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The main objective of this thesis is to determine periodic solutions and possible bifurcations in a family of dynamical systems with hysteresis. In par- ticular, we analyze a concrete family of slow-fast piecewise linear systems in three dimensions, which after introducing a hysteretic function, is embedded in two dimensions. In Chapter 1, we introduce the tridimensional piecewise linear systems to be studied. Then, we reduce their dimension thanks to a relaxation hy- pothesis. Moreover, we show a normalized canonical form which allows us to decrease the number of parameters. In Chapter 2, we analyze the case where the hysteretic system has no isolated equilibria, that is, when one of the eigenvalues of the planar system is zero. We detect some relevant bifurcations as a saddle-node bifurcation of periodic orbits and a bifurcation from in nity. In Chapters 3 and 4, we study the non-zero real eigenvalues cases, giving rise to equilibria of node, saddle or improper node type. Bifurcations as saddle-node of periodic orbits, homoclinic and heteroclinic bifurcations are analytically described. We detect also, some regions on the parameter plane where the existence of four periodic orbits is possible. In Chapter 5 we focus on the complex eigenvalues case, that is, when the equilibria are centre or focus type. For the centre case, the dynamics is completely determined and we can detect similar bifurcations as the obtained in previous chapters. The focus case is tackled in a diferent way. In this last case, our aim will be to obtain conditions for which the parameters lead to an instantaneous transition to chaotic behaviour. Finally, after a conclusions chapter, we include some non-generic cases in appendices A and B.

El objetivo de esta tesis doctoral es desarrollar nuevos métodos para la clasificación y regresión supervisada en el Análisis de Datos Funcionales. En particular, las herramientas de Optimización Matemática analizadas en esta tesis explotan la naturaleza funcional de los datos, dando lugar a nuevas técnicas que pueden mejorar los métodos clásicos y que conectan las matemáticas con las aplicaciones. El Capítulo 1 presenta las ideas generales, los retos y la notación usada a lo largo de la tesis. El Capítulo 2 trata el problema de seleccionar el conjunto finito de instantes de tiempo que mejor clasifica datos funcionales multivariados en dos clases predefinidas. El uso, no sólo de la información proporcionada por la propia función, sino también por sus derivadas será decisivo para mejorar la predicción, como se pondrá de manifiesto posteriormente. Para ello se formula un problema de optimización binivel continuo. Dicho problema combina la aplicación de la conocida técnica SVM (Support Vector Machine) con la maximización de la correlación entre la etiqueta de la clase y la denominada función score, vinculada a dicha técnica. El Capítulo 3 también se centra en la clasificación binaria de datos funcionales usando SVM. Sin embargo, en lugar de buscar los instantes de tiempo más relevantes, aquí se define un ancho de banda funcional para la denominada función kernel. De esta forma, se puede mejorar el rendimiento del clasificador, a la vez que se identifican los diferentes intervalos del dominio de la función, de acuerdo a su capacidad predictiva, mejorando además la interpretabilidad del modelo resultante. La obtención de tales intervalos se lleva a cabo mediante la resolución de un problema de optimización binivel por medio de un algoritmo alternante. El Capítulo 4 se centra en la clasificación de los llamados datos funcionales híbridos, es decir, datos que están formados por variables funcionales y estáticas (constantes a lo largo del tiempo). El objetivo es seleccionar las variables, funcionales o estáticas, que mejor clasifiquen. Para ello, se define un kernel no isotrópico que asocia un parámetro ancho de banda escalar a cada una de las variables. De forma análoga a como se ha hecho en los capítulos anteriores, se propone un algoritmo alternante para resolver el problema de optimización binivel, que permite resolver los parámetros del kernel. El problema de selección de variables presentado en el Capítulo 2 se generaliza al campo de la regresión en el Capítulo 5. El método de resolución combina la técnica denominada SVR (Support Vector Regression) con la minimización de la suma de los cuadrados de los residuos entre la verdadera variable respuesta y la prevista. Todos los algoritmos propuestos a lo largo de esta tesis han sido aplicados a bases de datos sintéticas y reales, quedando probada su efectividad. The goal of this PhD dissertation is to develop new approaches for supervised classification and regression in Functional Data Analysis. articularly, the Mathematical optimization tools analyzed in this thesis exploit the functional nature of the data, leading to novel strategies which may outperform the standard methodologies and link mathematics with real-life applications. Chapter 1 presents the main ideas, challenges and the notation used in this thesis. Chapter 2 addresses the problem of selecting a finite set of time instants