disciplina de Matemática A, sido homologado a 20 de janeiro de 2014., This research is made, basically, to analyze and compare the new Mathematics and Mathematics A programs and curricular goals with the previous ones, respectively, in Basic Education, from the seventh to the ninth grades and Secondary School, from the tenth to the twelfth grades, considering in particular the curricular content of Statistics and Probabilities. Several documents were used in the development of this thesis. As far as the Basic Education is concerned I highlight the Basic Education Curricular Reorganization document that culminated with publication of the Decree-Law number 6/2001. In 2001, the Basic Education National Curriculum (CNEB), an official document, was published and now it coexists with the subjects programs, which remain in force basically as they were written in 1991, later, it was adjusted and that version was approved on 28 December 2007; in the brochure that supports the theme of Organization and Data Treatment; on the support notebooks of the the first, second and third cycles; and on the Mathematics Curricular Goals, considering that the Basic Education Mathematics Program was approved on 17 June 2013. When it comes to Secondary Education, this analysis is based on the Mathematics A initial program for the Secondary Education of 1996, which was readjusted in 2001, addressed to the students of Scientific Humanistic, the Sciences and Technology and Social Economic Science courses; the brochures of support of the tenth grade program statistics component, the twelfth grade program probability and combinatory component; on the support brochures for the tenth, eleventh and twelfth grades; and on the document of the Secondary School Mathematics A Curricular Goals, considering that the Mathematics A Program was approved on 20 January 2014.

Dissertação de mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), A disciplina de Matemática é uma das mais importantes não só pela aplicação no dia a dia, mas também pelo seu contributo para o desenvolvimento do raciocínio. O raciocínio necessário para a resolução dos problemas matemáticos, pode ser utilizado em muitas áreas do conhecimento. A Matemática destaca-se como a disciplina mais importante do mundo moderno com aplicações diversificadas na área financeira, na indústria, na investigação e na informática. Esta universalidade exige um grande investimento no seu ensino. A Probabilidade, normalmente associa-se a algumas palavras como sorte, risco, azar, incerteza e dúvida. A Teoria das Probabilidades tenta quantificar a noção de provável. A Estatística recorrendo a números, tabelas e gráficos procura resumir, organizar e representar os dados das mais diversas áreas de atividade. O desenvolvimento das tecnologias disponibiliza à Estatística computadores com grande capacidade de processamento. Esta capacidade computacional permite tratar uma grande quantidade de dados estatísticos complexos que era uma tarefa muito morosa e custosa. A presente tese propõe a utilização do software R para o estudo das Probabilidades e Estatística nas aulas do Ensino Secundário em Timor-Leste. O software R é um programa computacional livre desenvolvido em 1993 por Robert Genglemet e Ross Ihaka. Nesta tese apresentam-se de um modo detalhado os temas constituintes das unidades curriculares de Probabilidades e Estatística da disciplina de Matemática do 12o ano: noções e conceitos das Probabilidades, da Estatística descritiva e indutiva, modelos paramétricos e estimação pontual de parâmetros desconhecidos dos modelos Bernoulli, Binomial, Poisson e Normal e ainda a estimação dos coeficientes do modelo de regressão linear simples e sua aplicação., The Mathematics is one of the most important course not only for application in everyday life, but also for its contribution to the development of reasoning. The reasoning required to solve mathematical problems can be used in many areas of knowledge. Mathematics stands out as the most important discipline of the modern world with several applications in finance, industry, research and informatics. This universality requires a great investment in their teaching. The Probability is associated with some words like luck, risk, chance, uncertainty and doubt. The Probability Theory attempts to quantify the notion of probable. The Statistics using numbers, tables and graphs looking summarize, organize and represent data from various fields of activity. The development of technological allows to Statistics use computers with high processing capacity. This computational power allows analyzing a large amount of data using more complex statistical methods that was a very tiring and expensive task. This thesis proposes the use of the R software for the study of Probability and Statistics in classes of Secondary Education in Timor-Leste. The R software is a free software developed in 1993 by Ross Ihaka and Robert Genglemet. In this thesis are presented, in a detailed way, the subjects of the courses of Probability and Statistics in Mathematics of Year 12: notions and concepts of Probability, descriptive and inductive Statistics, parametric models and point estimation of unknown parameters of Bernoulli, Binomial, Poisson and Normal models and also the estimation of the coefficients of the linear regression model and its application.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo tem como objetivo analisar o contributo das múltiplas representações matemáticas no ensino e na aprendizagem da derivada de uma função numa turma do 11.º ano de escolaridade. Trata-se de uma investigação de natureza qualitativa e interpretativa que tem como objetivo responder às seguintes questões: (1) Como utilizam os alunos as diferentes representações na aprendizagem da derivada de uma função? (2) Quais são as vantagens e as desvantagens das diferentes representações na aprendizagem da derivada de uma função? (3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização das diferentes representações na sua aprendizagem da derivada de uma função? Para responder a estas questões recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: teste diagnóstico, produções realizadas pelos alunos; questionário; questões colocadas no final de algumas aulas; e gravação áudio das aulas. As conclusões deste estudo apontam para o uso das diversas formas de representação por parte dos alunos. Apesar de se registar uma tendência para a representação algébrica, as representações numérica, tabular e gráfica também foram recorrentes e eficazmente usadas pela maioria dos alunos. Alguns deles estabeleceram relações entre diferentes tipos de representações que possibilitou a compreensão do tema derivada de uma função, possibilitando aumentar a convergência do conceito definição ao conceito imagem dos conceitos abordados. O estudo permitiu identificar situações em que os alunos recorrem tipicamente a uma dada representação. A representação numérica e a algébrica foram usadas essencialmente para determinar a imagem dado o objeto, em particular no tópico extremos relativos. A representação gráfica foi utilizada no estudo comparativo da função com a sua função derivada ou, de modo mais geral, sempre que os alunos pretendiam uma imagem global sobre o comportamento da função. Os alunos recorreram à representação tabular essencialmente para estudar o sinal, a monotonia e os extremos relativos de uma função, e, em alguns casos, na conversão entre a representação algébrica e gráfica. Os alunos percecionam as representações de forma isolada e aprendem os procedimentos a um nível puramente algorítmico não conseguindo dissociar o objeto matemático da sua representação., This study aims to analyze the contribution of multiple mathematical representations in the teaching and learning process of the derivative of a function on an 11th grade class. This is a qualitative and interpretative research whose goal is to answer the following questions: (1) How students use different representations in learning the derivative of a function (2) What are the advantages and disadvantages of different representations in learning the derivative of a function (3) What are students perceptions on the use of different representations in their learning of the derivative of a function To answer these questions we have examined different methods on data collection: diagnostic test, productions performed by students; questionnaires; questions at the end of some classes; and audio recording of lectures. The conclusion of this study points to the use of different forms of representation by the students. Despite a tendency to the algebraic representation, most students also used effectively the numerical representations, graphical and tabular. Some of them established relationships between different types of representations which enabled the understanding of the derivative of a function theme, allowing you to increase the convergence of the concept definition to the concept image of the concepts covered. The study made it possible to identify situations in which students typically rely on a given representation. The numerical and algebraic representations were used primarily to determine the image as the object, in particular for topical relative extremes. The graphical representation was used in the comparative study of the function with its derivative or, generally, whenever the students wanted an overall picture about the behavior of the function. Students resorted mostly to tabular representation to study the signal, the monotony and relative extreme of a function, and in some cases, the conversion between the algebraic and graphical representation. Students deal with the representations and learn the procedures to a purely algorithmic level failing to dissociate the mathematical object from its representation.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Esta investigação refere-se a uma intervenção de ensino centrada na análise de erros como forma de promover a aprendizagem no estudo das funções, numa turma do 10º ano de escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos. O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma do 10º ano, no estudo das funções; 2) Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o estudo das funções; 3) Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada aluno tem no respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções. O sucesso dos alunos não depende somente das suas capacidades cognitivas, uma condição necessária, mas não suficiente para explicar o seu sucesso ou insucesso. Os fatores emocionais, espelhados numa predisposição para aprender, têm influência no sucesso de cada aluno, sendo importante considerar-se uma interação entre fatores cognitivos e emocionais no processo de aprendizagem dos alunos. Desta forma, nesta investigação procura-se estabelecer uma relação entre a predisposição para a aprendizagem e o desempenho dos alunos na disciplina de Matemática, traduzido nos erros que cometem, no estudo das funções. No que diz respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à análise de questionários, observação e análise das gravações das aulas e à análise de produções escritas realizadas pelos alunos antes e após a intervenção. Os resultados obtidos sugerem que os alunos sentiram imensas dificuldades na designada Álgebra processual e estrutural, bem como dificuldades relacionadas com a interpretação. Os resultados obtidos sugerem ainda que a predisposição de um aluno para a aprendizagem influencia positivamente no seu desempenho à disciplina de Matemática, verificando-se que está relacionada com a ocorrência dos designados erros construtivos. No sentido inverso, a não predisposição de um aluno para a aprendizagem influencia negativamente o seu desempenho à disciplina, podendo precipitar a ocorrência dos designados erros sistemáticos., This research refers to a teaching intervention focused on error analysis as a way to promote learning in the study of functions in a 10th grade belonging to the County of Barcelos. The study was developed around three objectives: 1) Identify the most common mistakes among students in a 10th grade, in the study of functions; 2) Investigate the causes underlying the mistakes they make during the study of the functions; 3) Assess the impact that the predisposition for learning in each student has in their performance at Mathematics, in the study of functions. The success of students depends not only on their cognitive abilities, a necessary, but insufficient condition to explain its success or failure. Emotional factors, mirrored on the predisposition to learn, influence the success of each student, therefore it is important to consider an interaction between cognitive and emotional factors in the learning process of students. Thus, this research seeks to establish a relationship between the predisposition for learning and student achievement at Mathematics, translated on the mistakes they make, on the study of functions. Regarding the research strategies and evaluation of the action, it has recourse on the analysis of questionnaires, observation and analysis of recordings of lessons and analysis of written productions made by students before and after the intervention. The results suggest that students felt many difficulties in the designated procedural and structural Algebra, as well as difficulties related to interpretation. The results suggest that the predisposition of a student for learning positively influences their performance in the discipline of Mathematics, verifying that is related to the occurrence of designated constructive errors. Inversely, the non predisposition of a student for learning adversely affects its performance at the discipline and can precipitate the occurrence of the designated systematic errors., Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) - Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHCCED/0645/2013))

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente estudo teve como principal objetivo averiguar o papel do erro na regulação da aprendizagem do tema derivada de uma função de alunos do 11.º ano de escolaridade. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Que erros cometem os alunos na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função? Quais as causas desses erros? (2) Que ilações retiram os alunos dos erros que cometem para a sua aprendizagem de tópicos de derivada de uma função? (3) Qual é a perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino que valorizam o erro na sua aprendizagem? Para dar resposta a estas questões recorreu-se aos seguintes métodos de recolha de dados: questionários (um antes e outro depois da intervenção pedagógica), análise documental (planos de aula e produções dos alunos), questões no final de algumas aulas e gravação em vídeo de aulas. A análise de dados permite concluir que na aprendizagem de tópicos de derivada de uma função os alunos cometeram vários erros, quer processuais (simplificação de expressões, substituição, interpretação e escrita matemática) quer conceituais (na definição de derivada de um ponto, na definição das regras de derivação e na noção de limite). As causas que levam os alunos a errar indiciam deverem-se a fatores de distração na realização das atividades, à falta de conhecimentos prévios e de estudo. Com a análise dos erros que cometem, a maior parte dos alunos manifesta ter a perceção onde erraram, o que os ajuda a clarificar os erros cometidos de modo a evitar que os voltem a cometer. Relativamente à perceção dos alunos sobre as estratégias que valorizam o erro na sua aprendizagem, alguns afirmam que essas estratégias lhes permitem compreender o porquê de errar e valorizam o trabalho autónomo. Mas, por outro lado, consideram que tais estratégias podem gerar desmotivação nos alunos e, por vezes, podem não ser bem conseguidas pelo facto de alguns alunos terem vergonha de expor os seus erros. Os resultados obtidos neste estudo evidenciam a necessidade de introduzir, nas aulas de Matemática, estratégias de ensino que valorizem o erro na regulação da aprendizagem de conceitos matemáticos., The present study have had as main goal to ascertain the role of the mistake on the subject’s learning regulation derived from a function by 11th grade students. In order to achieve this goal, the following investigation questions were established: (1) What are the mistakes that students make on the learning of subjects derived from a function? What are the causes of those mistakes? (2) Which conclusions the students draw from the mistakes that they make for their learning of subjects derived from a function? (3) What is the perception of the students about the teaching strategies that prize the mistake on their learning? To provide answers to these questions, one made use of the following data collection methods: inquiries (one before and another one after the pedagogical intervention), documentary analysis (class plans and production of students), questions in the end of some classes and video recording of classes. Data analysis allows to conclude that on the subject’s learning derived of a function, students have made several mistakes, either procedural mistakes (simplification of expressions, replacement, interpretation and mathematics writing) either conceptual (on the definition of derived from a point, on the definition of derivation rules and on the notion of limit). The causes that lead students to make the mistakes indicate being due to absentmindedness factors on the performance of the activities, to the lack of previous knowledge and study. With the analysis of the mistakes they make, the majority of the students express that have the perception about where they made mistakes, what helps them to clarify the mistakes made in order to avoid making them again. Regarding to the students’ perception about the strategies that prize the mistake on their learning, some claim those strategies allow them to understand why they made the mistake and they have prized the autonomous work. But, on the other side, they consider that such strategies can generate the lack of motivation on students and, sometimes, cannot be very successful by the fact of some students being ashamed of exposing their mistakes. The results obtained in this study showcase the need to introduce, on Mathematics classes, teaching strategies that prize the mistake on the learning regulation of mathematical concepts.