which best classify multivariate functional data into two predefined classes. Using, not only the information provided by the function itself but also its high-order derivatives will be crucial to improve the accuracy. To do this, a continuous bilevel optimization problem is solved. Such problem combines the resolution of the well-known technique SVM (Support Vector Machine) with the maximization of the correlation between the class label and the score. Chapter 3 also focuses on the binary classification problem using SVM. However, instead of finding the most important time instants, here we define a functional bandwidth in the so-called kernel function. In this way, accuracy may be improved and the most relevant intervals of the domain of the function, according to their classification ability, are identified, enhancing the interpretability. A bilevel optimization problem is formulated and solved by means of an alternating procedure. Chapter 4 is focused on classifying the so-called hybrid functional data, i.e., data which are formed by functional and static (constant over time) covariates. The goal is to select the features, functional or static, which best classify. An anisotropic kernel which associates a scalar bandwidth to each feature is defined. As in previous chapters, an alternating approach is proposed to solve a bilevel optimization problem. Chapter 5 generalizes the variable selection problem presented in Chapter 2 to regression. The solution approach combines the SVR (Support Vector Regression) problem with the minimization of sum of the squared residuals between the actual and predicted responses. An alternating heuristic is developed to handle such model. All the methodologies presented along this dissertation are tested in synthetic and real data sets, showing their applicability. Premio Extraordinario de Doctorado US

Esta tesis se enmarca dentro de la resoluci_on num_erica de modelos que simulan el comportamiento de ujos turbulentos mediante t_ecnicas de orden reducido y bajo coste computacional. En particular, desarrollamos t_ecnicas de bases reducidas que permiten reducir dr_asticamente el c_alculo de una soluci_on a estos modelos. El objetivo es desarrollar modelos matem_aticos orientados al dise~no de edi_cios eco-e_cientes, lo que conlleva a la resoluci_on de modelos complejos donde las inc_ognitas del problema aparecen acopladas. La modelizaci_on de orden reducido proporciona reducciones de varios _ordenes de magnitud en el coste computacional de la simulaci_on num_erica de estos procesos y problemas de dise~no, haciendo cada vez m_as abordable su resoluci_on efectiva en tiempo real. Normalmente los modelos de orden reducido requieren de cientos de grados de libertad en lugar de millones como frecuentemente necesita el modelo de orden completo. En este trabajo consideramos diferentes modelos de complejidad creciente, desarrollando las t_ecnicas de orden reducido aplicadas a dichos modelos. Realizamos un estudio de estabilidad para dichos m_etodos num_ericos y se completa con simulaciones num_ericas que permiten validar los resultados te_oricos obtenidos. En primer lugar consideramos el modelo de turbulencia para ujos de aire conocido como modelo de Smagorinsky. Se trata de un modelo b_asico de turbulencia, que corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes donde la viscosidad es una viscosidad turbulenta, que matem_atica es una funci_on no lineal de la inc_ognita. Para la aproximaci_on de este t_ermino utilizamos t_ecnicas de Interpolaci_on Emp__rica, desarrollando un estimador de error a posteriori de acuerdo con la Teor__a de Brezzi-Rappaz-Raviart. Para este modelo en su versi_on bidimensional, realizamos distintos test num_ericos obteniendo que el tiempo de c_alculo para la velocidad del ujo se divide por mil cuando utilizamos t_ecnicas de orden reducido. A continuacion nos ocupamos de una modi_caci_on del modelo de Smagorinsky donde consideramos que la viscosidad turbulenta act_ua s_olo sobre las peque~nas escalas resueltas, y adem_as consideramos una estabilizaci_on local de proyecci_on para el c_alculo de la presi_on. El considerar esta estabilizaci_on de la presion nos permite evitar el enriquecimiento del espacio de velocidades para obtener un m_etodo estable. Para este modelo hemos comprobado num_ericamente que el tiempo de c_alculo se reduce m_as que en el modelo original de Smagorinsky. Por _ultimo consideramos un modelo acoplado de tipo Boussinesq obtenido mediante t_ecnicas de multiescala variacional. El modelo est_a formado por las ecuaciones del modelo de Smagorinsky junto a la ecuaci_on de la temperatura. Estas ecuaciones est_an acopladas mediante los t_erminos de otabilidad. El estudio realizado para este modelo se centra en aplicar t_ecnicas de orden reducido para dos tipos de par_ametros: f__sico y geom_etrico. El tratamiento para cada uno de estos par_ametros es distinto desde el punto de vista matem_atico. Para este problema desarrollamos de nuevo un estimador de error a posteriori y lo validamos mediante simulaciones num_ericas sencillas que representan el estudio del ujo de aire y la temperatura en habitaciones de geometr__a sencilla.

El objeto central de esta tesis son las funciones de Rademacher. A lo largo del s. XX, y especialmente en la segunda mitad, distintos resultados de Khintchine, Rodin y Semenov y Lindenstrauss y Tzafriri permitieron describir el subespacio generado por las funciones de Rademacher en ciertos espacios de funciones invariantes por reordenamientos. Estos resultados han sido extendidos más recientemente a otros espacios invariantes por reordenamientos por medio del K-método de interpolación y del estudio de la distribución de las series de Rademacher, gracias a los trabajos de Montgomery-Smith, Hitczenko y Astashkin. Nuestro interés se centra en las versiones locales de los resultados anteriores. Sagher y Zhou, generalizando un resultado de Zygmund, dieron una versión local de las desigualdades de Khintchine. Este resultado fue extendido posteriormente por Sagher y Zhou a otros espacios de funciones. Demostramos una versión local de las desigualdades de Khintchine en un espacio de funciones de integrabilidad exponencial. Estos resultados locales motivan el siguiente problema: dados un espacio de funciones X y su versión local, ¿son equivalentes los subespacios generados por las funciones de Rademacher sobre X y sobre su versión local? Este problema tiene la dificultad de que no se dispone de una expresión explícita de la norma de X, y por tanto, describir la versión local del espacio X no es inmediato. Astashkin y Curbera, considerando una definición de “espacio local” que denotamos X(E), demuestran una versión de las desigualdades de Khintchine en X(E). La desventaja de esta definición es que no se aplica a los espacios de funciones de integrabilidad exponencial, donde ya existe una versión local de las desigualdades de Khintchine. Definimos un espacio local distinto, que denotamos X|E, que sí es consistente con las versiones locales de las desigualdades de Khintchine. La definición del espacio local X|E es compatible con la equivalencia entre funciones de distribución, lo que permite estudiar el problema anterior considerando funciones de distribución en lugar de las normas de los espacios X|E y X. Resolvemos el problema, para conjuntos E con una cierta propiedad, demostrando una equivalencia entre las funciones de distribución sobre [0,1] y sobre E de las series de Rademacher. También damos un resultado sobre la independencia local de las funciones de Rademacher. El sistema de Walsh está formado por todos los productos finitos de funciones de Rademacher. Sagher y Zhou demostraron que las desigualdades de Khintchine son ciertas para las series de Walsh lagunares. Motivados por este resultado, demostramos que los resultados clásicos de Rodin y Semenov y Lindenstrauss y Tzafriri sobre el subespacio generado por las funciones de Rademacher también se cumplen para las funciones de Walsh lagunares. Los resultados anteriores no se aplican a los espacios de Cesàro, pues no son invariantes por reordenamientos. Recientemente, Astashkin y Maligranda han estudiado el comportamiento de las series de Rademacher en los espacios de Cesàro. Generalizamos estos resultados a los espacios de Cesàro con peso.

Como consecuencia de que los reguladores necesitan gestionar el riesgo en los distintos sectores, se está extendiendo de forma rápida una metodología basada en el riesgo. En las últimas décadas, este problema ha sido tratado en su mayoría en una versión univariante. Sin embargo, los riesgos envuelven normalmente varias variables aleatorias que son a menudo dependientes. Por tanto, es crucial trabajar en un marco multivariante. Por otro lado, los fenómenos están caracterizados frecuentemente por eventos extremos. Esta tesis trata fundamentalmente dos problemas: la definición de medidas de riesgo en un marco multivariante y la estimatión de medidas de riesgo multivariantes teniendo en cuenta eventos extremos. El Capítulo 1 es un capítulo introductorio. Presentamos el estado del arte para la noción de medidas de riesgo multivariantes. También, recordamos los principales resultados en Teoría de Cópulas, Teoría de Valores Extremos y Órdenes Estocásticos que son útiles en este trabajo . Se introducen dos nuevas medidas de riesgo multivariantes en el Capítulo 2. Varias propiedades interesantes y, caracterizaciones bajo condiciones de cópulas Arquimedianas, se estudian para las medidas de riesgo propuestas. Además, se obtienen estimadores semiparamétricos para las nuevas medidas, y son ejempli_cados considerando datos simulados y un conjunto de datos real de seguros. El Capítulo 3 se centra en la estimación extrema no paramétrica de las medidas multivariantes propuestas en el Capítulo 2. Para este propósito, primero analizamos el comportamiento en la cola de las distribuciones condicionadas que de_nen dichas medidas. El principal resultado está constituido por el Teorema Central del Límite de los estimadores extremos. El rendimiento de los estimadores extremos se evalúa en datos simulados y para un conjunto de datos real de precipitaciones. El estudio de la medida de riesgo multivariante asociada con the Component-wise Excess(C.