Relatório de atividade profissional de mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), O presente relatório evidencia a experiência profissional relevante da autora em diversas vertentes, com destaque para as componentes científica, pedagógica e tecnológica, tendo sido elaborado para a obtenção do grau de Mestre em Ciências – Formação Contínua de Professores, área de especialização em Matemática, ao abrigo do despacho RT-38/2011. Este documento transmite um conjunto de vivências e aprendizagens permanentes de um percurso profissional que, no seu todo, ultrapassam um espaço físico e um horário escolar. O enquadramento histórico da evolução dos currículos, das metodologias e do estudo da Geometria, permite perceber o fantasma do insucesso da Matemática que se arrasta por gerações. O enquadramento científico do tema escolhido – Teorema de Tales e a Semelhança de Triângulos – compreende uma breve descrição do Plano Euclidiano e a demonstração do Teorema de Tales. A questão da incomensurabilidade surge no contexto da demonstração do teorema de Tales e é feito o seu enquadramento. Evidenciam-se as diversas aplicações do teorema, nomeadamente na demonstração dos critérios de semelhança de triângulos e na definição das razões trigonométricas. Num relato conciso e contextualizado revela-se o trabalho desenvolvido com os alunos nas diversas tarefas de sala de aula, sobressaindo ambientes de tecnologia, experiências práticas no terreno e a participação em projetos, concursos, competições matemáticas, exposições, destacandose o projeto Uma janela para a Matemática participante na 7.ª edição do Prémio Fundação Ilídio Pinho “Ciência na Escola ”. A formação contínua de atualização da área específica procurou acompanhar os ventos de mudança dos diferentes programas da Matemática e a evolução tecnológica que a nova era impõe. O crescimento profissional foi conseguido pelas bases científicas sólidas e atualizadas, apoiado numa atitude pedagógica atenta e integradora. A reflexão do trabalho desenvolvido valida conjeturas e projeta um trabalho futuro mais consciente da verdadeira competência matemática a desenvolver nos nossos alunos., This report highlights the relevant professional experience of the author in several aspects, with emphasis on the scientific, educational and technological components, having been prepared in order to obtain the Master’s Degree in Sciences - Continuous Teacher Training in the Mathematics area of expertise, under the order RT-38/2011. This document conveys a set of permanent life and learning experiences of a career that, on the whole, goes beyond a physical space and a school schedule. The historical background in the evolution of curricula, the methodologies and the study of Geometry, allows us to comprehend the ghost of failure in mathematics that endures for generations. The scientific framework of the chosen theme - Thales' Theorem and the Similarity of Triangles - includes a brief description of the Euclidean Plane and the proof of Thales’ theorem. The issue of incommensurability arises in the context of the proof of Thales' theorem and the corresponding framework is done. Various uses of the theorem are highlighted, namely in the proof of the similarity of triangles criteria and in the definition of the trigonometric ratios. In a concise and contextualized analysis, the work done with the students in the various tasks of a classroom is exposed, stressing technology environments, practical field experiments and the participation in projects, contests, mathematical competitions, exhibitions, giving emphasis to the project A window for mathematics present at the 7th edition of the Fundação Ilídio Pinho “Ciência na Escola” Award (Ilídio Pinho Foundation "Science in School”). The continuous training to update the specific area aimed to follow the winds of change in the different programs of Mathematics and the technological developments that the new era enforces. The professional growth was achieved through solid and updated scientific background knowledge, supported by a mindful and integrating educational approach. The outcome of the completed work validates conjectures and it projects a future working more aware of the true mathematical competence to develop in our students.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O questionamento é um tipo de comunicação que se reveste de extrema importância pela dinâmica e interatividade que permite estabelecer na sala de aula, permitindo desenvolver um ensino mais interessante através do envolvimento de todos os intervenientes e, consequentemente, da partilha de significados. Além disso, uma boa pergunta permite estabelecer a diferença entre encorajar o pensamento do aluno, fazendo com que este vá mais além e ultrapasse as suas dificuldades, ou que se restrinja meramente aos conhecimentos que lhe são transmitidos, aceitando-os passivamente. Face a esta problemática, estabeleceram-se os três seguintes objetivos para o estudo: 1) Caraterizar as formas de questionamento desenvolvidas pelo professor e alunos em situações de dificuldades dos alunos; 2) Avaliar o impacto das diferentes formas de questionamento no esclarecimento e superação das dificuldades dos alunos; 3) Analisar as perspectivas dos alunos sobre o questionamento realizado. Tendo em vista dar resposta aos objetivos delineados, enquanto metodologias de ensino e aprendizagem, foi tido em consideração o papel do professor e do aluno na sala de aula, as tarefas utilizadas, o trabalho grupo e a tecnologia a ser utilizada no sentido de esta se assumir como uma mais-valia no processo de ensino aprendizagem. Por outro lado, enquanto métodos de recolha de dados, foram aplicados aos alunos dois questionários, um antes e outro após a experiência de ensino, e gravadas todas as aulas da intervenção de ensino. Com os dados obtidos foi possível constatar que a professora concede grande relevo ao questionamento como estratégia de ensino, tendo formulado um número elevado de perguntas no discurso desenvolvido na sala de aula. As perguntas da professora alternaram-se entre os três tipos estabelecidos na tipologia de Love e Mason (1995), prevalecendo as perguntas de confirmação. Já os alunos, apesar da grande importância que atribuem ao questionamento realizado na sala de aula, colocaram poucas perguntas e apenas quando solicitavam esclarecimentos., The questioning it´s a kind of communication which is of utmost importance for the dynamics and interactivity that allows establishing in the classroom, allowwing to develop a teaching more interesting through the involvement of all intervenients and, consequentely, the sharing of meanings. Furthermore, a good question allows to stablish the difference between encouraging the thought of the student, making him go beyond and to overcome its dificulties, or is merely restricts at the knowlegdes that are passed, accepting them passively. Adress to this problematic, established the following three objectives for this case study 1) Charaterize the forms of questioning developed by the teacher ans the students in situations of dificulties of the students; 2) Evaluate the impact of the different forms of questioning in clarification and overcoming of the dificulties of the students; 3) Analyze the perspectives of the students about the questioning made. In order to respond at the golds outlined, while teaching and learning methodologies, was take in consideration the paper of the teacher and student in the classroom, the tasks used, the work group and the tecnology being used in order to assume as an added value in the teachinglearning process. By other side, while data gathering method, were applied at the students two questionaries, one before and one after the teaching experience and were recorded all the lessons of teaching intervention. With the data gathered was possible its was found that the teacher gives great relief to the questioning as a teaching strategy, having formulated a large number of questions in the discourse developed in the classroom. The teacher´s questions were alternate between the three kinds stablished on the tipology of Mason and Love (1995), prevailing the confirmation questions. But the students, dispite the major importance they gave to the questioning made in the classroom, they posted only few questions and only when needed clarifications.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo tem como objetivo analisar a resolução de problemas de otimização no estudo das derivadas numa turma do 12.º ano de escolaridade, havendo o particular interesse de estimular os alunos mostrando a aplicabilidade deste tema no seu dia-a-dia. Foi seguida uma metodologia de natureza qualitativa com recurso a um estudo de caso, a turma de 12º ano. As questões de investigação que orientaram este estudo foram as seguintes: (1) Quais as dificuldades dos alunos nos processos de resolução de problemas de otimização? (2) Qual a importância que os alunos atribuem aos problemas de otimização? Para dar resposta a estas questões recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: questionários; análise documental; e observação em contexto de aulas. Na análise foram utilizados quatro problemas de otimização, dos quais três foram realizados em grupos e um individualmente. Esta estratégia de trabalho, com recurso a problemas de otimização, foi bem aceite por parte dos alunos e revelou-se importante para as suas aprendizagens. O estudo realizado permitiu concluir que as principais dificuldades verificadas após a análise dos dados foram a interpretação dos problemas e os cálculos da segunda derivada de uma função. O estudo revela a necessidade de aprofundar mais este tema na formação dos alunos. Devem criar-se condições ao longo dos três anos do ensino secundário, não se restringindo apenas ao 12º ano de escolaridade, de resolver problemas do quotidiano, e em particular a resolução de problemas de otimização. Estes irão contribuir para o desenvolvimento do raciocínio e para uma maior autonomia dos alunos. Os constrangimentos foram alguns, mas é de salientar que as tarefas escolhidas não foram suficientemente desafiantes para desenvolver essas capacidades nos alunos e responder às questões de investigação com maior confiança., The purpose of this study is to analyze the resolution of optimization problems in the study of derivatives in a 12th grade class, with the particular interest in encouraging students by demonstrating the applicability of this theme in their daily life. A qualitative methodology using a case study was followed, a 12 year class. The investigation questions that guided this study were the following: (1) What are the difficulties of the students in the process of solving optimization problems? (2) What is the importance that students attach to optimization problems? To answer these questions different methods to collect data were applied: questionnaires; document analysis; and direct observation in the context of the class. In this analysis, four optimization problems were used, three of which were conducted in groups and one individually. This work strategy, using optimization problems, was well accepted by the students and proved to be important for their learning process. The study concluded that the main difficulties encountered after the data analysis were the interpretation of problems and calculations of the second derivative of a function. The study demonstrates the need for further analysis in students education. There is a need to create conditions over the three years of secondary school, not only restrict them to the 12th grade in order to solve daily problems, and in particular the resolution of optimization problems. These may contribute to the development of reasoning and greater student autonomy. Some constraints were found, but it is important to note that the chosen tasks were not sufficiently challenging to develop these skills in the students and to answer the questions with greater confidence.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo refere-se a uma intervenção de ensino centrada na comunicação escrita dos alunos de uma turma do 10º ano de escolaridade, numa escola secundária no concelho de Barcelos, durante o ensino do tema de funções. Os objetivos do estudo eram: analisar a capacidade de comunicação dos alunos e a justificação de resultados em tarefas realizadas em grupo, identificar dificuldades na escrita matemática e o tipo de linguagem preferida pelos alunos; analisar a evolução dos alunos à medida que lhes eram pedidas produções escritas. Pretendeu-se com este estudo motivar os alunos a escrever as suas ideias e justificações, desenvolver as suas capacidades comunicativas ao longo das tarefas, na procura de uma aprendizagem mais significativa. Recorreu-se sempre que possível a uma metodologia de trabalho de grupo e analisaram-se com cuidado as discussões ocorridas entre os elementos dos grupos na decisão sobre o que incluir na justificação escrita dos resultados obtidos. Relativamente às estratégias de investigação e avaliação da ação, foram recolhidas produções escritas referentes a três tarefas propostas durante as aulas e uma ficha de avaliação. Foram também observadas aulas e analisadas as gravações das interações entre os elementos dos grupos, durante a realização das tarefas. Na análise das produções escritas e das gravações, foi tido em conta o domínio da linguagem, a capacidade de converter os pensamentos em palavras ou símbolos, o encadeamento de ideias e a capacidade de interpretação de enunciados. Foram detetadas algumas dificuldades em escolher as palavras certas para justificar os resultados, especialmente quando de tratavam de conceitos matemáticos. Os alunos apresentaram relutância quando lhes eram solicitadas justificações. Vários alunos apresentaram dificuldades na interpretação, especialmente de representações simbólicas. Os dados foram inconclusivos em relação à evolução dos alunos, pois o tempo de intervenção não se revelou suficiente para tais conclusões., This study refers to a teaching intervention focused on written communication of students in a class of 10th grade of a middle school in the district of Barcelos, while teaching the theme of functions. The study objectives were: to analyze the student’s communication skills and the away students justify their results during group tasks; to identify difficulties in mathematical writing and the favorite sort of language; review the progress of the students as they were asked to write justification and explanations. With this study, I intent to motivate students to write their ideas and justifications, develop their communication skills through the tasks, looking for a more meaningful learning. It was used, whenever possible, a methodology of group work and it was analyzed carefully the discussions held between the members of the groups, while they were deciding how to justify their results. Regarding research strategies and evaluation of the action, written productions of the three proposed tasks during classes were collected, as well as an assessment test. It was also observed and analyzed the recordings of the interactions between elements of groups during the refereed tasks. In the analysis of written productions and recordings, it was taken into account the domain of language, the ability to convert thoughts into words or symbols, the chaining of ideas and the ability to interpret utterances. There were detected some difficulties to chose the right words for the justifications of the results, especially when dealt with mathematical concepts. Students showed reluctance to write the justification when they were requested. Several students had difficulties in interpretation, especially of symbolic representations. The data were inconclusive about the development of pupils., Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) - Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHCCED/0645/2013))

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente estudo resulta de uma intervenção pedagógica implementada junto de alunos de uma turma do 9.º ano de escolaridade no ano letivo 2013/2014, centrando-se na resolução de problemas no processo ensino-aprendizagem do tópico circunferência. Tendo como principal intuito compreender o papel da resolução de problemas na atividade matemática dos alunos, formularam-se três objetivos orientadores no delineamento da estrutura desta investigação, a saber: i) averiguar as perceções dos alunos acerca do contributo da resolução de problemas; ii) identificar os erros dos alunos na resolução de problemas; iii) compreender o desempenho dos alunos na aprendizagem do tópico “a circunferência” através da resolução de problemas. O estudo seguiu uma abordagem metodológica de natureza qualitativa, correspondendo a sua problemática a um estudo de caso, com recolha de dados através de observação com recurso a gravações áudio, questionário e produções dos alunos. De referir que ao longo do estudo optou-se pelo trabalho em grupo, sendo os grupos selecionados aleatoriamente no início de cada aula. Em termos de resultados, evidencia-se o reconhecimento por parte dos alunos da relevância da resolução de problemas para a aprendizagem da Geometria e, ainda, a opinião favorável da utilização da resolução de problemas em grupo. Como aspectos mais críticos das dificuldades dos alunos na resolução de problemas salientam-se a interpretação/compreensão do problema, o delineamento de uma estratégia de resolução e a avaliação, ou seja, dificuldades que se prendem com as fases do modelo de Polya. Numa ótica geométrica destacam-se dificuldades nas construções geométricas, na aplicação de conhecimentos/conceitos geométricos e, ainda, dificuldades que se prendem com a visualização, nomeadamente, interpretação de imagens. Sobressai ainda deste estudo, que as atividades implementadas mostraram influenciar positivamente o desempenho dos alunos relativamente à resolução de problemas geométricos., This report is the result of a learning intervention implemented in a 9th year grade class students, during the year 2013/2014; it focuses in solving issues during the teaching/learning process of the subject-matter circumference. Being the main goal of this study to understand the role of problem solving whilst the students’ mathematics activities, three principal guiding goals were created when structuring this investigation: i) to understand the students perceptions on the importance of problem solving; ii) to identify the mistakes of the students when resolving problems; iii) to evaluate the students’ performance when learning the subject-matter circumference. A qualitative methodology research was followed in this investigation, correspondent to a case study, with data collection through observation, and with the use of audio recording, a survey and student’s work. It is important to mention also that during this investigation, priority was given to group work; the groups were randomly formed in the starting of each class. When it comes to results, it became clear that students recognize the importance of problem solving whilst learning Geometry, and also, the positive feedback from problem solving inside a group. On the other hand, the most critical aspects where seen in students at the moment of interpretation/comprehension of the problem, as well as the defining of a strategy to resolve a problem and its evaluation. So, students struggle throughout the phases of the Polva model. In regards to geometry, there were detected several difficulties in constructing, in the use of geometry knowledge and in visualization (e.g. image interpretation). It is crucial to conclude that, as a result of this investigation, the previously implemented activities proved to have a positive effect in the students’ performance when solving geometry problems., Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) - Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013))

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo baseia-se no ensino e aprendizagem de funções do 10.º ano de escolaridade através das conexões entre representações. As conexões matemáticas surgem no ensino em várias vertentes, umas intrínsecas à matemática, outras exploram as ligações com a realidade e com outras áreas do saber. A motivação para o estudo deste tema assentou na convicção de que as conexões entre representações facilitam a compreensão de conceitos, estimulam o raciocínio e apoiam o desenvolvimento dos alunos de uma visão da matemática mais vasta. Com esta investigação pretendeu-se compreender como lidam os alunos com as tarefas que envolvem conexões entre representações. As questões que orientaram o estudo foram as seguintes: Que representações recorrem os alunos nas suas atividades de aprendizagem do tema de funções do 10.º ano de escolaridade? Que conexões estabelecem os alunos entre as diferentes representações na aprendizagem de funções? Que dificuldades manifestam os alunos na conexão entre as diferentes representações de funções? Que perceções têm os alunos sobre a conexão entre as diferentes representações na aprendizagem de funções? Para dar resposta a estas questões recorreu-se aos seguintes métodos de recolha de dados: um teste diagnóstico, realizado antes da intervenção pedagógica; produções escritas pelos alunos; uma questão de aula; gravação em áudio de aulas; questionário e análise documental. Os resultados evidenciam que os alunos recorrem mais à representação gráfica e à analítica do que a tabular, o que indicia dever-se à pouca utilização desta representação para além do fornecimento de dados. A conexão entre estas representações promoveu a compreensão de tópicos de funções, entre os quais se destacam as propriedades das famílias de funções. Entre as dificuldades expressas pelos alunos destaca-se a passagem da representação gráfica para a analítica, devido, sobretudo, a uma capacidade ainda pouco desenvolvida de modelos que se ajustem a situações gráficas. A representação utilizada pelos alunos dependeu, na maior parte das vezes, do tipo de tarefa proposta. Tarefas de estrutura aberta tornam-se mais adequadas para apelar à capacidade do aluno a estabelecer conexões entre as diferentes representações como forma de explicitar o seu raciocínio e os conhecimentos que adquirem dos tópicos estudados., Cette étude a pour thème l´enseignement et l´apprentissage de fonction mathématique en classe de seconde de l´enseignement secondaire à travers les liens entre représentations. Les liens mathématiques apparaissent sous diverses formes dans l´enseignement, les unes intrinsèques, et d´autres explorant les liens avec la réalité et d´autres domaines du savoir. Ma motivation pour cette étude repose sur la conviction de que les liens entre représentations facilitent la compréhension du concept, stimulant le raisonnement et aidant l´élève à se développer tout en ayant une vision mathématique plus vaste. Je prétends, avec cette étude, comprendre comment les élèves agissent avec les tâches qu´englobent les liens entre représentations. Les questions directrices de l´étude sont: Quel types de représentations ont recours les élèves durant l´apprentissage des fonctions mathématiques de la seconde année de l´enseignement secondaire? Quels liens, les élèves établissent entre les différentes représentations durant l´apprentissage des fonctions?; Quelles sont les difficultés que les élèves manifestent pour établir des liens entre les différentes représentations des fonctions? et quelles perceptions ont les élèves du lien entre les différentes représentations durant l´apprentissage des fonctions? Diverses méthodologies de collecte de donnée furent utilisées pour répondre à ces questions, telles que: un teste de diagnostique, réalisé avant l´intervention pédagogique; travail écrit réalisé par les élèves; une question en salle de cours; enregistrement audio des classes, l'analyse du questionnaire et du document. Les résultats démontrent que les élèves ont recours le plus souvent à la représentation graphique et analytique au lieu de la tabulaire, se qui est dû à une faible utilisation au niveau de l´enseignement du collège. Le lien entre ces représentations favorise la compréhension du sujet sur les fonctions, entre lesquelles se détachent les propriétés des familles de fonctions. Entre les difficultés exprimées par les élèves, se détache le passage de la représentation graphique vers l´analytique, dû à l´incapacité d´interprétation du graphique. La représentation utilisée par les élèves dépend, essentiellement, du type de tâche proposée. Les tâches de structure ouvertes sont plus adaptées à mobiliser les capacités de l´élève à établir les liens entres les différentes représentations comme forme à expliquer le raisonnement et les connaissances acquises durant les sujets étudiés.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente relatório teve como principal propósito compreender como é que os alunos se apropriam dos conceitos da Geometria do nono ano de escolaridade quando utilizam materiais manipuláveis e como os utilizam na consolidação desses conceitos. Neste sentido, para ajudar a delinear a estrutura deste estudo, formularam-se três questões orientadoras: 1) Como utilizam os alunos do 9.º ano os materiais manipuláveis na aprendizagem de Geometria?; 2) Que dificuldades revelam os alunos na utilização dos materiais manipuláveis na aprendizagem de Geometria? e 3) Qual a relação entre as perceções dos alunos sobre a influência dos materiais manipuláveis e a sua aprendizagem em Geometria? Enquanto professora, a preocupação centra-se em proporcionar atividades em que os alunos sejam parte ativa no processo de ensino e aprendizagem da matemática, o que requer uma renovação no modo de organizar e ensinar na aula de matemática. Os materiais manipuláveis aliados a tarefas desafiantes e motivadoras promovem o envolvimento ativo dos alunos nas atividades em sala de aula e permitem a concretização de conceitos. Tendo em vista os objetivos do estudo, analisou-se o trabalho de uma turma do nono ano de escolaridade, constituída por dezoito alunos, pertencentes ao concelho de Barcelos, em torno de seis tarefas que pressupunham a utilização de diferentes materiais manipuláveis. O estudo aponta que o sucesso do uso dos materiais manipuláveis em sala de aula, efetivamente, depende do modo como é introduzido em sala de aula, do à vontade do professor com o material, do tipo de material e do tipo de atividade realizada por parte dos alunos que lhe está inerente e da predisposição dos alunos para trabalharem com os materiais. Assim sendo, quando estas condições são favoráveis, os materiais manipuláveis são bons facilitadores para representar e descrever ideias matemáticas. Assim, a sua manipulação e exploração propiciam um ambiente de experiência Matemática, onde os alunos podem testar e provar as suas conjeturas, bem como comunicar as suas ideias, levando-os a apropriarem-se de um conjunto de características geométricas do objeto que lhes dá maior flexibilidade de raciocínio., The main purpose of this report was to understand how students interpret the concepts of ninth grade geometry when they use manipulable materials and how they use them in the consolidation of these concepts. In this sense, to help delineate the structure of this study, three guiding questions were formulated: 1) How are manipulable materials by students in the ninth grade to learn Geometry?; 2) What difficulties do students reveal in the use of manipulable materials in learning Geometry? and 3) What is the relationship between students' perceptions about the influence of manipulable materials and their learning in Geometry? As teachers, the concern is on providing activities in which students are active in the process of teaching and learning of mathematics, which requires a renewal in organization and teaching in the math class. Manipulable materials combined with motivating and challenging tasks promote the active involvement of students in classroom activities and enable the consolidation of concepts. In light of the objectives of the study, I analysed the work of a ninth grade class, consisting of eighteen students belonging to the municipality of Barcelos, around six tasks that presupposed using different manipulable materials. The study points out that the success of the use of manipulable materials in the classroom effectively depends on how it is introduced in the classroom, on the teacher's ease with the material, the type of material and the type of activity performed by the students and the students' predisposition to work with materials. However, when these conditions are favourable, the manipulable materials are good facilitators to represent and describe mathematical ideas. Thus, its handling and operation enable an environment of Mathematical experience, where students can test and prove their conjectures, as well as communicate their ideas, leading them to take in a set of geometrical characteristics of the object which gives them greater flexibility of reasoning.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo tem como objetivo analisar o contributo da resolução de problemas com recurso à calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem da derivada de uma função numa turma do 11.º ano de escolaridade, tendo como finalidade mudar a visão que os alunos têm da Matemática, promover uma aprendizagem mais dinâmica e autónoma, proporcionar um ambiente de trabalho mais motivador e desenvolver competências que os alunos possam utilizar ao longo da sua vida académica e pessoal. Esta é uma investigação de natureza qualitativa e interpretativa que tem como objetivo responder às seguintes questões: (1) Que atividades desenvolvem os alunos na aprendizagem da derivada de uma função com recurso à resolução de problemas e à calculadora gráfica? (2) Qual o contributo da resolução de problemas e da calculadora gráfica na aprendizagem da derivada de uma função? (3) Que constrangimentos emergem no processo de ensino-aprendizagem da derivada de uma função com recurso à resolução de problemas e à calculadora gráfica? Para responder a estas questões recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: questionário; gravação em vídeo de aulas; e análise documental (produções realizadas pelos alunos, planificações e reflexões sobre a prática pedagógica). Nas produções dos alunos integram-se as suas resoluções dos problemas, as suas respostas a questões soltas e a momentos de avaliação. Como estratégia de ensino-aprendizagem foram resolvidos problemas com recurso à calculadora gráfica para a introdução, desenvolvimento e avaliação de conhecimentos relativamente aos tópicos do tema derivada de uma função. Em alguns momentos, os alunos trabalharam em grupo sem a intervenção da professora, entregando as suas resoluções, e, em outras ocasiões, trabalharam em conjunto (turma e professora) na resolução dos problemas. Esta estratégia teve uma aceitação positiva por parte dos alunos e revelou-se proveitosa nas suas aprendizagens, o que se constata na avaliação dos seus conhecimentos. Da análise dos dados recolhidos, conclui-se que as principais atividades desenvolvidas pelos alunos na aprendizagem da derivada de uma função com recurso à resolução de problemas e à calculadora gráfica foram a interpretação de informação, a definição de estratégias e a discussão de processos e resultados. Estas atividades contribuíram para envolverem os alunos na formalização dos conceitos e regras do estudo de derivada de uma função, assim como na sua aplicação a novas situações. Ao longo deste projeto os principais constrangimentos que surgiram foram a gestão do tempo, a extensão do programa, os diferentes ritmos de aprendizagem dos alunos e a minha inexperiência profissional., The aim of this study is to analyze the contribution of solving mathematical problem using the graphic calculator in the teaching and learning of a derived function with a group of 11th grade students, in a way to change the students’ perspective towards mathematics, to promote a more dynamic and autonomous learning, to provide a more motivating work ambience and to develop skills students may use along their academic and personal life. This is an investigation of a qualitative and interpretative nature that aims to answer the following questions: (1) What kind of activities do students develop in the learning of a derived function when using a graphic calculator? (2) How can the solving of mathematical problem and the utilization of the graphic calculator contribute to the learning of a derived function? (3) What type of embarrassment may arise in the teaching-learning process of a derived function when using problem solving and the graphic calculator? To answer the questions above several different methods of data collection have been used: questionnaires, videotaping of classes and documental analysis (students’ productions, lesson plans and reflections about pedagogical practices). As far as the students’ productions are concerned, these include their own problem solving, their answers to questions that came up and moments dedicated to assessment. As an example of a teaching-learning strategy, mathematical problems have been solved using a graphic calculator to the introduction, development and assessment of knowledge related to the topics involving the derived of a function. In some occasions, the students worked in groups without the teacher’s intervention, having handed in their solving. This strategy has been positively accepted by students and has proved to be very useful for their learning, fact that can be proven through the assessment of their knowledge. From the data that has been collected we may conclude that the main activities developed by students in the learning of a derived of a function using both problem solving and the graphic calculator were the interpretation of information, the definition of strategies and the discussion of both process and results. These activities have contributed not only to the students’ involvement in the formalization of concepts and rule study as far as the derived of a function is concerned but also to their application to new situations. The main embarrassments that have come up during the process were: time management, the syllabus extension, different learning times among students and my own lack of experience.