-E.) design realization dada por Salvadori et al. (2011) se enmarca en el Capí- tulo 4. Se obtiene la expresión explícita de la medida para cópulas Arquimedianas. Asimismo, se proporciona un procedimiento de estimación extrema para la C.- E. design realization. Se estudia el comportamiento asintótico de los estimadores propuestos. Finalmente, los estimadores para la C.- E. design realization se aplican en datos simulados y para un conjunto de datos real de una presa. As a consequence of the need for regulators to manage risk in various sectors, a riskbased methodology is undergoing a fast expansion. Over recent decades, this problem has been mostly addressed via a univariate approach. However, risks usually involve several random variables that are often non-independent. Therefore, it is crucial to work in a multivariate setting. On the other hand, phenomena are frequently characterized by extreme events. This thesis is fundamentally concerned with two problems: the de_nition of risk measures in a multivariate setting, and the estimation of multivariate risk measures by taking extreme events into account. Chapter 1 is an introductory chapter. We present the state-of-art of the notion of multivariate risk measures. The main results in Copula Theory, Extreme Value Theory, and Stochastic Orders, which are useful in this work, are also provided. Two new multivariate risk measures are introduced in Chapter 2. Several interesting properties and, characterizations under Archimedean copulas, are studied for the proposed risk measures. Furthermore, semi-parametric estimators for the new measures are obtained and are then exempli_ed considering simulated data and a real insurance data-set. Chapter 3 deals with the non-parametric extreme estimation procedure of the multivariate measures proposed in Chapter 2. For this purpose, we _rst analyse the tail behaviour of the conditional distributions that de_ne the aforementioned measures. The main result is given by the Central limit Theorem of the extreme estimators. The performance of the extreme estimators is evaluated in simulated data and for a real rainfall data-set. The multivariate risk measure associated with the Component-wise Excess (C.-E.) design realization given by Salvadori et al. (2011) is outlined in Chapter 4. The explicit expression of the measure for Archimedean copulas is obtained. In addition, an extreme estimation procedure for the C.-E. design realization is provided and the asymptotic behaviour of the proposed estimators is studied. Finally, the estimators for the C.-E. design realization are applied to simulated data and a real dam data-set.

El objetivo principal de este trabajo es el análisis matemático de sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan redes complejas resultantes de ecosistemas reales de tipo mutualista. Investigamos el rango de condiciones necesarias para la coexistencia de todas las especies en un sistema mutualista. Mostraremos cómo la arquitectura de redes observadas en la naturaleza maximiza, en cierto sentido, el rango de las condiciones para la coexistencia de las especies. Dicho objetivo se logra gracias a un enfoque interdisciplinar en el que, sin duda, las matemáticas desempeñan una función clave. Se demuestra que el anidamiento de redes es una forma de organización que hace más persistentes a las comunidades. Las redes mutualistas constituyen la arquitectura de la biodiversidad. Este enfoque, basado en la estabilidad estructural, es nuevo en ecología. La matemática aplicada a las redes complejas nos permite abordar el cambio global desde el punto de vista sistémico. Estudiamos el conjunto de condiciones que conducen a la coexistencia estable de todas las especies dentro de una comunidad modelada por un sistema N-dimensional de ecuaciones diferenciales. Además, aportamos resultados sobre la existencia del punto de equilibrio factible para cualquier conjunto de valores de los parámetros dados, así como el rango de los mismos en los cuales la coexistencia de todas las especies es estable. Para ello la teoría para problemas de complementariedad lineal (teoría LCP, por su siglas en inglés) es clave en las argumentaciones. Daremos evidencia analítica y numérica de que el punto de equilibrio factible, en el cual todas las especies tienen una abundancia positiva, depende en gran medida y de forma continua de los valores de las tasas de crecimiento consideradas. Realizamos un estudio riguroso, tanto desde el punto de vista analítico como numérico. Para el estudio teórico, la teoría de semigrupos gradientes y sus atractores globales, caracterizados a partir de su estructura de Morse, han sido fundamentales. Para el segundo aspecto, hemos implementado un Laboratorio de Redes Mutualistas, el cual, para redes reales distribuidas en diversos ecosistemas del planeta, nos ha permitido simular una serie de experimentos, entre los que cabe destacar la importancia para la biodiversidad que posee el grado de anidamiento de las redes, así como la dependencia de las mismas de los parámetros del sistema.

El objetivo de esta tesis es estudiar la homogeneización de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales elípticas. Principalmente, proporcionamos condiciones de integrabilidad sobre los coeficientes del sistema que nos permitan tener un resultado de homogeneización local. En el caso de ecuaciones, se sabe que es suficiente que los coeficientes estén acotados en L^1 y sean equiintegrables para dimensiones mayores que 2 y solo acotación en L^1 para dimensión 2. Sin embargo, estos resultados se basan en el principio del máximo, resultado que no es cierto para sistemas. Por tanto, para poder abordar este problema necesitamos usar otras técnicas y herramientas. Otro problema interesante en el marco de la homogeneización es la posibilidad de deducir ciertas propiedades de los problemas límite, una cuestión que también tratamos en la última parte de la tesis. Esta tesis está dividida en 4 capítulos: En el Capítulo 1 consideramos un sistema elíptico lineal de M ecuaciones en derivadas parciales en el que los coeficientes no están acotados uniformemente ni son uniformemente coercitivos. Suponemos acotación de los coeficientes en cierto espacio L^p y una condición de coercitividad integral sobre los mismos. Recordamos que la coercitividad integral y la coercitividad puntual no son equivalentes en el caso de sistemas. Nuestras hipótesis nos permiten aplicar los resultados obtenidos al sistema de la elasticidad. Además, aunque no suponemos que los tensores de coeficientes son simétricos, puesto que hacemos usos de algunas herramientas propias de la teoría de la Gamma-convergencia, necesitamos controlar de forma uniforme la parte antisimétrica de los tensores de coeficientes por su parte simétrica. Para probar el resultado usamos una generalización del lema del div-rot de Murat-Tartar. En el Capítulo 2 consideramos el caso de los sistemas elípticos no lineales. Para ello, estudiamos el Gamma-límite de una sucesión de funcionales no lineales definidos sobre funciones vectoriales. Por simplificar, en este caso sí imponemos una condición de elipticidad débil uniforme sobre los coeficientes. En este marco, la no linealidad del problema nos impide usar la extensión del lema del div-rot que empleamos en el Capítulo 1. En cambio, nuestros resultados se apoyan en otra extensión del lema del Div-Rot y, más concretamente, en un lema de compacidad por compensación para sucesiones acotadas en W^{1,q}, mejorando ligeramente el resultado del Capítulo 1. También cabe destacar que las hipótesis de este capítulo no implican la convexidad de las energías con respecto a su segunda variable. En este capítulo también mostramos algunas aplicaciones que incluyen algunos materiales hiperelásticos. En el Capítulo 3 estudiamos el problema de homogeneización para el sistema de elasticidad con coeficientes no acotados cuando el dominio está siendo reducido a una dimensión. En concreto, consideramos el sistema de la elasticidad lineal en una barra cuyo grosor está tendiendo a 0. En este capítulo también consideramos el caso en el que los coeficientes no están uniformemente acotados. Obtenemos un resultado de homogeneización que nos lleva a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en el intervalo (0,1), permitiéndonos obtener una aproximación de las soluciones del tipo de Bernouilli-Navier que también contiene un término de torsión. En el capítulo 4, nos centramos en la homogeneización por medio de Gamma-convergencia de energías integrales débilmente coercitivas con densidades cuadráticas con coeficientes dados por una función tensorial simétrica periódica. En primer lugar, generalizamos los resultados existentes que dan condiciones sobre el tensor de coeficientes para que se tenga el resultado de homogeneización de dichas energías. El resultado más clásico afirma que si el tensor de coeficientes es muy fuertemente elíptico, entonces la homogeneización es directa. Nosotros estudiamos este problema solo bajo la hipótesis de elipticidad fuerte. Ya ha sido probado que, en este marco, se tiene el resultado de homogeneización (por medio de Gamma-convergencia) suponiendo que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor es no negativa y que la constante de coercitividad funcional periódica es positiva. En este capítulo obtenemos una mejora de este resultado y probamos que, de hecho, es suficiente que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor sea no negativa. Además, siguiendo las ideas del resultado existente para dimensión 2, mostramos varios ejemplos en dimensión 3 para los que el anterior resultado se aplica. En segundo lugar, analizamos la pérdida de elipticidad fuerte a través de la homogeneización en el caso de la elasticidad lineal en dimensión 3. Hacemos un estudio exhaustivo del proceso de laminación en dos pasos llevado a cabo por S. Gutiérrez y la damos justificación en términos de Gamma-convergencia, haciendo uso del resultado obtenido en la parte anterior del capítulo.

Derived A-algebras are derived and homotopy invariant versions of differential graded algebras. They were introduced by Steffen Sagave in 20 0 in order to construct minimal models for diferential graded algebras over arbitrary commutative rings. Muriel Livernet, Constanze Roitzheim, and Sarah Whitehouse showed in 2013 how they can be viewed as algebras over the minimal model of the operad encoding bicomplexes with a compatible associative multiplication. We extend their work for the associative operad to a general quadratic Koszul operad O satisfying standard projectivity assumptions. This leads to the new notion of derived homotopy O-algebra, where minimal models for O-algebras are defined. We explicitly compute generating operations and relations when O is the associative operad, the commutative operad, and the operad encoding Lie algebras.