Tese de doutoramento em Estudos da Criança (área de especialização em Matemática Elementar), Os Jogos Matemáticos são um importante contributo para o desenvolvimento de competências matemáticas. A prática destes jogos tem assumido maior importância desde 2004, data em que teve lugar o primeiro Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. Nesta competição de carácter anual, até 2008, não era possível incluir crianças com problemas de visão. A presente investigação veio alterar esta conjuntura, tendo-se definido como primeira questão de investigação: (1) Como adaptar jogos do Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos para que correspondessem às necessidades da baixa visão e cegueira?. Esta questão foi analisada em três jogos – Semáforo, Konane e Rastros. Contudo, neste estudo apresenta-se pormenorizadamente o processo de adaptação do jogo Konane, dando-se resposta a uma questão mais específica: (1.1) Como adaptar o jogo Konane às necessidades da baixa visão e cegueira? A pesquisa sobre as competências que os jogos matemáticos permitem desenvolver impunha-se de seguida, tendo-se delineado, a segunda questão: (2) Que competências, relacionadas com a Matemática são desenvolvidas nas crianças com baixa visão e cegueira, através da prática dos jogos matemáticos, usando os jogos adaptados? Todavia, existem diversas competências matemáticas passíveis de serem estudadas, o que preconizou a seleção de algumas competências gerais e específicas nesse domínio. O estudo das competências elegidas foi concretizado através de um dos jogos, como se pode observar pelas quatro questões delineadas: (2.1) Como é desenvolvida a memorização pelas crianças com baixa visão e cegueira, através da prática do jogo adaptado Konane?; (2.2) Como é desenvolvida a capacidade de resolver situações problemáticas pelas crianças com baixa visão e cegueira, através da prática do jogo Semáforo adaptado?; (2.3) Como é desenvolvida a visualização espacial pelas crianças com baixa visão e cegueira, através da prática de jogos matemáticos nos tabuleiros adaptados? e (2.4) Como são desenvolvidas estratégias de jogo pelas crianças com baixa visão e cegueira, através da prática do jogo Rastros adaptado? A metodologia de trabalho usada integra-se em duas áreas distintas. No que concerne à primeira questão de investigação utilizaram-se os princípios do design-based research e na segunda questão seguiu-se uma investigação qualitativa, baseada em dezoito estudos de caso. A pesquisa teve um carácter longitudinal e iniciou-se no ano letivo 2009/2010, tendo-se prolongado até ao ano letivo 2011/2012. Os alunos frequentavam três estabelecimentos de ensino de diferentes tipologias e localizações. Dois eram escolas de referência localizadas em Sintra e no Porto e, o terceiro, uma Instituição Particular de Solidariedade Social, situada em Lisboa. Organizaram-se diversas sessões de jogos nestes estabelecimentos de ensino, no decurso de três anos letivos. A fonte de recolha de dados foi essencialmente o registo em vídeo dessas sessões. Realce-se que, no decurso dessas sessões, estiveram presentes diversos alunos que disputaram as partidas com os alunos-caso. Além dos registos supramencionados foram consultados diversos documentos, incluindo questionários preenchidos pelos docentes responsáveis de cada turma, por ciclo de escolaridade. O jogo Semáforo é indicado para os alunos do 1.º ciclo, o Konane para o 2.º ciclo e, por fim, o Rastros para os alunos do 3.º ciclo do ensino básico. Cada um dos jogos supraditos foi utilizado para uma função distinta ao longo da investigação. No âmbito da primeira questão de investigação, o Konane protagonizou a evolução das adaptações para a delineação de um modelo adaptado à baixa visão e outro à cegueira. Os jogos adaptados permitiram a introdução da sua prática no processo educativo destes alunos. No estudo da segunda questão de investigação, o jogo Konane permitiu a averiguação de eventuais problemas ao nível da memória a curto prazo, por parte dos efetivos da amostra. A aplicação de situações problemáticas no contexto do jogo Semáforo preconizou a análise da performance dos alunos na resolução de problemas, tendo-se verificado que os alunos cegos apresentam maiores dificuldades neste domínio. Contudo, a prática corrente do jogo incutiu uma evolução na destreza de jogo e, por conseguinte, no desenvolvimento da resolução de problemas em todas as crianças com deficiência visual que o experimentaram. As sessões de jogo Rastros revelaram uma evolução notória na aplicação de estratégias de jogo, bem como na redução de utilização de estratégias muito fracas, quebra de regras e estratégias fracas. O raciocínio espacial progrediu, pois os dados revelaram uma redução significativa nas falhas de antecipação e um aumento da identificação de posição vencedora, bem como da delineação de estratégias em zig-zag e em cruz. Os resultados comprovaram que a deficiência visual interfere com a performance de jogo e, conseguintemente, com o desenvolvimento das competências supraditas. Os alunos com total ausência de visão despendem mais tempo na identificação e concretização dos lances. Todavia, a prática permite uma evolução do raciocínio/visualização espacial, da resolução de problemas e da competência de jogo., Mathematical Games significantly contribute to the development of children’s skills. The playing of these games have become a more and more important part of the curricular education of students since 2004, when the First National Championship of Mathematical Games took place. However, until 2008 it was not possible to include children with visual impairment in this competition. The following investigation altered this situation, as the first point of the investigation was: (1) How to adapt the National Championship Mathematical Games in such a way that they correspond to the needs of the visually impaired? This point was analysed using three games – the Traffic Lights; the Konane and the Slimetrail. The adaptations of the Konane game is presented in a more detailed way, however, to answer a very specific question. (1.1) How can the Konane be adapted to suit the needs of low vision or visually impairmened players? Studies carried out on the skills that the mathematical games helped develop was next on the list. The following was the second point: (2) What skills, in relation to the teaching of Mathematics, did children with visual impairment develop thanks to the playing of Mathematical Games, usinf the adapted games? There are however various mathematical skills that do not need to be studied which led to the selection of a few general as specific skills in question. This study of skills was carried out through one of the games as can be observed through the following four questions. (2.1) How do visually impaired children improve their memory skills through the adapted Konane game? (2.2) How do visually impaired children develop problem-solving skills through the adapted Traffic Lights game?(2.3) How do visually impaired children develop their visuospatial abilities through the use of adapted board game playing? (2.4) How do visually impaired children develop game strategy skills through the playing of the adapted Slimetrail game? The following work method belongs to two separate areas. In relation to the first point of the investigation, principles of design-based research were used and in relation to the second question, a qualitative investigation based on eighteen case studies was pursued. It was a longitudinal study, which started in the school year 2009/2010 and lasted until the school year 2011/2012. Students came from three different learning establishments from various locations. Two of them were schools of reference; one in the area of Sintra and the other in Porto. The third one was a private social solidarity institution in Lisbon. Several sessions of games were organized in these learning establishments during the three school years. The data was collected essentially from video-taping of these sessions. It must be noted that several students played against case-study students during sessions. Along with this data various documents were consulted and head teachers were asked to fill out a short questionnaire so as to get an overall idea of each case-study. The Traffic Lights game was used with students of grade school level while the Konane was used with junior levels and finally the Slimetrail with the other students. Each of above mentioned games has specific function throughout the study. As far as the first point presented in the study is concerned, the Konane served to show the evolution in the process of adaptation of a model to be used in the case of visual impairment, the playing of these games was introduced in the educational process of these children. In answer to the second point of study, the Konane game allowed the identification of possible problems realted to short-term memory among the study-cases observed. The problem solving situations, which popped up in the Traffic Lights game helped study the performance of students in problem solving, and it was possible to see that blind children have greater difficulties in this area. Nevertheless, the playing of the game resulted in an improvement in playing skills and therefore in the development of problem solving in all visually impaired children involved. The Slimetrail game sessions revealed a significant increase in the use of game strategies as well as a decrese in the use of very week strategies, rule-braking and weak strategies. The visuospatial reasoning improved since data reveald an important reduction in failure to anticipate and an increase in the identification of warning positions as well as in the planning of the zig-zag and criss-cross strategies. The results of the research showed that visual impairment interferes with game performance and therefore, with the development of the above mentioned skills. Blind students take longer to identify and carry out playing but with the constant practice of these games an evolution in the visuospatial reasoning as well as problem solving is possible.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Neste estudo trata-se uma intervenção de ensino e aprendizagem de funções racionais, com o auxílio da tecnologia, nomeadamente a calculadora gráfica. O estudo decorre numa turma do 11.º ano de escolaridade, na disciplina de Matemática A, no ano letivo 2012/2013. O estudo tem como finalidade motivar os alunos para a aprendizagem das funções racionais, e contribuir para uma melhoria das aprendizagens em Matemática. Para tal, utilizou-se como metodologias de ensino-aprendizagem o recurso a tarefas de exploração e de investigação, o trabalho de grupo e a utilização da tecnologia, nomeadamente a calculadora gráfica. Como estratégias de investigação/avaliação da ação, utilizaram-se as produções dos alunos, os registos das aulas e um questionário. Este estudo esteve centrado em quatro questões: 1) Como e quando é que os alunos fazem uso da calculadora gráfica no estudo das funções racionais?; 2) Como é que os alunos interpretam a informação fornecida pela calculadora no âmbito do estudo das funções racionais?; 3) Que dificuldades sentem os alunos na utilização da calculadora gráfica no âmbito do estudo das funções racionais?; 4) Qual a percepção dos alunos relativamente ao uso da calculadora gráfica no estudo das funções racionais? Relativamente aos resultados obtidos constatou-se que, os alunos utilizam essencialmente a calculadora para efetuar cálculos, representar graficamente funções e para verificar/confirmar resultados. Pode-se verificar também que, com o evoluir da intervenção, os alunos interpretaram de forma mais correta a informação fornecida pela calculadora. Quanto às dificuldades na utilização da calculadora gráfica, pode-se verificar que os alunos sentiram mais dificuldades na escolha da janela de visualização e na interpretação dos resultados apresentados pela calculadora. Relativamente às percepções dos alunos, verificou-se, pela análise do questionário aplicado no final da intervenção, que todos eles indicaram que a utilização da calculadora gráfica promove a aprendizagem das funções racionais uma vez que, ela permite a visualização de inúmeras representações gráficas de forma rápida e rigorosa., This study is concerning the intervention of teaching and learning rational functions, with help of technology, namely the graphic calculator. This study took a place in a 11th grade in Mathematics classroom, in the academic year of 2012/2013. The aim of the study is to motivate the students for to learn rational functions, and to contribute to improving Mathematical learning. The teaching learning methods used were tasks of exploration/investigation, group work and the use of technology such as the graphic calculator. The strategies of investigation/evaluation used were the students work, class registers and a questionnaire. This study was centred on four questions: 1) Verify the way the student use the calculator; 2) How the results given by the graphic calculator are interpreted; 3) Identify the difficulties that the students had when using the calculator; 4) Ascertain the students’ perception of the use of graphic calculator in the study of rational functions. The results of the study showed that the students essentially use the calculator to perform calculations, represent functions graphically and to verify/confirm the results. It also showed that, over the course of the study, the students interpreted more correctly the information given by the calculator. In relation to the difficulties the students faced when using the graphic calculator, the study found that the greatest challenges were choosing the correct window and interpreting the results. In terms of student perception, all of them agreed that the study of rational functions is made easier with the use of the graphic calculator.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Tecnologia Educativa), Caminhar para o futuro é caminhar na direção da inovação. Assim, o desafio da Educação que se impõe nos dias que correm, consiste em preparar os cidadãos para a realidade de um mundo globalizado, complexo e em mudança, sem fronteiras, centrado no conhecimento, na capacidade individual e coletiva, encetando um leque de oportunidades para a promoção de atividades que levam os alunos a trabalhar colaborativamente. Impõe-se, deste modo, compreender a educação como um processo de formação individual e colaborativa, de envolvimento e partilha, o que requer uma intervenção formativa de cariz social e cognitivo. Partindo dos pressupostos de Etienne Wenger (2006) sobre a aprendizagem social, aprender é um processo inerentemente social e não pode ser separado do contexto no qual a aprendizagem ocorre. Face à expansão célere das redes sociais virtuais no quotidiano, o ensino superior e mesmo até os restantes níveis do sistema educativo não devem alhear-se do papel que estas exercem no paradigma comunicacional e de embasar comunidades de aprendizagem. Deste modo, esta investigação debruça-se na emergência das redes sociais virtuais e a mudança que as mesmas produzem no sistema de ensino e aprendizagem e na construção de conhecimento matemático, com particular incidência na resolução de problemas matemáticos no ensino superior. Para efeito, desenvolvemos um estudo de caso, num grupo edificado na rede social Facebook, com alunos de primeiro ano do curso de Licenciatura em Educação Social, no decorrer de um semestre, em contexto exterior à sala de aula. Deste modo, não foi afetada a exploração de conteúdos programáticos estabelecidos para a unidade curricular e possibilitou a exploração de diversas temáticas transversais à mesma. A recolha de dados foi realizada através da análise de conteúdo de entrevistas semiestruturadas a alunos participantes na investigação, bem como, da comunicação assíncrona (interações) originadas no processo de resolução de um problema na rede social em causa. Os resultados obtidos demonstram que, para a maioria dos intervenientes a participação efetiva no grupo contribuiu para a aprendizagem de Matemática, em particular para a resolução de problemas, pois constituiu-se um forte engajamento no cerne da comunidade através da colaboração, da partilha de conteúdos, da comunicação de processos, da aprendizagem informal, entre outros. Através destes fatores ou aspetos referidos na literatura foi possível desenvolver competências essenciais para a construção do conhecimento e contribuir para a inovação de processos metodológicos., Walking to the future is walking towards the direction of innovation. Thus, the challenge of education that is needed these days is to prepare citizens for the reality of a globalized, complex and in changing world, without borders, centred on knowledge, on the individual and collective capacity, engaging a range of opportunities to promote activities that lead students to work collaboratively. It enforces, therefore, to understand education as a process of individual and collaborative training, of involvement and sharing, which requires a training intervention of social and cognitive nature. Based on the assumptions of Etienne Wenger (2006) on social learning, learning is an inherently social process and cannot be separated from the context in which learning occurs. Given the rapid expansion of virtual social networks on a daily basis, higher education and even the other levels of the education system should not alienate themselves from the role they play in the communication paradigm and to base learning communities. Thus, this research focuses on the emergence of social networks and virtual changes that they produce in the system of teaching and learning, and building mathematical knowledge, with particular emphasis on solving mathematical problem in higher education. For the purpose, we developed a case study, in a group built on the social network Facebook, with first-year students of the Bachelor's Degree in Social Education, during a semester in context outside the classroom. Thus, it has not been affected the operation of syllabus set for the course and allowed the exploration of several themes transversal to it. Data collection was performed through the content analysis of semi structured interviews with students participating in research as well as asynchronous communication (interactions) originated in the process of solving a problem in the social network in question. The results show that, for the most part of the participants, to participate effectively in the group contributed to the learning of mathematics, particularly for the resolution of problems since constituted a strong commitment at the heart of the community through collaboration, content sharing, communication processes, informal learning, among others. Through these aspects or factors mentioned in the literature was possible to develop essential skills for building knowledge and contribute to the innovation process methodology., Caminar hacia el futuro es caminar hacia la innovación. Por lo tanto, el reto de la educación que se necesita en estos días, es preparar a los ciudadanos para la realidad de un mundo globalizado, complejo y cambiante, sin fronteras, centralizado en el conocimiento y en la capacidad individual y colectiva para crear valor, proporcionando así, una amplia gama de oportunidades para la promoción de actividades que llevarán a los estudiantes a trabajar en colaboración. Se impone comprehender la educación como un proceso de formación individual y colaborativo, de compromiso y participación, que requiere una intervención en el desarrollo social y cognitivo. Con base en los supuestos de Etienne Wenger (2006) sobre el aprendizaje social, se indica que este es un proceso social intrínseco al aprendizaje y que no puede separarse del contexto social en el que se produce. Dada la rápida expansión de las redes sociales virtuales en nuestros días, la educación superior e incluso los otros niveles del sistema educativo no deberían alejarse del papel que desarrollan en el paradigma de la comunicación y empezar nuevas comunidades de aprendizaje. Por lo tanto, esta investigación se centra en la aparición de las redes sociales virtuales e en los cambios que producen en el sistema de enseñanza y aprendizaje e en la construcción de conocimiento matemático, con especial énfasis en la resolución de problemas matemáticos en educación superior. Para el efecto, se desarrolló un estudio de caso, de un grupo basado en la red social Facebook, con estudiantes de primer año de Grado en Educación Social programado en la asignatura semestral, fuera de la clase. Así la exploración de la planificación de los estudios no se ha visto perjudicada, incluso se ha podido averiguar más contenidos en el ámbito de la asignatura. La recolección de datos ha sido realizada a través del análisis de las entrevistas a los estudiantes que han participado en la investigación, así como en la comunicación asíncrona (interacciones) originada en el proceso de resolución de un problema en la red social en análisis. Los resultados obtenidos muestran que para la mayoría de los estudiantes, la participación efectiva en el grupo ha contribuido al aprendizaje de las matemáticas, en particular para la resolución de problemas, una vez que se constituyó un fuerte compromiso en el seno de la comunidad a través de la colaboración, del intercambio de asuntos, de comunicación de procesos, de aprendizaje informal, entre otras cosas más. A través de estos factores o elementos contemplados en la literatura fue posible desarrollar habilidades esenciales para la construcción de conocimiento y contribuir a la innovación de procesos metodológicos.

Tese de doutoramento em Ciências da Educação (área de especialização em Educação Matemática), Nesta investigação, explora-se e analisa-se a integração de tarefas do âmbito da história da matemática como forma de promoção de uma cultura de argumentação matemática em contexto de sala de aula. Este estudo em educação matemática encontra um suporte teórico em duas áreas distintas: história da matemática e argumentação matemática. Na primeira, procuram-se evidenciar as razões e os benefícios da integração da história da matemática em contexto de sala de aula, tendo em consideração os argumentos apontados por diversos matemáticos e investigadores. Na segunda, procede-se a uma análise do papel da argumentação na educação matemática ao nível da classificação de argumentos, formas de argumentação e tipos de estrutura de argumentação, para além de se proceder uma abordagem histórica sobre o papel da argumentação em matemática. A metodologia adotada neste estudo, de caráter qualitativo, insere-se no paradigma interpretativo estruturando-se num estudo de caso, uma vez que se pretende analisar o modo como a integração de tarefas do âmbito da história da matemática, em contexto de sala de aula, influencia a capacidade de raciocínio e argumentação dos alunos. Os alunos, pertencentes a uma mesma turma, integraram esta investigação ao longo de dois anos letivos consecutivos, de forma a enquadrar o estudo no contexto educativo dos oitavo e nono anos de escolaridade. Este estudo baseou-se na observação do trabalho realizado pelos alunos, suportada pelas notas de campo do investigador, bem como por gravações de áudio e vídeo das aulas e dos documentos produzidos pelos alunos. Através desta investigação foi possível identificar na resolução das diferentes tarefas propostas diferentes tipos de argumentos, formas simples e complexas de argumentação e diferentes estruturas de argumentação. Nesta experiência, a história da matemática revelou-se uma ferramenta potenciadora da aprendizagem matemática, uma vez que permitiu não só a aprendizagem e aplicação de determinados conceitos, mas também o desenvolvimento da capacidade dos alunos em expressar as suas ideias e em interpretar e compreender as ideias e opiniões que lhes foram sendo apresentadas, participando, assim, de forma construtiva em discussões argumentativas sobre ideias, processos e resultados matemáticos, This research explores and analyzes aspects related to the integration of tasks within the history of mathematics as a way of promoting a culture of mathematical reasoning in the classroom’s context. This study in mathematics education finds a theoretical support in two distinct areas: history of mathematics and mathematical reasoning. As far as the first is concerned, the highlight of the reasons and benefits of integrating the history of mathematics in the context of the classroom is searched, taking into account the arguments raised by several mathematicians and researchers. In the second, in addition to a historical approach on the role of argumentation in mathematics, a special attention to the role of argumentation in mathematics education is assigned, in particular, on the prospects of some mathematics educators on this issue at the level of arguments classification, forms of reasoning and argumentation structure types. The methodology adopted in this qualitative study, which falls within the interpretative paradigm, is structured in a case study, since it aims to examine how the integration of tasks within the history of mathematics in the context of classroom influences the ability of reasoning and argumentation of the pupils. Pupils belonging to the same class were included in this study over two consecutive academic years, in order to place the study in the educational context of the eighth and ninth grades. This study was based on observation of the work done by the pupils (through records, field notes, made by the investigator), audio and video in the context of the classroom and analysis of documents produced by the pupils. Through this research, the identification of different types of arguments, simple and complex forms of argumentation and different argumentation structures on the several tasks proposed resolution, was made possible. In this experiment, the history of mathematics proved to be a boosting-tool for learning mathematics, since it allowed both the learning and application of certain concepts, but also the development of pupils' ability to express their ideas and to interpret and understand the ideas and opinions being presented to them and participating constructively in argumentative discussions about ideas, processes and mathematical results.

Relatório de estágio de mestrado em Educação Pré-Escolar, O presente relatório apresenta o projeto de intervenção pedagógica, no âmbito da unidade curricular de Prática de Ensino Supervisionada, do Mestrado em Educação Préescolar. Sob o título Explorando materiais: Contributo para a aprendizagem da matemática no jardim de infância e na creche, o presente projeto foi desenvolvido nos contextos de jardim de infância e creche, tendo como principal objetivo promover a construção de conhecimentos em torno de conceitos matemáticos, envolvendo as crianças em situações lúdicas de aprendizagem. No âmbito do projeto e na sequência dos seus objetivos, no contexto de jardim de infância, foram delineadas estratégias de intervenção focadas no desenvolvimento de experiências-chave propostas pelo modelo curricular High/Scope para a educação pré-escolar relativas à matemática, (classificação, seriação, número e espaço) (Hohmann &Weikart, 2011). Em contexto de creche, foram delineadas novas estratégias de intervenção direcionadas para o desenvolvimento de experiências-chave High/Scope relacionadas com a noção precoce de quantidade, número e espaço (Post & Hohmann, 2007). Em ambos os contextos, de entre outras estratégias criaram-se situações de jogo com materiais manipuláveis e exploraram-se histórias, rimas e canções envolvendo a matemática. De um modo geral, o desenvolvimento do projeto permitiu concluir que a introdução na rotina educativa das crianças de situações de jogo, envolvendo a exploração de materiais e a descoberta de relações entre objetos, experiências e ideias são processos importantes para a construção ativa de aprendizagens no domínio da matemática., This report presents the project of pedagogical intervention of master's degree in childhood education. Entitled Exploring materials: Contribution to the learning of mathematics in kindergarten and nursery, this project was developed in the context of kindergarten and nursery, with the main objective to promote the construction of knowledge about mathematical concepts involving children in playful learning situations. As part of the project and following its objectives in the context of kindergarten, were outlined intervention strategies focused on the development of preschool key developmental indicators proposed by High / Scope curriculum for preschool education on mathematics (classification, seriation, number and space) (Hohmann & Weikart, 2011). In the context of nursery were outlined new intervention strategies aimed at the development of key experiences High / Scope related to the early notion of quantity, number and area (Post & Hohmann, 2007). In both contexts, among other strategies were created situations with manipulable materials and explored stories, rhymes and songs involving mathematics. In general, the development of the project made it possible to conclude that the introduction, in children´s routine, the game situations, involving the exploration of materials and the discovery of relationships between objects, experiences and ideas are important to building active processes of learning, in the field of mathematics.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente estudo centra-se na resolução de problemas matemáticos e resulta de uma intervenção de ensino numa turma do 11.º ano, na disciplina de MACS, durante a lecionação dos Modelos Populacionais. A investigação desenvolveu-se em torno de três objetivos: Identificar as estratégias de resolução de problemas que os alunos utilizam quando resolvem problemas matemáticos; Reconhecer os aspetos fortes e os aspetos frágeis das estratégias de resolução de problemas utilizadas pelos alunos; Listar e analisar as dificuldades que os alunos revelam durante a resolução de problemas matemáticos. Para atingir os objetivos de investigação procedeu-se a uma recolha de dados diversificada: Um teste diagnóstico realizado antes da intervenção; A resolução de quatro problemas, sendo que dois foram resolvidos individualmente e os restantes em grupo na sala de aula; Um questionário direcionado aos alunos no final da intervenção; Os diferentes testes de avaliação sumativa realizados ao longo do ano. Pela análise dos dados recolhidos, foi possível chegar a diferentes conclusões relativas aos objetivos propostos. Das diferentes estratégias a que os alunos recorreram, a mais frequente foi de modelação, com recurso à expressão do modelo. Por oposição, aquela a que menos recorreram foi a estratégia por tentativa e erro. Reconheceu-se como aspeto forte das estratégias de resolução usadas pelos alunos, o desenvolvimento do sentido crítico, como consequência da aquisição do hábito de verificar a aplicação do resultado à realidade. Observaram-se, como aspetos frágeis, a não consideração de casos específicos quando os alunos recorrem à generalização e a aplicação das fórmulas quando utilizam uma estratégia de modelação. Os alunos demonstraram determinar com relativa facilidade os dados presentes nos enunciados. No entanto, revelam dificuldades no estabelecimento de uma relação entre os dados e o objetivo do problema., La présente étude se concentre sur la résolution des problèmes mathématiques et elle résulte d'une intervention éducative dans une classe de première année, de la discipline de MACS, pendant l'enseignement des Modèles de Population. La recherche a été développée autour de trois objectifs: Identifier les stratégies de résolution de problèmes que les élèves utilisent quant ils ressoudent des problèmes mathématiques; Reconnaître les points forts et les points faibles des stratégies de résolution de problèmes utilisées par les étudiants; Lister et analyser les difficultés que les élèves révèlent avoir quant ils ressoudent des problèmes mathématiques. Pour atteindre les objectifs de recherche, il a été réalisé une recueille de données diversifié: Un contrôle diagnostique avant l'intervention; La résolution de quatre problèmes, dont deux qui ont été résolus individuellement et les autres ont été résolus en groupe en salle de classe; Un questionnaire remis aux étudiants à la fin de l'intervention; Les différents contrôles d'évaluation menés tout au long de l'année. En analysant les données recueillies, il a été possible d'arriver à des différentes conclusions concernant les objectifs proposés. Des différentes stratégies auxquelles les élèves ont recouru, la plus fréquente est celle de modélisation, en utilisant l'expression arithmétique du modèle. En revanche, la moins utilisée, est la stratégie par essais et erreurs. Il a été reconnu comme un point fort des stratégies de résolution utilisées par les élèves, le développement de leur esprit critique, en conséquence de l’acquisition de l’habitude de vérifier l’application du résultat à la réalité. Il a été observé, comme points faibles, la non-prise en compte des cas particuliers où les élèves recourent à la généralisation et, à l'application des formules quant ils utilisent une stratégie de modélisation. Les étudiants ont démontré déterminer assez facilement les données présentées par les énoncés. Cependant, ils révèlent des difficultés à établir une relation entre les données et l'objectif du problème.

Tese de doutoramento Ciências da Educação (área de especialização em Educação Matemática), Este estudo consistiu em analisar a contribuição da integração de um ambiente de aprendizagem virtual, a Plataforma Moodle, nas atividades de aprendizagem de alunos de três turmas da Educação de Jovens e Adultos do IF-SC, em três distintos Campi ‒ Florianópolis, Continente e Chapecó ‒ no âmbito da unidade curricular de Matemática no decorrer do segundo semestre letivo de 2010. Procurou-se investigar a forma como os alunos desta modalidade de ensino utilizaram a Plataforma Moodle no desenvolvimento das suas tarefas propostas pelo seu professor de Matemática, a pertinência da complementaridade entre a sala de aula e o ambiente virtual e as suas perspetivas sobre o uso desta plataforma na sua aprendizagem de conteúdos matemáticos. Para concretizar o objetivo que orientou esta investigação, procura-se responder às seguintes questões: Que atividades desenvolveram os alunos do PROEJA na unidade curricular de Matemática? Que contributo teve a Plataforma Moodle na aprendizagem dos alunos? Que perspetivas têm os alunos do PROEJA e os seus professores sobre a utilização da Plataforma Moodle na aprendizagem de Matemática? Esta investigação foi orientada por uma abordagem qualitativa e interpretativa, centrada na procura de significados que os intervenientes no estudo atribuem ao fenómeno que vivenciaram, seguindo o design de estudo de caso. Adotando esta metodologia, estruturaram-se três estudos de caso, sendo cada um deles constituído por quatro alunos de três turmas pertencentes a distintos Campi do IF-SC: do Campi de Florianópolis (Helena, Daniela, Paula e Sabrina); do Campi do Continente (Pedro, Letícia, João e Cristine) e do Campi de Chapecó (Eric, Silva, Cristiano e Anderson). O critério de seleção destes alunos foi o fator participação na Plataforma Moodle: maior participação, razoável participação e pouca participação. Os dados foram recolhidos através de questionários, preenchidos por todos os alunos das três turmas no início e no final da componente empírica do estudo; da observação direta de algumas aulas de Matemática em cada uma das turmas; da participação dos alunos no desenvolvimento das atividades na Plataforma Moodle e na sala de aula, incluindo as avaliações; de entrevistas aos professores de cada uma das turmas no início e no final da componente empírica do estudo ; e de uma entrevista aos alunos que constituem cada estudo de caso no final do respetivo semestre. A concretização do objetivo deste estudo é sustentada por um quadro teórico que se debruça sobre: (i) a ênfase da integração e do uso das TIC na Sociedade da Informação e do Conhecimento nos sistemas de ensino, sobretudo de Portugal e do Brasil; (ii) a integração do PROEJA e da Educação a Distância (EaD) na rede federal de ensino brasileiro; (iii) o contributo das Teorias de Aprendizagem no ensino; (iv) o processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos através da Plataforma Moodle, com a apresentação de resultados de investigações sobre o uso da mesma. Este estudo conclui que a utilização da Plataforma Moodle favoreceu a aprendizagem de conteúdos de Matemática de alunos de cursos do PROEJA. Atendendo-se às especificidades dos alunos ‒ fator idade, tempo sem estudar, relação com a aprendizagem matemática, conhecimentos sobre o uso do computador, acesso a um computador com Internet ‒, o dispositivo de ensino implementado pelos professores das turmas que integram este estudo envolveu os alunos numa diversidade de atividades. Dessas atividades destacam-se as pesquisas e a visualização de vídeos sobre temas matemáticos; a resolução de testes online; a participação num fórum temático; a exploração de applets do GeoGebra e do Descartes; e a comunicação por e-mail para clarificar dúvidas. O uso da Plataforma Moodle promoveu uma maior interação entre os alunos do que na sala de aula, proporcionou uma aprendizagem mais significativa ao poderem aceder conteúdos matemáticos em horário e em locais mais adequados. A proposta do dispositivo de ensino que integrou a sala de aula e a Plataforma Moodle veio alterar a forma como os alunos do PROEJA acediam à informação e se envolviam nas atividades de aprendizagem na disciplina de Matemática. Porém, as condições oferecidas pelo IF-SC para concretizar este dispositivo não foram as ideais para que o professor possa tirar o devido partido da sua integração no processo de ensino e aprendizagem na disciplina de Matemática em cursos de PROEJA na sociedade da informação e da comunicação em que vivemos., This study analyzes the contribution of the integration from the environment of virtual learning, the Moodle Platform, in the learning activities from the students of three classrooms, of PROEJA from IF-SC, in three distinct campuses – Florianópolis, Mainland, Chapecó – considering the curriculum of mathematics along the second semester of 2010. I try to investigate how the students from this teaching modality use the Moodle Platform to develop proposed tasks assigned by their mathematics teacher. I considered the importance of integration between the classroom and the virtual environment of their perspective about this platform for learning the mathematics content. To achieve the objective that directed this investigation, I tried to answer the following questions: Which activities have the PROEJA students developed in mathematics? Which contribution has the Moodle Platform on student learning? What perspectives have the students from PROEJA and their teachers had about using the Moodle Platform in learning mathematics? This investigation was directed by a qualitative and interpretative approach centered in the search of meanings that the participants in the study refer to as a phenomenon they experienced, based on the design of the case study. By adopting this methodology, three case studies were structured. Each case study constituted by four students belonging to three classes from two distinct campus of IF-SC: the campus from Florianópolis (Helena, Daniela, Paula e Sabrina); from the campus of the mainland (Pedro, Leticia, João e Cristine) and from the campus of Chapecó (Eric, Silva, Cristiano and Anderson). The selection criterion chosen by these students was based on the participation factor of the Moodle Platform That is, greater participation, reasonable participation and little participation. The data were collected through questionnaires, filled out by all students from the three classes at the beginning and at the end of the empirical component of the study; from the direct observation of some mathematic classes in each one of the classrooms; from the participation of the students in the development of the activities of the Moodle Platform and in the classroom. In addition, it was included the assessments; the teachers’ interviews from each of the classrooms at the beginning and at the final empirical of the study; and of an interview with the students that constituted each case study at the end of the respective semester. The accomplishments of the objectives of the study is sustained by a theoretical situation based on: (i) the emphasis of the integration and the use of the TIC in the society of information and the knowledge of the teaching systems especially from Portugal and from Brazil; (ii) The integration of PROEJA and the distance education system in the Brazilian federal teaching system; (iii) the contribution from the learning theories of teaching; (iv) of mathematics teaching and learning contents through the movie platform, presenting results from the use of this platform. This study concludes that the use of the Moodle Platform has favored learning contents of mathematics by the students of PROEJA. Meeting these specificities of the students – age factor, time out of school, relationship with the learning of mathematics, knowledge about computer, access to a computer with internet connection – the teaching device implemented by teachers from the classrooms that integrated this study has involved students in variety of activities. Among these activities it can be taken into account the researches and videos being watched about topics concerning mathematics: a resolution of online tests; the participation in a thematic forum; the exploration of applets from GeoGebra and Descartes; and communication through email to clarify doubts. The use of the Moodle Platform has promoted more interaction among the students than in the classroom. It provided a more meaningful learning, enabling the students to access mathematical content in a more suitable time and place. The proposal of the teaching device that incorporated the classroom and the Moodle Platform has changed the way students from PROEJA access information and get themselves involved in learning of mathematics. However, considering the information and communication society that we live in, the conditions offered by IF-SC to accomplish this proposal were not the ideal ones to make teachers profiting from the teaching and learning of mathematics courses in PROEJA.