El presente manuscrito trata distintos aspectos de la teoría de isotopismos de álgebras, centrándose en particular en los isotopismos de álgebras de Lie, de Malcev y de evolución, los cuáles no han sido suficientemente estudiados en la literatura. La distribución que sigue el manuscrito se detalla a continuación. En el Capítulo 1 se expone un breve estudio acerca del origen y desarrollo de la teoría de isotopismos, constituyendo en este sentido la primera introducción en la literatura existente en introducir la mencionada teoría desde un punto de vista general. El Capítulo 2 trata de aquellos resultados en Geometría Algebraica Computacional y en Teoría de Grafos que usamos a lo largo del manuscrito con vistas a determinar computacionalmente las clases de isotopismos de cada tipo de álgebra bajo consideración en los siguientes capítulos. Se describen en particular un par de grafos que permiten definir funtores inyectivos entre álgebras de dimensión finita sobre cuerpos finitos y los citados grafos. El cálculo computacional de invariantes por isomorfismos de estos grafos juega un papel destacable en la distribución de las distintas familias de álgebras en clases de isotopismos y de isomorfismos. Algunos resultados preliminares son expuestos en este sentido, particularmente acerca de la distribución de anillos de cuasigrupos parciales sobre cuerpos finitos. El Capítulo 3 se centra en la distribución de clases de isomorfismos y de isotopismos de dos familias de álgebras de Lie: el conjunto Pn;q de álgebras de Lie prefiliformes n-dimensionales sobre el cuerpo finito Fq y el conjunto Fn(K) de álgebras de Lie filiformes n-dimensionales sobre un cuerpo K. Se prueba concretamente la existencia de n clases de isotopismos en Pn;q. También se introducen dos nuevas series de invariantes por isotopismos que son usados para determinar las clases de isotopismos del conjunto Fn(K) para n≤7 sobre cuerpos algebraicamente cerrados y sobre cuerpos finitos. El Capítulo 4 trata con distintos ideales radicales cero-dimensionales cuyos conjuntos algebraicos asociados pueden indentificarse de forma única con el conjunto Mn(K) de álgebras de Malcev n-dimensionales sobre un cuerpo finito K. El cálculo computacional de sus bases reducidas de Gröbner, junto a la clasificación de álgebras de Lie sobre cuerpos finitos dada por De Graaf y Strade, permiten determinar la distribución de M3(K) y M4(K) no sólo en clases de isomorfismos, que es el criterio usual, sino también en clases de isotopismos. En concreto, probamos la existencia de cuatro clases de isotopismos en M3(K) y ocho clases de isotopismos en M4(K). Además, se prueba que todo álgebra de Malcev 3-dimensional sobre cualquier cuerpo finito y todo álgebra de Malcev 4-dimensional sobre un cuerpo finito de característica distinta de dos es isotópica a un magma-álgebra de Lie. Finalmente, el Capítulo 5 trata con el conjunto En(K) de álgebras de evolución n-dimensionales sobre un cuerpo K, cuya distribución en clases de isotopismos está relacionada de forma única con mutaciones en Genética no Mendeliana. Se centra en concreto en el caso bi-dimensional, el cuál está relacionado con los procesos de reproducción asexual de organismos diploides. Se prueba en particular que el conjunto E2(K) se distribuye en cuatro clases de isotopismos, independientemente de cuál sea el cuerpo base y se caracteriza sus clases de isomorfismos. This manuscript deals with distinct aspects of the theory of isotopisms of algebras. Particularly, we focus on isotopisms of Lie, Malcev and evolution algebras, for which this theory has not been enough studied in the literature. The manuscript is organized as follows. In Chapter 1 we expose a brief survey about the origin and development of the theory of isotopisms. This constitutes a first attempt in the literature to introduce this theory from a general point of view. Chapter 2 deals with those results in Computational Algebraic Geometry and Graph Theory that we use throughout the manuscript in order to compute the isotopism classes of each type of algebra under consideration in the subsequent chapters. We describe in particular a pair of graphs that enable us to define faithful functors between finite-dimensional algebras over finite fields and these graphs. The computation of isomorphism invariants of these graphs plays a remarkable role in the distribution of distinct families of algebras into isotopism and isomorphism classes. Some preliminary results are exposed in this regard, particularly on the distribution of partial-quasigroup rings over finite fields. Chapter 3 focuses on the distribution into isomorphism and isotopism classes of two families of Lie algebras: the set Pn;q of n-dimensional pre- filiform Lie algebras over the finite field Fq and the set Fn(K) of n-dimensional filiform Lie algebras over a base field K. Particularly, we prove the existence of n isotopism classes in Pn;q. We also introduce two new series of isotopism invariants that are used to determine the isotopism classes of the set Fn(K) for n ≤ 7 over algebraically closed fields and finite fields. Chapter 4 deals with distinct zero-dimensional radical ideals whose related algebraic sets are uniquely identified with the set Mn(K) of n-dimensional Malcev magma algebras over a finite field K. The computation of their reduced Gröbner bases, together with the classification of Lie algebras over finite fields given by De Graaf and Strade, enable us to determine the distribution of M3(K) and M4(K) not only into isomorphism classes, which is the usual criterion, but also into isotopism classes. Particularly, we prove the existence of four isotopism classes in M3(K) and eight isotopism classes in M4(K). Besides, we prove that every 3-dimensional Malcev algebra over any finite field and every 4-dimensional Malcev algebra over a finite field of characteristic distinct from two is isotopic to a Lie magma algebra. Finally, Chapter 5 deals with the set En(K) of n-dimensional evolution algebras over a field K, whose distribution into isotopism classes is uniquely related with mutations in non-Mendelian genetics. Particularly, we focus on the two-dimensional case, which is related to the asexual reproduction processes of diploid organisms. We prove that the set E2(K) is distributed into four isotopism classes, whatever the base field is, and we characterize its isomorphism classes.