Relatório de estágio de mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico, As capacidades de visualização espacial têm vindo a assumir, nas últimas décadas, uma importância crescente no ensino e aprendizagem da Matemática. Esta relevância tem sido destacada por diversos autores nacionais e internacionais que realizaram estudos de referência nesta área. Em Portugal, apesar da sua importância ser reconhecida e destacada no Programa de Matemática em vigor, especificamente, no âmbito do tema matemático Geometria que apresenta como ideia central o desenvolvimento do sentido espacial dos alunos, os estudos nesta área ainda são escassos. Neste relatório é apresentado um projeto de investigação, desenvolvido numa turma do 1.º ano do 1.º ciclo do Ensino Básico, no âmbito das capacidades de visualização espacial, especificamente, da perceção figura-fundo e da perceção da posição no espaço. O projeto seguiu uma abordagem qualitativa e interpretativa tendo consistido no desenho e implementação de uma experiência de ensino constituída por doze sessões realizadas em contexto. Inicialmente foi elaborado um pré-teste a que se seguiu um conjunto de treze tarefas, em que foram utilizados diferentes materiais estruturados bem como o recurso às tecnologias de informação e comunicação, e por fim foi realizado um pós-teste. A avaliação do projeto possibilita destacar, como principais resultados, um claro desenvolvimento da capacidade de identificar figuras imersas noutras, a realização de aprendizagens no domínio da reflexão e o desenvolvimento da capacidade de identificar e desenhar figuras com simetria de reflexão. Os recursos e materiais utilizados possibilitaram a concretização de atividades dinâmicas, motivadoras, concretas e significativas para os alunos tendo sido essenciais para o alcance destes resultados., Visualization has been assuming, in the last decades, an increasing importance in the teaching and learning of Mathematics. Various national and international authors who have made studies in this area have highlighted this relevance. In Portugal, the importance of this area is recognized in the actual Mathematics Program for Basic School, specifically concerning the topic of geometry, whose central idea is the development of students’ spatial abilities. Nevertheless, studies in this area, in Portugal are still scarce, having a weak relevance. This report presents a research project, developed in a 1st grade of Primary School, in the context of spatial visualization abilities, specifically, figure-ground perception and position in space perception. The project followed a qualitative and interpretative approach and consisted in the design and implementation of an educational experience consisting on twelve sessions developed in context. Initially, a pre-test was implemented, followed by a set of thirteen tasks in which different structured materials and technologies were used, and finally a post-test was applied. The evaluation of the project allows detaching, as main results, a clear development of the ability to identify figures immersed in others, the realization of learning on the domain of reflection and the development of the capacity to identify and/or draw figures with symmetry of reflection. The resources and materials used allowed the accomplishment of motivating, practical and meaningful activities for the students, being essential to the achievement of these results.

Dissertação de mestrado em Estatística, Os Modelos de Regressão Multinível são importantes na análise de estudos educacionais, pois têm em conta a natureza hierárquica da população em estudo, o que não seria possível com os modelos de regressão clássica. Neste trabalho apresentam-se os aspectos principais subjacentes aos Modelos de Regressão Multinível, sendo abordados vários modelos de entre os quais se selecionou aquele que melhor se ajusta aos dados. Os Modelos de Regressão Multinível foram aplicados aos dados dos alunos portugueses obtidos no âmbito dos testes estandardizados administrados pelo Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA) 2009 na disciplina de matemática. Pretende-se com esta aplicação analisar o desempenho escolar dos alunos portugueses nesta disciplina, tentando perceber os principais determinantes do sucesso dos alunos, bem como estudar a contribuição das escolas portuguesas no desempenho escolar dos seus alunos. A principal conclusão deste trabalho é que existe um efeito significativo da escola a que os alunos pertencem na determinação dos seus resultados escolares, e o nível socioeconómico e cultural dos alunos é um dos principais determinantes do desempenho escolar dos alunos., Multilevel Regression Models are important in the analysis of educational studies as they have into account the hierarchical nature of the population under study, something that is not possible with classical regression models. This thesis presents the main aspects underlying the multilevel regression models, where various models are discussed and the one that best fits the data is selected. Multilevel Regression Models were applied to the data on Portuguese students obtained under the standardized tests administered by the Programme for International Student Assessment (PISA) 2009 in the discipline of mathematics. The aim of this application was to analyse the academic performance of Portuguese students in this discipline while trying to understand which factors are the most important determinants of students’ success, as well as studying the contribution of Portuguese schools to the academic achievement of their students. The main conclusion of this study is that there is a significant e ect of the school in the achievements of students, and that the socio-economic and cultural context is one of the main determinants of students’ academic performance.

Dissertação de mestrado em Estudos da Criança (área de especialização em Ensino e Aprendizagem da Matemática), Este estudo procura perceber como as crianças no final do 1.º Ciclo constroem o conceito de número racional quando este é trabalhado nos significados quociente, parte-todo, operador e medida, após terem sido previamente expostas a um contacto com o Programa de matemática tradicional. Para tal, procurar-se-á entender: como os alunos compreendem a representação, a ordenação e a equivalência de fração em cada um dos significados; e como estes articulam os diferentes modos de representação de um número racional nestes significados. A metodologia adotada é de natureza qualitativa, de tipo de estudo de caso, tendo sido realizados seis estudos de caso. Para foco dos estudos de caso foram selecionados alunos com 9 e 10 anos. O investigador deste estudo é igualmente o professor da turma. A recolha de dados recorreu a técnicas como observação com registos vídeo e áudio, registos escritos dos alunos e notas de campo. Os alunos em estudo realizaram uma trajetória de aprendizagem de 12 sessões, onde tiveram contacto com tarefas envolvendo números racionais com diferentes significados e diferentes representações. Os dados do estudo permitem caracterizar o desenvolvimento da compreensão do número racional realizado pelos alunos com esta trajetória, concluindo que estes desenvolveram a noção de número racional sendo capazes de trabalhar com as suas diferentes representações: fracionária, decimal e percentual, e sendo capazes de resolver tarefas nos diferentes significados de número racional. Os alunos, ao longo desta sequência, melhoraram as noções de ordenação e equivalência de números racionais. Os dados apontam também que a sequência escolhida para introdução de diferentes significados foi facilitadora da compreensão do conceito de número racional, levando a concluir que a transição do Programa tradicional (ver DEB, 1991) para as orientações do Programa de matemática (DGIDC, 2007) foi conseguida globalmente, de uma forma tranquila., This study aims to understand how children at the end of the 4th grade build the concept of rational number when it is worked with the meaning of quotient, part-whole, operator and measurement, after they have been exposed to the traditional math syllabus. For this purpose, we will try to perceive: how students understand representation, ordering and equivalence of fractions in each of its meanings; and how they articulate the different modes of representation of a rational number in these meanings. The methodology adopted is of qualitative, case study nature, having six case studies been conducted. Children between the ages of 9 and 10 were selected as the focus group of the case studies. The researcher of this study is equally the teacher of this class. The collection of data used techniques such as observation with video and audio recording, written records of the students and field notes. The students in the study made a learning trajectory of 12 sessions, in which they had contact with tasks involving rational numbers with different meanings and different representations. The data of the study allow for a characterization of the development of understanding of the rational number by the students on this trajectory, concluding that the students developed a notion of rational number being able to work with its different representations: fractional, decimal and its percentage, and being able to solve tasks in the different meanings of the rational number. The students, during this sequence, improved the notions of ordering and equivalence of rational numbers. The data also indicate that the sequence chosen to introduce the different meanings facilitated the understanding of the concept of the rational number, leading to conclude that the transition from the traditional Syllabus (see DEB, 1991) to the guidelines of the math Syllabus (DGIDC, 2007) was achieved overall in a quiet and effective manner.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino do 1º e 2º Ciclo do Ensino Básico, Esta investigação tem como propósito principal identificar dificuldades e constrangimentos de uma abordagem de ensino à Organização e Tratamento de Dados (OTD) no Ensino Básico. Neste sentido foram definidas as seguintes questões de investigação: 1) Que dificuldades manifestam os alunos na interpretação e representação de dados em tabela, diagramas e gráficos; e 2) Que dificuldades senti em encontrar tarefas motivadoras para o tema. Adotou-se uma metodologia qualitativa tendo-se aplicado uma metodologia de investigação-ação. Realizaram-se dois estudos de intervenção, um no 1º ciclo, contando com a participação de 25 alunos, outra no 2º ciclo, com 28 participantes, com contornos semelhantes. Em cada estudo realizaram-se intervenções sobre OTD. No 1º ciclo abordaram-se os diagramas de Venn e Carroll, o diagrama de contagem (Tally Chart), construção de tabelas de frequências e gráficos de pontos e pictogramas. No 2º ciclo abordou-se a tabela de frequências, gráficos de barras e circulares, diagramas de caule – e – folhas, média aritmética, classificação das variáveis, e extremos e amplitude dos dados. Os resultados obtidos no 1º ciclo indicam que os alunos apresentaram dificuldades na representação de dados em diagramas de Carroll, na interpretação e construção do diagrama de Venn e na atribuição de título aos gráficos. Revelaram ainda facilidades na interpretação de diagramas de Carroll, gráficos e tabelas. Os alunos do 2º ciclo manifestaram dificuldades na construção de tabelas de frequências e gráficos de barras, na construção e interpretação de diagramas de caule – e – folhas e também na atribuição de títulos aos gráficos. Contudo, observou-se facilidades destes alunos na interpretação e construção de gráficos circulares, na interpretação de gráficos de barras e na classificação das variáveis. Globalmente, o projeto foram positivos. O projeto contribuiu para o enriquecimento curricular dos alunos não só pela aquisição de novos conhecimentos na área da matemática ligados ao tema OTD, mas também pela diversidade de situações, experiências e vivências que as intervenções proporcionaram., This project aims at identifying difficulties and constraints in a teaching approach to the Organization and Data Analysis in primary school. Therefore, the research questions are: 1) What difficulties do the students have when they are interpreting and representing results in tables, diagrams and graphics; e 2) What difficulties did I have when I was trying to find motivating activities related to the topic beforehand. From the methodological point of view, it included a quantitative approach and an Action-research methodology. Two intervention studies were conducted, one in the 1st cycle, with 25 students, and another one in the 2nd cycle, with 28 students, with similar characteristics. In the 1st Cycle, it was taken into consideration the diagrams of Venn and Carroll, the counting diagram (Tally Chart), drawing of tables of frequency, dot charts and pictograms. In the 2nd Cycle, tables of frequency, bar charts, pie charts, stem-and-leaf diagram, the mean, the classification of the variables, extremes and the amplitude of the data were explored. The results obtained in the 1st Cycle indicate that students had difficulties in interpreting data using the Carroll diagrams, in interpreting and drawing Venn‟s diagram and when they had to give the graphics a title. Nevertheless, they were able to analyse Carroll‟s diagrams, graphics and tables quite easily. The other group of participants presented difficulties in the creation of frequency tables and bar charts, in drawing and analysing stem-and-leaf diagrams and when they had to entitle the graphics. However, in the creation and the analysis of the pie charts and the classification of the variables, participants were able to perform the tasks without major problems. Generally, this research contributed to the curricular enrichment of the participants not only through the new knowledge acquired on the subject but also through the diversity of situations and experiences provided.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Tecnologia Educativa), Perante as dificuldades frequentes e acentuadas dos alunos na aprendizagem da matemática em geral e das funções, em particular, urge a necessidade dos professores de matemática se debruçarem sobre esta problemática. Assim este estudo foi desenvolvido no sentido de contribuir quer para a melhoria das aprendizagens e do rendimento escolar quer para a redução das taxas de insucesso dos alunos a esta disciplina. A tecnologia informática tem assumido um papel inovador, transformador e preponderante na sociedade atual e no quotidiano das pessoas em geral tornando o uso dos computadores nas instituições de ensino como algo evidente e inevitável, e como consequência desse desenvolvimento tecnológico é necessário que os docentes adequem os seus métodos de ensino e de trabalho às novas tecnologias. Ponte, Oliveira & Varandas (2001) consideram que as tecnologias da informação e comunicação podem auxiliar o desenvolvimento de competências essenciais nos discentes para além de proporcionar o aumento de atitudes positivas em relação à matemática. Com a presença constante dos computadores no processo ensino aprendizagem e sendo de interesse focar o ensino das funções, este estudo dedica uma atenção especial a softwares que permitem desenvolver propostas pedagógicas que visam a construção de atividades que dão a possibilidade ao aluno de experimentar, visualizar, conjeturar, comunicar e argumentar. Um desses softwares de geometria dinâmica é o Geogebra, ao qual se dedica este estudo. Foi no sentido de investigar em que medida o uso do software de geometria dinâmica Geogebra contribui para a melhoria das aprendizagens dos alunos, que foi desenvolvido este estudo. Para a concretização desta investigação recorreu-se a uma metodologia do tipo quasi-experimental com uma amostra constituída por duas turmas do oitavo ano de escolaridade da Escola Básica Monsenhor Elísio Araújo pertencente ao Concelho de Vila Verde. Em termos de resultados, este estudo permitiu constatar que o uso do software de geometria dinâmica Geogebra na realização das tarefas contribuiu para aumentar o interesse e a motivação dos alunos pela matemática, permitiu criar um ambiente de aprendizagem mais dinâmico e atrativo, proporcionando envolver os alunos no seu próprio processo de ensino e aprendizagem. Esta investigação educativa ainda possibilitou verificar que os alunos que contactaram com o software apresentaram um aproveitamento mais significativo comparativamente aos alunos que não usaram essas mesmas tecnologias., Given the students’ frequent and severe difficulties in learning mathematics in general and of the functions in particular, there is an urgent need for mathematics teachers to think about this issue. Therefore, this study was designed to contribute both to the improvement of learning and school performance and to reduce the failure rates of students in this school subject. Computer technology has played an innovative and transformative role in today’s society and in everyday life in general making the use of computers in educational institutions something obvious and inevitable, and as a result of this technological development it is necessary that teachers fit their teaching methods and working abilities to the new technologies. Ponte, Oliveira & Varandas (2001) consider that the information and communication technologies can help develop essential skills in students in addition to providing increased positive attitudes towards mathematics. With the constant presence of computers in the learning process and the need to focus on the teaching of functions, this study pays special attention to developing software that allows pedagogical plans that aim to build activities which provide the possibility of students to experience, visualize, estimate, communicate and reason. One of those dynamic geometry softwares is Geogebra, to which this study is dedicated. The aim of this study was to investigate to what extent the use of dynamic geometry software Geogebra contributes to the improvement of student learning. For this research we used a methodology of near-experimental design having as sample of two classes of the eighth grade of School Monsenhor Elísio Araújo, from the municipality of Vila Verde. In terms of results, this study found that the use of dynamic geometry software Geogebra contributed to increase student’s interest and motivation in mathematics, helped to create a more dynamic and attractive learning environment, engaging students and enhancing their own commitment in teaching and learning. This educational research has enabled us to confirm that students who had contact with the software had more significant learning compared to students who did not use these technologies.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino do 1.º 2.º Ciclo do Ensino Básico, Este projeto centrado no tópico “Regularidades” procura compreender os efeitos de uma abordagem aos padrões em alunos dos 2.º e 6.º anos de escolaridade do Ensino Básico, analisando como estes exploram, trabalham e entendem as regularidades. Deste modo, procurar-se-á responder às seguintes questões: 1) Que tipos de tarefas se conseguem explorar na resolução de problemas envolvendo padrões matemáticos, em contexto de sala de aula? 2) Que tipos de estratégias foram usados pelos alunos na resolução de problemas envolvendo padrões matemáticos? 3) Quais foram as dificuldades e as facilidades sentidas pelos alunos na realização de problemas sobre padrões matemáticos? Adotou-se uma metodologia de investigação qualitativa em ambos os ciclos, sendo que no 1.º Ciclo recorreu-se ao estudo de casos múltiplos. Em ambos os casos foi desenvolvida uma intervenção com características do modelo de investigação-ação. A recolha de dados recaiu sobre gravação com vídeo das aulas, fotografias dos trabalhos dos alunos, anotações escritas do investigador e fichas de trabalho e testes realizados pelos alunos. Os resultados revelam que as crianças do 1.º Ciclo foram capazes de continuar, criar, codificar e traduzir padrões, usaram mais frequentemente estratégias de contagem na resolução de problemas com padrões, beneficiaram do uso de materiais manipuláveis e desenvolveram a comunicação matemática. Foi notória uma evolução nos alunos competentes na área da Matemática ao nível da motivação perante as aprendizagens, nos alunos razoáveis ao nível da motivação e do rigor na realização das atividades e nas crianças com mais dificuldades ao nível da motivação e do pensamento algébrico, evidente na resolução de problemas além do projeto. Os alunos do 2.º Ciclo mostraram-se capazes de continuar e criar padrões, formular generalizações, e investigar ordens e termos em sequências. De forma particular, estes alunos acabaram por ficar motivados para a investigação de padrões e para a pesquisa de estratégias diversificadas na resolução de problemas. Genericamente, os alunos de ambas as turmas adquiriram conhecimentos que lhes permitiram estabelecer relações matemáticas entre as sequências e outros conteúdos matemáticos, expor e fundamentar as suas resoluções, e desenvolver o pensamento algébrico. Demonstraram, ainda, constrangimentos ao nível da comunicação matemática e do raciocínio matemático, que se foram, gradualmente, dissipando., This project, which focuses on the topic "Regularities", seeks to understand the effects of a pattern based learning approach in primary school students from both year, 2 and 6 classes, by examining how they explore, manage and understand Regularities. Therefore, this report seeks to answer the following questions: 1) What type of tasks can be explored by solving problems involving mathematical patterns in a classroom context? 2) What type of strategies were used by students when solving problems involving mathematical patterns? 3) What did the students find difficult and easy in the solving of problems presented involving mathematical patterns? A qualitative research methodology was adopted in both classes, by resorting to multiple case studies in the year 2 class. In both cases the interventions developed had characteristics of an action research model. Data collection was done by recording video lessons, photographs of the students work, the investigators written notes and worksheets and tests carried out by the students. The results show that children in year 2 were able to continue, create, encode and translate patterns; they often used counting strategies to solve problems involving patterns, benefited from the use of manipulative materials and developed mathematical communication. The progress of the level of motivation towards learning was notable in the students with better math skills, the students with a reasonable level of math skills showed more motivation and accuracy in performing the activities and those with more difficulties showed more motivation and algebraic thought, which became evident in their problem solving even outside of the project. The year 6 students proved able to continue and create patterns, formulate generalizations and investigate orders and terms in sequences. In particular, these students eventually become motivated about researching patterns and diverse strategies for problem solving. In general, students in both groups gained knowledge that enabled them to establish mathematical connections between sequences and other mathematical content, expose and support their resolutions, and develop algebraic thought. They also showed a certain uncertainty in relation to mathematical communication and mathematical reasoning, which were gradually dissipated.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino da Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente estudo centra-se na comunicação matemática escrita na resolução de tarefas, sendo que estas tarefas são problemas e tarefas de investigação. O principal propósito deste estudo é aperfeiçoar o ensino e aprendizagem da matemática, dos alunos de uma turma do 11.º ano de escolaridade, do curso de ciências e tecnologias. Neste sentido, durante a intervenção pedagógica realizada teve-se sempre presente os seguintes objetivos: i) analisar a linguagem matemática dos alunos nos seus procedimentos escritos; ii) analisar as justificações dos alunos nos seus procedimentos escritos; iii) verificar a interpretação dos alunos na leitura de um texto ou procedimento escrito. Para a análise dos dados foram recolhidas as produções escritas dos alunos, nomeadamente, elementos das fichas de avaliação e tarefas. É de salientar que se optou por diferentes formas de trabalho, tendo os alunos realizado atividades individualmente, em díades e em grupo. A par destas recolhas foram também analisados alguns registos da professora, sobre as interações dos alunos aquando da realização de tarefas em díades e em grupo. Para analisar as produções escritas dos alunos, recorreu-se ao estudo da linguagem matemática utilizada pelos alunos, nomeadamente quais os tipos de representações mais utilizadas (representação ativa, icónica e simbólica), de que forma justificam os alunos os seus raciocínios e como interpretam um determinado enunciado e a própria resolução da tarefa. Em termos de resultados, verificou-se que quanto à linguagem matemática os alunos optam mais frequentemente pelo uso das representações icónicas e simbólicas, quanto à justificação dos procedimentos averiguou-se que os alunos apenas o faziam quando lhes era expressamente solicitado, caso contrário não apresentavam qualquer esquema/sequência do que raciocinaram. Por último, detetou-se que os alunos apresentaram dificuldades na interpretação de textos escritos, assim como, na interpretação da própria resolução. É de realçar que o trabalho de grupo foi uma mais-valia para os alunos, já que no final da intervenção pedagógica foi referido pelos próprios alunos que a realização de tarefas em grupo contribuiu para uma aprendizagem mais significativa da matemática., This study focuses on written mathematical communication in solving tasks, being that these tasks are mathematical problems and research tasks. The main goal of this study is to perfect the teaching and learning processes of students in an 11th year class from the science and technology specialization course regarding mathematics. In this respect, during the pedagogical intervention the following goals were always present: i) analyze the mathematical language of students in their written procedures; ii) analyze the justifications of students in their written procedures; iii) check students’ interpretation of a reading text or written procedure. For the analysis of data, the written productions of the students were collected, namely, elements of their assessment tests and tasks. It should be noted that different types of work were chosen, the students having carried out the activities individually, in pairs or in groups. As well as this collected data some of the teacher’s records on the students’ interactions when carrying out the tasks in pairs or in groups were analyzed. To analyze the written productions of the students, the study of the mathematical language used by the students was resorted to, namely the types of representations used most (active, iconic or symbolic representations), how the students justify their reasoning and how they interpret a certain text or written procedure. In terms of results, it was found that in terms of mathematical language the students frequently opt for the use of iconic and symbolic representations. In terms of justifying procedures, it was found that students only did so when explicitly asked, otherwise they did not present any diagram/sequence showing their reasoning. Finally, it was found that the students showed difficulties in the interpretation of written texts, as well as in the interpretation of the very solution. It is to be noted that group work was an asset for the students, as at the end of the pedagogical intervention the students mentioned that carrying out group tasks contributed to a more significant learning of mathematics.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Desenvolvimento Curricular), Este trabalho tem como propósito investigar as causas que estão na génese do insucesso escolar registado na disciplina de Matemática A, e que se reflete nos resultados do exame nacional de 12º ano. Nas últimas duas décadas, o ensino da Matemática beneficiou da introdução das denominadas novas tecnologias, de entre as quais se destacam a calculadora gráfica e o computador. Porém, o recurso a estas ferramentas não conduziu ao fim do insucesso escolar, que continua a ser uma realidade incontornável, da qual os órgãos de comunicação social fazem eco todos os anos. A nossa investigação está alicerçada numa fundamentação teórica cujo centro de gravidade reside em temas como o desenvolvimento e a inovação curricular, a motivação e o insucesso escolar. Definida a metodologia, desenvolvemos um estudo exploratório, de natureza qualitativa, utilizando a entrevista como principal técnica de recolha de dados. Entrevistamos seis docentes, com experiência no Ensino Secundário, e oito alunos, que se encontravam no 12º ano de escolaridade no ano letivo 2011/2012, tendo realizado exame nacional de 12º ano, à disciplina de Matemática A, no final desse ano letivo. As principais conclusões vão no sentido de que é necessário mais tempo e turmas mais pequenas para desenvolver um trabalho mais completo que privilegie a aquisição, a compreensão e a consolidação dos saberes. Por outro lado, a falta de trabalho e de prérequisitos, por parte de muitos estudantes, é também apontada como uma das causas do insucesso escolar. No final do trabalho, e a par das limitações que condicionaram este estudo exploratório, damos nota de eventuais pistas que poderão ser exploradas em futuras investigações., This work aims to investigate the causes behind school failure in Mathematics, which is reflected in the results of the national exams of the 12th grade. In the last two decades, mathematics learning has benefited from the introduction of the so-called “new technologies”, among which stand out the graphing calculator and the computer. However, the use of these tools has not led to the end of school failure, which remains high and it is regularly covered by media. Our research is based on a theoretical framework whose roots lie in areas such as curriculum development and innovation, motivation and school failure. Defined the methodology, we developed an exploratory study of qualitative nature using the interview as the main data collection technique. We interviewed six teachers with experience in secondary education and eight students who were in the 12th grade in the school year of 2011/2012 and have answered the national exam in the end of the school year. The main findings we found were the need for more time and smaller- sized classes to develop a more complete work that benefits the acquisition, understanding and consolidation of knowledge. On the other hand, the lack of work and prerequisites by many students is also considered one of the causes of school failure. In the end of this work, we also present some issues to be explored in future research on the topic.

Dissertação de mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática), Neste trabalho analisam-se os conceitos de limite e continuidade na transição do ensino secundário para o ensino universitário, com base nos programas do ensino secundário de “matemática A”, em alguns dos manuais escolares mais adotados neste nível de ensino, e ainda em alguma bibliografia adotada em cursos de análise do ensino superior. O trabalho inclui um conjunto de atividades para desenvolver em sala de aula com alunos de 12oano, com o objetivo de enriquecer a aprendizagem do conceito de limite, bem como de outros conteúdos fortemente relacionados com a noção de limite. Inclui ainda uma proposta para a abordagem em sala de aula dos conceitos de limite e continuidade, pensada com o principal objetivo de suavizar a transição do ensino secundário para o universitário., In this work we analyze the concepts of limit and continuity in the transition from the secondary to university studies. The analysis is based on the syllabus of the secondary school of “Matemática A”, on some of the most adopted textbooks, as well as on some bibliographic references adopted in the university courses of Analysis. The work includes a set of activities to be performed in the classroom with students from the 12th grade, with the aim of enriching the learning of the limit concept as well as other topics strongly related to the notion of limit. It also includes a suggestion of how to approach the concepts of limit and continuity, in the classroom, intended to smoothen the transition from the secondary studies to the university ones.

Dissertação de mestrado em Engenharia de Informática, Este trabalho, ou este estudo, ou esta experiência tenta demonstrar que existem ferramentas diferentes das já utilizadas para ajudar os alunos a compreender o funcionamento exato da disciplina de Matemática. Assim sendo, todo este projeto concentra-se na obtenção de formas diferentes de ensinar matemática aos alunos. A robótica, como instrumento de ensino e demonstração, vai permitir aos alunos terem um contacto prático com as matérias que lhes são ensinadas. Este projeto decorre numa escola básica com alunos do 5o ano. Todos estes alunos são voluntários e eram alunos com notas medianas a esta disciplina no ano anterior. Os robôs utilizados, são robôs da Lego Mindstorms NXT, com o respectivo software de programação. Os alunos tinham de os programar consoante a matéria que iam dando nas aulas. Nenhum aluno tinha tido contacto com estes robôs e muitos deles nem sequer nunca tinham mexido em computadores. Esta articulação programa-aluno-professor foi feita com a Diretora de Turma e a professora de Matemática, que iam revelando a planificação das aulas para que os alunos pudessem experimentar na prática o que tinham aprendido., This study or this work, tries to demonstrate that there are different tools from the ones used before, to help students understand the exact procedure of the Mathematics subject. So, this whole project is focused in teaching Mathematics in a different approach. Robotics, as a teaching and demonstration tool, will allow the students to experience in a useful way the topics they’ll be learning. This project involves students of the 5th grade of a Middle School. All the students were volunteers and had had a medium evaluation the previous school year. The robots used are Lego Mindstorms NXT, with the proper programming software. The students had to program them according to what they learned in class. None of the students had ever used these computers and some of them had never used a computer before. This purpose: program-student-teacher was done with the class director and the Maths teacher, who explained their planning to the students so that they could put into practise their work.

Tese de doutoramento em Ciências (área de especialização em Matemática), A premissa central na base deste trabalho assenta no princípio da conveniência – melhor, na convicção da necessidade – de se começar, desde muito cedo, isto é, desde os 5/6 anos, a estimular na mente infantil o pensamento lógico-abstrato, por via de conceitos e algoritmos matemáticos, transmitidos da mesma forma natural pela qual os juvenis de diferentes espécies animais adquirem os comportamentos e as técnicas que lhes são próprias e que são indispensáveis para a sua sobrevivência: pela observação dos adultos próximos e pela brincadeira. Porque haveria de não ser assim com a nossa espécie? Partindo da experiência positiva obtida com uma ação anterior, na qual, em ambiente lúdico e descontraído, crianças pré-escolares haviam sido submetidas às ideias e aos conceitos da matemática, estruturámos um projeto extracurricular “O Continhas”, aplicado nos “Objetos de Aprendizagem”, atividades especialmente programadas de raiz para favorecer a aquisição/apropriação de ideias matemáticas e o desenvolvimento de raciocínio abstrato. Atendendo a que a realização dos objetivos pretendidos dependeria essencialmente dos docentes diretamente envolvidos, foi-lhes proporcionado, em paralelo, uma formação específica, a fim de que pudessem aplicar os Objetos de Aprendizagem. Esta tese consta de três partes distintas, a primeira das quais estabelece os princípios orientadores da nossa proposta. Assim, o Capítulo 2 trata do papel da matemática na sociedade do conhecimento. Os estudos sobre o cérebro humano (Capítulo 3) permitem esperar que a sua exposição à matemática, desde muito cedo, possa vir a refletir-se favoravelmente em todo o seu subsequente desenvolvimento. A simbiose ensino/aprendizagem é abordada no Capítulo 4, o qual, tocando na aprendizagem infantil da matemática, conduz à consideração da formação dos docentes nessa área (Capítulo 5). A segunda parte do trabalho começa pela investigação do ambiente vivido na pré-escola e no 1º Ciclo do Ensino Básico no que respeita a matemática (Capítulos 6 e 7). A última parte ocupa-se, finalmente, do projeto extracurricular “O Continhas” (Capítulos 8, 9 e 10), dos métodos criados especialmente para a avaliação dos resultados conseguidos pelas crianças (Capítulo 11), e das conclusões atingidas e ilações retiradas até ao presente (Capítulo 12). Nos Anexos, incluem-se alguns dos “Objetos de Aprendizagem” utilizados em “O Continhas”., The major premise of this work stands on the principle of the convenience – or rather, the conviction of the necessity – of beginning from very early on, that is, from the age of 5/6 years, stimulating logical-abstract reasoning in the child’s mind by means of mathematical concepts and algorithms, imparted in the same natural mode by which the young of different animal species acquire their particular behavior and skills, indispensable for their survival: through observation of adults and through play. Why shouldn’t it be so with our own species? Following the positive experience gained from an earlier action in which – in playful and relaxed surroundings –, pre-schooling children were subjected to the ideas and concepts of mathematics, we developed an extracurricular project “O Continhas”, implemented by means of “Objetos de Aprendizagem” (Learning Objects), specially built activities programmed to achieve the intended goals of transmitting mathematical ideas and developing habits of abstract reasoning. Acknowledging that the accomplishment of the intended objectives would depend essentially upon the teachers directly involved with the project, they were subjected to specific training in order to enable them to apply the “Objetos de Aprendizagem”. This thesis consists of three distinct parts, the first of which establishes the guiding principles of our proposal. Thus, Chapter 2 deals with the role of mathematics in the society of knowledge. The studies on the human brain (Chapter 3) which grant hopes that its exposition to mathematics will reflect positively on its overall subsequent development. The teaching/learning symbiosis is treated in Chapter 4, which touching on infant apprenticeship of mathematics, leads to the consideration of teachers’ formation in that area (Chapter 5). The second part begins with the investigation of the environment existing in the pre-schooll and four first years of formal learning with respect to mathematics (Chapters 6 and 7). The last part takes up the constitution of the extracurricular project “O Continhas” (Chapters 8, 9 and 10), and of the methods purposefully created for the evaluation of the children’s results (Chapter 11), and, finally, of the conclusions attained, as well as of the inferences withdrawn up to the present (Chapter 12). In the Annexes are included some of the “Objetos de Aprendizagem” utilized in the “O Continhas”.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica na Educação Matemática), O presente estudo tem como objetivos saber a opinião dos professores acerca da realização de tarefas de investigação na sala de aula, quais os dilemas e tensões que enfrentam, como reagem e como avaliam o ensino e a aprendizagem na realização dessas tarefas. Neste sentido procura-se responder as seguintes questões: (1) O que pensam os professores sobre a realização de tarefas de investigação como parte da sua prática? (2) Quais os dilemas e tensões que os professores enfrentam durante a aplicação de tarefas de investigação e como reagem? (3) Como realizam os professores a prática de avaliação do ensino e da aprendizagem nas tarefas de investigação? O estudo insere-se num paradigma de investigação qualitativo onde se adotou uma metodologia de estudo de caso, estruturando-se em dois estudos de caso de dois professores de matemática do 2.º ciclo do ensino básico. Como método de recolha de dados optou-se por utilizar um questionário, observação direta e uma entrevista a cada um dos professores participantes. O estudo realizado sugere que os professores revelam uma visão parcial dos papéis a desempenhar durante a realização de tarefas de investigação na sala de aula. Dos dois casos, a maior experiência profissional associada ao percurso académico permitiu ao professor João saber enfrentar melhor os dilemas e tensões na realização das tarefas de investigação, contudo não desempenhou os papéis necessários em alguns momentos de realização da tarefa. O professor Pedro que manifestou ter pouca experiência nesse tipo de tarefas revelou ter dificuldades no que concerne à gestão da aula, à participação dos alunos na atividade e à construção de um ambiente favorável à investigação matemática. Os resultados deste estudo evidenciam a necessidade de aprofundar a formação dos professores na realização de tarefas de investigação na sala de aula., The present study aims to know the opinion of the teachers on conducting research tasks in the classroom, which the tensions and dilemmas they face, how they react and how to evaluate teaching and learning in the realization of these tasks. It seeks to answer the following questions: (1) What do teachers think on conducting research tasks as part of their practice? (2) What are the tensions and dilemmas that teachers face during application of research tasks and how they react? (3) How do teachers perform practical assessment of teaching and learning in research tasks? The study is part of a qualitative research paradigm where we adopted a case study methodology, structured in two case studies of two mathematics teachers of 2nd cycle of basic education. As a method of data collection was decided to use a questionnaire, direct observation and an interview with each of the participating teachers. The study suggests that teachers show a partial view of roles to play while performing research tasks in the classroom. Of the two cases, the largest professional experience combined with academic path allowed teacher João know better how to deal with dilemmas and tensions in the tasks of research, however, at times, he do not played the roles required to perform the task. Teacher Pedro, who has little experience in such tasks, revealed that he had difficulties with regard to the lesson's management, the students' participation in the activity and the construction of a favorable environment for mathematical research. The results of this study highlight the need for further training of teachers in research tasks and the need to valuing such tasks in teaching and learning.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo refere-se a uma intervenção de ensino centrada na exploração do significado das expressões como forma de promover a aprendizagem de equações literais e polinómios, numa turma do 8º ano de escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos. O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) relacionar as características das tarefas com a promoção do significado das letras e expressões; 2) averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões na exploração de Equações literais e Polinómios; 3) identificar e descrever os erros e as dificuldades dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas. Pretendendo com este estudo motivar os alunos para as aprendizagens em Álgebra, promover aprendizagens mais significativas e contribuir para a melhoria das suas aprendizagens, procurou-se centrar o ensino dos tópicos lecionados em tarefas de diversos tipos e com diferentes contextos. Para além desta metodologia de ensino e aprendizagem, adotou-se o trabalho dos alunos em grupo e deu-se especial atenção às discussões ocorridas no grupoturma. No que diz respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à observação e análise das gravações das aulas, à análise das resoluções das tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção, bem como da ficha de avaliação por partes de equações literais e da ficha de avaliação realizada no final da intervenção. No que diz respeito aos resultados obtidos, verificou-se que as tarefas exploradas em contextos reais proporcionaram uma maior facilidade aos alunos para a atribuição dos significados às letras e expressões. No que se refere às classificações das letras atribuídas por Küchemann (1981), verificou-se que a maioria dos alunos teve menos dificuldade em operar com as letras como objetos e mais dificuldade em operar com as letras quando são interpretadas como incógnitas específicas. Por fim, analisados os erros evidenciados pelos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas, verificou-se que o erro de inversão foi o que ocorreu mais vezes e o erro adição incorreta de termos semelhantes foi o que menos se evidenciou., This study refers to a teaching intervention focused on the exploration of the meaning of expressions as a way to promote the learning of literal equations and polynomials, in an eighth grade class of a school belonging to the County of Barcelos. The study developed around three objectives: 1) relate the characteristics of tasks with the promotion of the meaning of letters and expressions; 2) explore the meanings attributed to the letters and expressions given by the students in the exploration of Literal equations and Polynomials; 3) identify and describe the errors and difficulties of students in the resolution process of the tasks proposed. With the intention, in this study, to motivate students to learning abilities in Algebra, to promote more significant learning abilities and to contribute to the improvement of their learning abilities, it was sought to center the instruction of lected topics into a variety of tasks with different contexts. Beyond this methodology of teaching and learning, students’ group work was adopted and special attention was given to the discussions that occurred in the group-class. Regarding the investigation strategies and action evaluation, the observation and analysis of class recordings, the analysis of the resolution of the tasks performed by the students during the intervention, as well as the test of literary equations and the test performed at the end of the intervention were used. Regarding the results obtained, it was verified that the tasks explored in real contexts provided greater ease to students in the attribution of meanings to letters and expressions. As for the classifications of letters attributed by Küchemann (1981), it was verified that the majority of students had less difficulty in operating with letters as objects and more difficulty in operating with letters when interpreted as variables. Lastly, after analyzing the errors evidenced by students in the resolution process of the proposed tasks, it was verified that the error of inversion was the one that occurred the most and the error of incorrect adding of similar terms was the one that least occurred.