Este trabajo estudia en profundidad la estructura del problema disctreto de la mediana ordenada (DOMP, por su acrónimo en inglés) con el objetivo de deñir nuevas formulaciones y algoritmos de resolución. Además, analizamos una interesante extensión del DOMP conocida como el problema monótono discreto de la mediana ordenada (MDOMP, de su acrónimo en inglés). Esta tesis se compone de tres grandes bloques. En primer lugar, se desarrolla un detallado estudio teórico y computacional. Se presentan varias formulaciones nuevas para el problema discreto de la mediana ordenada (DOMP) basadas en su similaridad con algunos problemas de secuenciación. Algunas de estas formulaciones requieren de un cosiderable menor número de restricciones para deñir el problema respecto a algunas de las formulaciones previamente conocidas. Además, las cotas inferiores proporcionadas por las relajaciones lineales mejoran a las obtenidas con formulaciones previas de la literatura incluso sin reforzar la nueva formulación. También presentamos un estudio poliédrico del politopo de asignación de nuestra formulación más compacta mostrando su proximidad con la envolvente convexa de las soluciones enteras del problema. Se comparan algunos procedimientos de resolución, entre los que destacamos un algoritmo de ramificación y corte. Amplios resultados computacionales sobre dos familias de instancias -aleatoriamente generadas y utilizando la Beasley's OR-librarymuestran la potencia de nuestros métodos para resolver el DOMP. En el segundo bloque, el problema discreto de la mediana ordenada es abordado con una formulación de particiones de conjuntos empleando un número exponencial de variables. Este capítulo desarrolla una nueva formulación en la que cada variable corresponde a un conjunto de puntos de demanda asignados al mismo servidor con la información de la posición obtenida de ordenar las distancias correspondientes. Utilizamos generación de columnas para resolver la relajación continua del modelo. Después, empleamos un algoritmo de ramificación, acotación y \pricing' ' para resolver a optimalidad tamaños moderados del DOMP en un tiempo computacional competitivo. Por último, el tercer bloque de este trabajo se dedica a analizar y comparar formulaciones para el problema monótono discreto de la mediana ordenada. Estas formulaciones combinan diferentes maneras de representar medidas de pesos ordenados de elementos utilizando programación lineal junto con el politopo de la p-mediana. Este enfoque da lugar a dos formulaciones eficientes para el DOMP bajo la hipótesis de monotonía en su vector _. Se comparan tepóricamente las formulaciones entre s__ y frente a algunas de las formulaciones válidas para el caso general. Adicionalmente, se desarrolla otra formulación válida para el caso general que explota la eficiencia de las ideas de la monotonicidad. Esta representación permite resolver eficientemente algunos ejemplos donde la monotonía se pierde ligeramente. Finalmente, llevamos a cabo un detallado estudio computacional, en el que se aprecia que las formulaciones ad hoc permiten resolver a optimalidad ejemplos cuyo tamaño supera los límites marcados en al caso general.