Relatório de estágio de mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico, A presente investigação pedagógica integra-se na Unidade Curricular de Prática de Ensino Supervisionada do Mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º Ciclo. No âmbito desta investigação, pretende-se perceber se a utilização dos jogos funciona como um elemento gerador de motivação para as aulas de Matemática e se a mesma se torna num fator de promoção da melhoria da aprendizagem dos alunos nesta área curricular. É hoje consensual que o jogo é importante para a aprendizagem e desenvolvimento da criança, tornando-se assim evidente a importância da sua utilização no ensino. Neste sentido, o presente estudo apresenta a importância do uso do jogo no ensino e na aprendizagem da Matemática, fazendo referência ao papel do professor, uma vez que é ele que orienta os jogos na sala de aula com vista à concretização dos objetivos a que se propôs atingir. Apresentam-se, de igual forma, a metodologia de investigação na qual se enquadra este estudo e a análise e interpretação dos dados recolhidos a partir da observação, dos registos efetuados pelos alunos durante a realização dos jogos e dos questionários realizados aos alunos. Assim, a avaliação incide sobretudo ao nível do impacto dos jogos propostos na motivação e na aprendizagem dos alunos. Os resultados revelam que as intervenções promovidas no âmbito deste projeto desenvolveram-se numa atmosfera de entusiamo e que os alunos mostraram-se interessados e empenhados, destacando-se uma atitude de cooperação entre os alunos. É possível concluir que a utilização de jogos na sala de aula contribuiu para uma melhoria das aprendizagens dos alunos, resultante da interação e do confronto de ideias entre os alunos e destes com a professora., The present pedagogic investigation is a part of the Curricular Unit of “Supervised Teaching Practice” of the Master degree in “Pre-school and Primary Education”. Under this investigation, the aim was to understand if the usage of games works as a motivation enhancer for Mathematics classes, and if it becomes a factor in promoting the improvement of students learning in this curricular subject. Nowadays, it is consensual that the game is important in the learning and development of the child, becoming obvious the relevance of its usage in teaching. In this sense, this study presents the importance of its application in Mathematics’ teaching and learning, regarding the teacher’s role, since he is the person who guides the games in the classroom in order to achieve the goals previously established. It's also presented the research methodology in which this study fits, and the analysis and interpretation of the data collected from the observation, from the records made by the students during the games execution and from the surveys carried out with the students. Therefore, the evaluation focuses mostly at the impact of the proposed games on the motivation and learning of the students. The results reveal that the interventions promoted under this project were developed in an enthusiastic atmosphere and that the students showed interest and commitment, surfacing an attitude of co-operation among the students. It is possible to conclude that the utilization of games in the classroom contributed to an improvement in the students’ learning, as a result of the interaction and exchange of ideas among students and between them and the teacher.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Supervisão Pedagógica na Educação Matemática), Com este estudo pretende-se averiguar as referências que os programas de Matemática do Brasil e de Portugal fazem sobre a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), e a utilização destes recursos por alunos brasileiros do ensino médio e alunos portugueses do ensino secundário, de uma cidade de cada um dos países, nas suas atividades de estudo na disciplina de Matemática. Com esta finalidade, procura-se responder às seguintes questões de investigação: Quais são as orientações curriculares dos programas de Matemática brasileiros e portugueses do ensino médio/secundário sobre a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação?; Que Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) são usadas pelos alunos brasileiros e portugueses do ensino médio/secundário nas suas atividades de aprendizagem de Matemática?; Quais as vantagens e limitações que os alunos brasileiros e portugueses atribuem à utilização das TIC na aprendizagem da Matemática? O desempenho dos alunos brasileiros e portugueses à disciplina de Matemática repercute-se nas suas perspetivas sobre a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação na aprendizagem da Matemática? Atendendo à natureza da investigação, optou-se por uma metodologia qualitativa — na análise das orientações dos programas do ensino médio (Brasil) e do ensino secundário (Portugal) relativamente à utilização das TIC no processo de ensino-aprendizagem — e quantitativa — na análise das respostas que os alunos brasileiros e portugueses deram a um questionário. Conclui-se que os programas de Matemática do ensino médio e do ensino secundário recomendam a utilização de vários recursos tecnológicos, com especial referência a calculadora, o computador e a Internet. Entre estes recursos, o mais utilizado pelos alunos brasileiros e portugueses nas suas atividades de estudo de Matemática é a calculadora gráfica. Os alunos brasileiros destacam o telemóvel, provavelmente ligado aos processos de cálculo entre números. O computador, a Internet, o Quadro Interativo e a Plataforma Moodle ainda são pouco explorados pelos alunos de ambos os países nas suas atividades de aprendizagem, quer no contexto de sala de aula quer no contexto extra sala de aula. Entre as vantagens da utilização das TIC, os alunos destacam a exploração e a compreensão dos conceitos. Como desvantagens apontam fatores de distração e de esquecimento das técnicas de cálculo. Entre os alunos brasileiros, não se verificaram grandes diferenças entre o nível de desempenho e as suas perspetivas sobre a utilização das TIC na sua aprendizagem. Já entre os alunos portugueses, os de desempenho médio destacam as TIC tanto como fator de promoção da aprendizagem como de inibição do desenvolvimento da capacidade de raciocínio., The aim of this study is to access which references there are in the school mathematics curriculums in Brazil and Portugal about the use of the Information and Communication Technologies (ICT) and the use of these resources by Brazilian students from middle school and Portuguese students from secondary school from one city of each of those countries in their study activities at mathematics. Thus we hope to get answers to the following research questions: Which is the school orientation about the use of the Information and Communication Technologies of the Brazilian and Portuguese mathematics curriculums in middle school/secondary school?; Which are the advantages and limitations felt by the Brazilian and Portuguese students concerning to the use of “ICT” in the process of learning mathematics?; Does the performance at mathematics of Brazilian and Portuguese students have any influence on their perspectives about the use of Information and Communication Technologies as far as mathematics learning is concerned?; Taking the nature of this kind of research into account, a qualitative method was taken– in the analysis of the orientation of the Brazilian middle school and the Portuguese secondary school concerning to the use of “ICT” in the process of learning and teaching – and a quantitative approach in the analysis of the given answers to a questionnaire by Brazilian and Portuguese students. The conclusion is that the mathematics curriculums in middle school and secondary school recommend the use of different kinds of technological resources particularly the calculator, the computer and the Internet. Among these the graphic calculator is the most used resource by the Brazilian and Portuguese students at learning mathematics. The Brazilian students give special emphasis to the use of the mobile phone, probably connecting it to the figure calculation process. The computer, the calculator, the Internet, the Interactive Whiteboard and the Moodle aren’t very explored by the students from both countries in their learning process either inside or outside the classroom yet. Conceptual exploration and comprehension are considered by the students as advantages of using the “ICT”. Distraction (absent mindedness) and forgetting calculation technics are considered the most important disadvantages. As far as the Brazilian students are concerned no big differences were found between their performance and their perspectives towards the use of “ICT” in their learning. The average Portuguese students consider the “ICT”, both as a way of developing learning and of decreasing the reasoning ability.

Dissertação de mestrado em Ciências da Educação (área de especialização em Desenvolvimento Curricular), O trabalho de casa é definido por Cooper (2001) como um conjunto de tarefas prescritas aos alunos, pelos professores, realizadas fora do horário escolar. A realização das tarefas propostas para casa é condicionada por diversas variantes intrínsecas ou extrínsecas ao próprio indivíduo. Os ambientes de aprendizagem criados em casa, que realçam o trabalho realizado na escola, transmitem a mensagem de uma valorização do papel da escola no desenvolvimento integral dos alunos. A avaliação é uma componente do processo de ensino-aprendizagem que, assente numa vertente formativa, proporcionará aos alunos meios essenciais para um questionamento que traduza a procura de novos conhecimentos, realçando a sua capacidade de reflexão e de autonomia. Esta investigação teve como principal finalidade conhecer, na opinião dos encarregados de educação, qual(quais) o(s) contributo(s) dos trabalhos de casa, na disciplina de matemática, no 3º ciclo do ensino básico. Para o efeito, formulamos os seguintes objetivos: (1) Caraterizar a importância dada, pelos encarregados de educação, aos trabalhos de casa na disciplina de Matemática; (2) Perceber de que modo a família se organiza para que os alunos possam dar resposta à realização dos trabalhos de casa; (3) Analisar a relação que se estabelece entre os trabalhos de casa e o (in)sucesso escolar na disciplina de Matemática. A investigação realizada foi de natureza quantitativa. Participaram 677 encarregados de educação de dois Agrupamentos de Escolas do concelho de Braga. A recolha de dados foi realizada através da entrega aos participantes de um questionário, contemplando as seguintes dimensões: importância do trabalho de casa; importância do trabalho de casa na disciplina de Matemática, influência do trabalho de casa na organização da família; atitude do educando face ao trabalho de casa e, por último, relação do trabalho de casa com o (in)sucesso escolar. Os resultados obtidos no estudo indicam que a maioria dos encarregados de educação atribui muita importância aos trabalhos de casa. Em sua opinião, os trabalhos de casa ajudam os alunos a adquirir hábitos de trabalho, são um incentivo ao estudo e permitem um aprofundamento dos conteúdos. No entanto, não consideram que estes sejam mais importantes na disciplina de Matemática do que noutras disciplinas escolares. Para além destes aspetos, os resultados evidenciam que os trabalhos de casa são considerados um modo dar a conhecer à família o que o aluno aprende na escola, não condicionando os hábitos desta nem alterando as suas rotinas diárias. Ajudam na aplicação dos conhecimentos a novas situações e no desenvolvimento de competências de realização de problemas. O sucesso escolar dos alunos não depende da quantidade do trabalho de casa, indiciando a importância que os encarregados de educação atribuem à sua qualidade., Homework is defined by Cooper (2001) as a set of tasks assigned to students, by teachers, carried out during non-school hours. The execution of the proposed home tasks is conditioned by several variants, intrinsic or extrinsic to oneself. Learning environments created at home, which highlight the work done at school, convey the message of an increased value of the school role in the full development of students. Assessment is a component of the teaching/learning process that based on a formative dimension will provide pupils with the essential means to questions that reflect the search for knowledge, enhancing their capacity for reflection and autonomy. This research aims to know, according to parents, the homework contribution in Mathematics, 3rd cycle of basic education. For this purpose we formulated the following objectives: (1) To characterize the importance of homework, in Maths, according to parents’ opinions; (2) To understand how family is organized so that the students can give the right response to the homework; (3) To analyse the relationship established between homework and school success in Maths. The research was a quantitative analysis. A number of 677 parents, of two different schools, in Braga, participated in this research. Data collection was performed by delivering the participants a questionnaire addressing the following dimensions: The importance of homework; the importance of homework in Mathematics, the influence of homework in what concerns the family organization; the attitude of the student towards the homework and, finally, the relationship between homework and school success. The results of this study show that most parents give homework a great importance. In their opinion, homework helps students to achieve working habits, they are a stimulus to study and they allow a better consolidation of the contents. However, they do not consider these to be more important than in other school subjects. Besides these aspects, the results show that homework can be a way of informing parents about what students learn at school, not restricting family habits or changing daily routines. Homework helps students using their background knowledge to new situations and in developing skills in order to solve problems. The students’ school success does not depend on the amount of homework, but on the quality.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo teve como principal objetivo descrever e compreender o ensino da estatística no 10.º ano de escolaridade através dos media e suas implicações para o ensino e para a aprendizagem. Neste sentido, estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Que atividades desenvolvem os alunos na aprendizagem de estatística de 10.º ano no tratamento de informação proveniente dos media? (2) Que dificuldades manifestam os alunos de 10.º ano na aprendizagem de estatística? (3) Que constrangimentos emergem no ensino e na aprendizagem de estatística através dos media? Para dar resposta a estas questões, recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: planos de aulas, registos das observações das aulas em que foi lecionada a unidade curricular de estatística, um questionário, entrevistas semiestruturadas a quatro alunos, um teste diagnóstico antes da lecionação da unidade de estatística, um trabalho realizado pelos alunos no final do estudo da estatística, onde aplicaram os conhecimentos adquiridos em torno de uma notícia retirada de um media à sua escolha. O estudo realizado permitiu concluir que os alunos apresentaram algumas dificuldades e erros na interpretação e na construção de gráficos associados a notícias, designadamente no que diz respeito às escolhas adequadas para poderem explorar os conceitos estatísticos lecionados. Os media são sem dúvida um recurso que é atrativo e motivador mas nem sempre se torna oportuno a sua integração no estudo de tópicos estatísticos, que se tornam mais difíceis se forem explorados a partir de uma dada notícia. Os resultados obtidos neste estudo evidenciam a necessidade de aprofundar a formação dos alunos no aspeto considerado fundamental para o seu futuro, o de conseguirem aplicar conhecimentos de estatística no seu dia-a-dia. Para isso devemos criar condições em anos anteriores que lhes permita desenvolverem essas capacidades deixando de lado o ensino de estatística baseado em fórmulas e criar condições para o ensino deste tema de acordo com a importância que lhe é reconhecida., The main aim of this study was to describe and understand the teaching of statistics in 10Th grade through the media and its implications for teaching and learning. Therefore, the following research questions were set: (1) What activities develop students in learning statistics 10Th grade in the treatment of information from the media? (2) What difficulties affect students 10Th grade in learning statistics? (3) What constraints emerge in teaching and learning of statistics through the media? To answer these questions, we used different methods of data collection: lesson plans, records and observations of the lessons in which the course of statistics was taught, a questionnaire, semi-structured interviews to four students, a diagnostic test before teaching the statistical unit, a work done by students at the end of the study of statistics, where they have to put statistical knowledge acquired, around a withdrawal news in a media of your choice. The study concluded that students had some difficulties and mistakes in the interpretation and construction of graphs associated with news, particularly with regard to the appropriate choices, in order to explore the statistical concepts taught. The media are certainly a feature that is attractive and motivating but it isn’t always desirable to integrate in the study of statistics, which become more difficult if they are operated from a given news. The results of this study indicate the need for further training of students in the aspect considered essential for their future, they should be able to apply knowledge of statistics in their day-to-day. To do this we must create conditions in previous years to enable them develop these skills, leaving aside the teaching of statistics based on formulas and create conditions for the teaching of this theme in accordance with the importance it is recognized.

Dissertação de mestrado em Estudos da Criança (área de especialização em Ensino e Aprendizagem da Matemática), Este estudo procura compreender as estratégias de generalização utilizadas pelos alunos e as dificuldades que ocorrem aquando da resolução de problemas com padrões exclusivamente numéricos, bem como se existe alguma melhoria no seu desempenho. Nesse sentido, procurouse responder às seguintes questões: (1) Que estratégias de generalização é possível identificar, na resolução de problemas com padrões exclusivamente numéricos, no trabalho escrito realizado pelos alunos? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na resolução de problemas ao longo das tarefas? (3) Existe alguma melhoria no desempenho dos alunos após o trabalho com tarefas de resolução de problemas com padrões exclusivamente numéricos? Tendo em conta os objetivos enunciados e a sua natureza, nesta investigação adotou-se uma metodologia quantitativa, sendo que também se considerou pertinente fazer uma abordagem qualitativa. A proposta pedagógica foi concretizada no ano letivo de 2011/12, tendo a recolha de dados ocorrido entre os meses de janeiro e fevereiro numa turma de 6.º ano. Esta recolha teve como principais instrumentos um teste de avaliação de competências, gravações em áudio e os documentos produzidos pelos alunos no âmbito das tarefas propostas. Os resultados mostram que os alunos evoluíram positivamente em alguns aspetos nomeadamente na capacidade de generalizar e na colaboração do trabalho em grupo. Na resolução de problemas, privilegiam as estratégias da diferença e a recursiva. Manifestam alguma dificuldade em usar a linguagem matemática para expressar as suas generalizações. A resolução de problemas com padrões numéricos contribuiu para aplicar processos matemáticos aprendidos anteriormente e fomentou o seu desenvolvimento na medida em que os desafiou a analisar, considerar, abstrair, conjeturar e refutar as suas próprias conceções bem como as dos seus colegas de grupo., This study seeks to understand the strategies of generalization used by students and the difficulties that occur when solving problems with numerical patterns exclusively, and if there is any improvement in performance. Accordingly, it try to answer the following questions: (1) What generalization strategies can be identified, in problem solving with numerical patterns, on the written work done by students? (2) What difficulties are visible in students solving problems along the tasks? (3) Is there any improvement in students‟ performance after working with problemsolving tasks with only numeric patterns? Given the stated goals and its nature, this research adopted a quantitative methodology, and also found relevant to make a qualitative approach. The pedagogical proposal was implemented in academic year 2011/12, with data collection occurring between January and March in a 6th grade class. This collection had as main instruments a test of skills assessment, audio recordings and documents produced by students in the class as part of the proposed tasks. The results show that students developed positively in some aspects especially in the ability to generalize and collaborative group work. In problem solving, main strategies were the difference and recursive. When expressing their generalizations, students experienced some difficulties in the use of mathematical language. Problem solving with numerical patterns contributed to apply mathematical processes previously learned and fostered the development in the extent that challenged them to examine, consider, abstracting, conjecturing and refuting their own conceptions as well as their peers.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo aborda uma intervenção de ensino em resolução de problemas numa turma de matemática B do 11 º ano constituída por 17 alunos, pertencente a uma escola do conselho de Braga. Tendo por base o modelo Polya, a intervenção incidiu nos problemas de crescimento populacional veiculados nos modelos contínuos não lineares. Como metodologias de ensino-aprendizagem, utilizei as tecnologias, computador e máquina gráfica e selecionei tarefas de contextos variados de modo a proporcionar um ambiente de ensino-aprendizagem, construtivo, interativo e significativo. Este estudo desenvolveu-se em torno de três questões: 1) Como é que os alunos resolvem os problemas e que dificuldades enfrentam? 2) Como estruturam a comunicação escrita ao longo da experiência? Elaboram justificações e/ou explicações matemáticas? 3) Verifica-se uma aprendizagem contínua na resolução de problemas? Para a concretização destes objetivos, recorri para estratégias de investigação/avaliação da ação, algumas produções escritas dos alunos, tais como: teste diagnóstico, trabalho de grupo, questão - aula, testes escritos, problemas e um questionário final. No que respeita aos resultados verificou-se uma melhoria significativa na resolução de problemas. Tanto a nível gráfico como analítico, os alunos estruturam melhor as respostas. Nas resoluções gráficas indicam, por escrito, a sequência de comandos utilizados na resolução e os alunos que resolvem analiticamente apresentam corretamente os passos, justificando as respostas no contexto do problema. Do meu ponto de vista, isto deveu-se, além da aplicação do modelo Polya, a uma particular insistência na interpretação e retrospeção dos problemas, tendo permitido aos alunos superar algumas dificuldades., This study approaches a teaching intervention in resolution of problems in a math B class of 11th grade formed by 17 students, which belongs to a school in Braga. According to the Polya Model, the intervention focused on the population growth problems conveyed in nonlinear continuous models. As teaching/learning methodologies, I used the technologies, computer and graphic calculator, and I selected tasks of multiple contexts to provide an environment of teaching-learning, constructive, interactive and significant. This study was done around three objectives: 1) How do students solve problems and what difficulties they front? 2) How do they structure the written communication throughout the experience? Do they make mathematical justifications and/or explanations? 3) There is a continuous learning in problem solving? To achieve these goals, I resort to strategies of research/evaluation of the action, some students’ written productions, such as: diagnostic test, group work, class issue, written tests, problems and a final questionnaire. Regarding the results, there was a significant improvement in solving problems. Both graphical and analytical, the students structured better the answers. In graphic resolutions, they indicate, in writing, the sequence of commands used in the resolution and the students who solved analytically show the steps correctly. In both situations, they justify correctly the answers in the context of the problem. From my point of view, this due to, in addition to the application of Polya model, a particular insistence in the interpretation and retrospection of the problems, allowing students to overcome several difficulties.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo visa analisar o contributo da Web nas atividades de aprendizagem de Matemática de alunos de duas turmas do 10.º ano, tendo como finalidades melhorar a visão que os alunos têm da Matemática, promover aprendizagens mais significativas; proporcionar experiências de aprendizagem mais atrativas e motivadoras; e promover o desenvolvimento de competências que permitam aos alunos aprender ao longo da vida. Trata-se de uma investigação de natureza qualitativa que procura responder às seguintes questões: (1) Como usar os recursos e ferramentas disponíveis online para envolver o aluno na construção do seu conhecimento matemático? (2) Qual a aceitação, por parte dos alunos, das estratégias de ensinoaprendizagem que envolvem a Web e qual o seu impacto? (3) Que competências poderão desenvolver os alunos do 10.º ano na utilização da Web nas suas atividades de aprendizagem na disciplina de Matemática? (4) Que dificuldades e exigências se colocam ao professor de Matemática para implementar estratégias baseadas na Web? Para dar resposta a estas questões, recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: questionários; observação participante; análise documental e entrevistas. Como estratégias de ensino-aprendizagem, realizou-se uma WebQuest para a consolidação e aplicação de conhecimentos de geometria analítica, recorreu-se à exploração de applets para o estudo da função quadrática e a um trabalho de pesquisa na Web para a aprendizagem autónoma, pelos alunos, de vários tópicos do tema Funções. Todos estes recursos e tarefas estiveram acessíveis aos alunos através de um site, proporcionando-lhes a oportunidade de acederem novamente aos recursos utilizados nas aulas para os explorarem ao seu ritmo. O esclarecimento online de dúvidas, via Facebook ou email, alargou, igualmente, a possibilidade de os alunos receberem apoio personalizado. Estas estratégias receberam uma boa aceitação por parte dos alunos e tiveram um impacto positivo nas suas aprendizagens, constituindo oportunidades para o desenvolvimento de competências que lhes permitem aprender ao longo da vida. Para implementar estas estratégias baseadas na Web, o professor depara-se, frequentemente, com problemas técnico-logísticos e exige-se-lhe formação sobre tecnologia e a sua integração pedagógica na sala de aula., This study analyzes the contribution of the Web in the math learning activities of students from two 10th grade classes, with the aims to improve the vision that students have of mathematics, to promote more meaningful learning, to provide more attractive and motivating learning experiences and to promote the development of skills that enable students to learn throughout life. This is a qualitative investigation that seeks to answer the following questions: (1) How to use the resources and tools available online to engage students in building their mathematical knowledge? (2) What is the acceptance, by the students, of the teaching-learning strategies involving the Web and what is their impact? (3) What skills could the 10th grade students develop using the Web in their learning activities in Mathematics? (4) What difficulties and demands does the mathematics teacher face to implement Web-based strategies? To answer these questions, we used different methods of data collection: questionnaires, participant observation, document analysis and interviews. As teaching and learning strategies, there was a WebQuest for consolidation and application of knowledge about analytic geometry, exploitation of applets for the study of quadratic function and a Web search task for independent learning, by students, of various topics from theme functions. All these resources and tasks were accessible to students through a website, providing them the opportunity to access the resources used in class to explore them at their own rate. The online clarification of doubts, by Facebook or email, extended also the possibility for students to receive personalized support. These strategies were very well received by students and had a positive impact on their learning, providing opportunities to develop skills that enable them to learn throughout life. To implement these Web-based strategies, a teacher often faces technical and logistical problems and it is required training on educational technology and its integration in the classroom.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, O presente relatório teve como principal propósito o estudo da utilização de materiais manipuláveis e da tecnologia no ensino e aprendizagem da fatorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau. Para tal, este estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Descrever a forma como foram usados os materiais manipuláveis e a tecnologia na realização das tarefas propostas; 2) Reconhecer vantagens e desvantagens do uso de materiais manipuláveis e tecnologia na factorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau; 3) Avaliar as perceções dos alunos sobre o uso de materiais manipuláveis e tecnologia na factorização de polinómios e resolução de equações do 2º grau. A intervenção de ensino realizou-se numa turma do 8º ano de escolaridade, constituída por 20 alunos, pertencente a uma escola do concelho de Barcelos. Com o objetivo de motivar os alunos na aprendizagem e tornar essa aprendizagem mais significativa nos tópicos abordados, foram adotadas várias metodologias de ensino e aprendizagem. Essas metodologias centraram-se na realização de tarefas significativas para os alunos, na aplicação de recursos didáticos, especificamente o material manipulável Algebra Tiles e o software GeoGebra, e na valorização do trabalho de grupo e das discussões no grupo-turma. Além disso, como estratégias de investigação e avaliação da ação foram utilizadas as tarefas realizadas pelos alunos, as gravações das aulas da intervenção de ensino, uma ficha de avaliação por partes e uma entrevista. Em termos de resultados, verificou-se que a forma como o Algebra Tiles e o GeoGebra foram utilizados facilitou aos alunos a aprendizagem da resolução de equações do 2º grau. Constatou-se, também, um maior número de vantagens do uso destes recursos didáticos do que de desvantagens. Relativamente às perceções dos alunos, verificou-se que a utilização do Algebra Tiles e do GeoGebra motivou a aprendizagem dos alunos e o empenho na realização das tarefas propostas. Além disso, o trabalho de grupo e as discussões no grupo-turma revelaram-se aspetos importantes para a aprendizagem dos alunos e verificou-se, também, que dos recursos didáticos utlizados o Algebra Tiles foi o preferido pelos alunos., The main purpose of the following report was the study of the utilization of manipulative materials and technology in the teaching and learning of polynomial factorization and resolution of second degree equations. In order to achieve this purpose, this study was developed around three objectives: 1) Describe the way how manipulative materials and technology were utilized in the resolution of proposed tasks; 2) Recognize advantages and disadvantages of the use of manipulative materials and technology in polynomial factorization and resolution of second degree equations; 3) Evaluate students’ perceptions about the use of manipulative materials and technology in polynomial factorization and resolution of second degree equations. The teaching intervention took place in an eighth grade class, which consisted of 20 students and pertained to a school belonging to the County of Barcelos. With the purpose of motivating the students into learning and rendering the learning experience more significant in the addressed topics, various teaching and learning methodologies were adopted. These methodologies focus on the realization of significant tasks for the students, on the application of didactic resources, more specifically the manipulative material known as Algebra Tiles and GeoGebra software, and on the valorization of group work and group-class discussions. Moreover, tasks performed by the students, the recorded class teaching intervention, a test by parts and an interview were utilized as investigational strategies and action evaluation. In regards to results, it was verified that the way Algebra Tiles and GeoGebra were used facilitated the learning of resolution of second degree equations. Also, a larger number of advantages than disadvantages were found regarding the utilization of these didactic resources. Relatively to the students’ perceptions, it was found that the use of Algebra Tiles and GeoGebra motivated the students’ ability to learn and effort in performing the proposed tasks. Moreover, the group work and group-class discussions revealed themselves as important aspects for student learning and, of the didactic resources used, Algebra Tiles was the preferred between the students.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo teve como objetivo promover o desenvolvimento da argumentação matemática de alunos do 10.ºano, analisando o contributo da calculadora gráfica na promoção de aspetos desta capacidade. Trata-se de uma investigação de natureza qualitativa que procura responder às seguintes questões: (1) Que aspetos da argumentação matemática desenvolvem os alunos na aprendizagem das funções afim e quadrática? Qual o contributo da calculadora no desenvolvimento da capacidade de argumentação dos alunos? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na argumentação das suas atividades na aprendizagem dos temas funções afim e quadrática? (3) Quais os dilemas com que me deparei na promoção da argumentação matemática dos alunos na planificação e na concretização da minha prática pedagógica? Atendendo à natureza do objetivo e das questões de investigação, procurou-se perceber o entendimento que diferentes autores têm sobre a argumentação na aula de matemática e de que forma a utilização da calculadora gráfica favorece a promoção da argumentação dos alunos sobre os seus raciocínios. Na recolha de dados recorreu-se a diferentes métodos na procura de informação que ajudasse a compreender o significado que os alunos atribuem às atividades que desenvolveram, tais como: questionários; observação de aulas, através da gravação em vídeo; entrevista e análise documental. Os alunos, numa fase inicial, tendiam a apresentar conjeturas, ainda que de uma forma tímida, sem as justificar. Durante a intervenção pedagógica, grande parte dos alunos começaram, pela sua própria iniciativa, a justificar as suas conjeturas e a refutar as apresentadas pelos seus colegas. A prova foi uma dimensão da argumentação que foi menos desenvolvida, devido ao grau de complexidade desta atividade e à falta de perceção dos alunos da importância da prova na validação do que se diz e faz, o que dificultou a minha gestão das atividades da sala de aula. A calculadora gráfica mediou a atividade dos alunos a estabelecer conjeturas na concetualização de tópicos das funções afim e quadrática, a justificar resultados e a generalizá-los., This study aim is to promote the argumentation development of the tenth grade math’s students, analyzing the contribution of the graphing calculator in promoting aspects of this ability. This is a qualitative research that seeks to answer the following questions: (1) What aspects of mathematical argumentation students develop in learning affine and quadratic functions? What is the contribution of the calculator in the development of students' ability to reason? (2) Which difficulties students manifest in argumentation of their activities in learning affine and quadratic themes? (3) What are the dilemmas that I encountered in promoting students' mathematical reasoning in the planning and realization of my teaching practice? In collecting information I resorted different qualitative methods in search of understand the meaning that students give to activities they developed, such as observation, document analysis, interviews and questionnaires. To evidence this information I present some argues that I search to promote in my pedagogical intervention, either within each group, or the class group and some transcripts of the portfolio that each group prepared. The students, in an initial phase, tend to present conjectures, by a shy way but they don´t dare to justify. During this intervention, this fact was slowly disappearing giving place to a positive interaction, as the students beside justifying their conjectures, rejected the colleagues opinion. On the other hand, the evidence was a dimension (that stayed short of expectations), maybe because students are not used to practices that should be important. The graphing calculator, in the beginning had some students resilience but after a while it disappeared and gave place to a higher dynamism in the classroom.

Relatório de estágio de mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, Este estudo trata-se de uma intervenção de ensino de Estatística com a calculadora gráfica e a folha de cálculo, em que foram abordados os tópicos: diagrama de dispersão, reta de regressão linear, coeficiente de correlação e tabelas de contingência numa turma do 10.º ano de escolaridade de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, constituída por 11 alunos, pertencente a uma escola do conselho de Braga. O estudo teve como finalidades: motivar os alunos para as aprendizagens e promover as aprendizagens mais significativas em Estatística. Para tal, utilizaram-se como metodologias uma metodologia de ensino centrada no aluno com o recurso à tecnologia, nomeadamente à calculadora gráfica e à folha de cálculo e como estratégias de investigação/avaliação da ação um mini teste diagnóstico, um questionário, as produções dos alunos e uma tarefa na prova de avaliação escrita. Este estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Reconhecer as vantagens e as desvantagens da utilização da calculadora gráfica e da folha de cálculo nas aprendizagens da Estatística; 2) Identificar as dificuldades que os alunos encontram quando trabalham em estatística; 3) Averiguar as percepções dos alunos acerca da utilização da calculadora gráfica e da folha de cálculo nas suas aprendizagens da Estatística. Em termos dos resultados obtidos, constatou-se um maior número de vantagens da utilização da calculadora gráfica da folha de cálculo do que desvantagens. Também se verificou que a exploração com a folha de cálculo gera mais vantagens do que a exploração com a calculadora gráfica. Relativamente às dificuldades encontradas no trabalho com a Estatística, apurou-se que a utilização da tecnologia conduziu a uma redução dessas dificuldades. Quanto às percepções dos alunos, constatou-se que eles atribuem muita importância à calculadora gráfica e que a folha de cálculo um recurso tecnológico motivador para as suas aprendizagens da Estatística., This study infers over an intervention over the learning of Statistics with graphing calculators and calculus sheets, in which the following topics were approached: dispersion diagrams, linear regression, correlation coefficient and contingency table within a 10th grade class of Applied Mathematics to Social Sciences, organized by eleven students, in a Braga located school. This study had as a purpose to: motivate the students towards the subjects study and also to promote Statistics most significant learning’s. For this, it was used as methodology a teaching approach centered in the students resource to technology, namely graphing calculators and calculus sheets and as strategy of investigation/evaluation the endeavor of a diagnostics test, a questionnaire, various works produced by students and also a task which consisted of written evaluation, since the analysis was conducted according to students productions. This study was developed around three objectives: 1) Recognize the advantages and the disadvantages of the use of the graphing calculator and calculus sheets in the learning of Statistics; 2) Identify the difficulties students face when working with Statistics; 3) Analyze student perceptions over the use of graphing calculators and calculus sheets in their learning of Statistics. In terms of results acquired, it was verified a higher number of advantages, than disadvantages, over the use of graphing calculators of calculus sheets. Also, it was shown a greater difference in calculus sheets, but student’s choices fell in excess towards graphing calculators, since it is the resource they were most accustomed to work with. In relation to the difficulties gathered in working with Statistics, it was gathered that the utilization of technology resulted in a decrease towards those same difficulties. As for student’s perceptions, again it is verifiable that they give great importance to the graphing calculator and that the calculus sheet is, to them, a motivating technological resource towards their learning of Statistics.