Falta palabras clave Esta tesis presenta el estudio de dos familias de coeficientes: los coeficientes del pletismo y los coeficientes de Kronecker. Ambas familias emergen de la teoría de representaciones y la teoría de funciones simétricas. Por un lado, en 1950, Foulkes observó varias propiedades de estabilidad en sucesiones de coeficientes del pletismo dependientes de un parámetro n: las sucesiones son eventualmente constantes para n suficientemente grande. Estas propiedades fueron probadas en los 90 por Carré y Thibon, usando operadores vertex y otros argumentos combinatorios de funciones simétricas, y por Brion para grupos algebraicos en general (no solo para el grupo general linear) y usando herramientas geométricas de la teoría de representaciones. Incluimos una prueba detallada de los resultados probados por Carré y Thibon con el fin de obtener las cotas para las que dichos coeficientes son constantes. También presentamos una interpretación combinatoria de otros coeficientes del pletismo, los h–coeficientes del pletismo, definidos a partir de la base de funciones homogéneas. Estos coeficientes están relacionados directamente con los coeficientes del pletismo usuales mediante la fórmula de Jacobi–Trudi. Esta interpretación combinatoria de los h–coeficientes del pletismo los describe como el número de puntos enteros en un polítopo que depende de las particiones que indexan los coeficientes. Esta nueva interpretación nos permite dar una demostración combinatoria de las propiedades de estabilidad de Brion, Carré y Thibon. Por otro lado, en 1938, Murnaghan observó un fenómeno de estabilidad en los coeficientes de Kronecker: la sucesión de coeficientes de Kronecker, cuyas particiones asociadas tienen una primera parte creciente, son eventualmente constantes. Los coeficientes de Kronecker reducidos se pueden definir como el valor estable de estas sucesiones de coeficientes de Kronecker. Los coeficientes de Kronecker reducidos son objetos interesantes en sí mismos, y podemos recuperar los coeficientes de Kronecker a partir de ellos. Nosotros investigamos qué ocurre cuando añadimos cajas a las filas y columnas de las particiones que indexan los coeficientes de Kronecker reducidos. Presentamos un estudio de cuatro familias. Para la primera familia de coeficientes de Kronecker reducidos damos fórmulas explícitas de los quasipolinomios lineales de periodo 2 a trozos que los definen, dependiendo de las particiones asociadas. Las otras tres familias tienen en común que una de las particiones que las indexan tiene una sola parte, y que las otras dos particiones son arbitrariamente grandes. Para estas tres familias, presentamos un estudio completo: la función generatriz de los coeficientes de Kronecker reducidos y dos descripciones combinatorias, una en términos de particiones planas en un rectángulo y otra como quasipolinomios, especificando el periodo y el grado de los mismos. Además, comprobamos que la hipótesis de saturación se satisface para los coeficientes de Kronecker reducidos de estas tres familias. Otro enfoque interesante para los coeficientes de Kronecker reducidos son los operadores vertex. Incluimos una prueba del teorema de Murnaghan usando operadores vertex. Esta prueba nos proporciona una descripción de los coeficientes de Kronecker reducidos obtenida por Brion. Los operadores vertex también son usados para dar una descripción de los coeficientes de Kronecker reducidos con una partición asociada de una sola parte en términos de los coeficientes de Littlewood–Richardson.

Falta palabras claves El diseño de plantas solares con tecnología de torre (utilizaremos las siglas en inglés SPT) comenzó a ser estudiado en los años 70 y sigue siendo hoy en día un área de investigación muy activa. En esta tesis doctoral se estudia el diseño óptimo de la planta solar bajo distintos aspectos, enfocándose en el diseño del sistema torre-receptor y del campo de heliostatos. El primer capítulo presenta una idea general sobre SPT, describiendo los componentes que intervienen en el problema y detallando el modelado matemático utilizado a lo largo de este documento. Un algoritmo para resolver el problema de base se propone en el Capítulo 2. Se trata de un algoritmo, basado en la heurística voraz, que introduce un enfoque innovador al resolver el problema de la localización de heliostatos sin pre-establecer ningún patrón geométrico. Este algoritmo se extiende en el Capítulo 3 para resolver el diseño del campo solar con heliostatos en bloques llamados “pod” (estructuras triangulares que albergan varios heliostatos). Los capítulos 4 y 5 versan sobre los procedimientos heurísticos adaptados para dar solución a nuevos problemas que surgen en este tipo de tecnologías: diseño de sistemas con receptores múltiples y diseño de campos multi-talla. Ambos son problemas desafiantes debido a su alto grado de complejidad. El algoritmo heurístico presentado en el Capítulo 2 ha sido modificado y combinado con distintos procedimientos de optimización para facilitar una solución, que aunque no óptima, sea competitiva y pueda ser considerada como una buena solución. A lo largo de todos los capítulos, los resultados han sido comparados con los resultados disponibles en la literatura. Esto ha permitido validar los algoritmos propuestos. Las conclusiones generales y algunos comentarios sobre trabajos futuros se comentan en el último capítulo. The design of solar power tower (SPT) plants started to be studied in 1970s and is still being an active field of research nowadays. In this dissertation, the optimal design of an SPT plant under different considerations is addressed, focusing on the tower-receiver and heliostat field design. The first chapter provides the general ideas on SPT plants, with a description of the components involved in the problem and a presentation of the mathematical modelling used in this document. An algorithm to solve the basic problem is proposed in Chapter 2. It is a greedy-based heuristic algorithm, which introduces an innovative approach solving the heliostat location problem without fixing geometrical patterns. This algorithm is extended in Chapter 3 to address the solar field design with heliostat pod systems (triangular structures having several heliostats on it). Chapters 4 and 5 concern heuristic procedures adapted to the solution of innovative problems arising in this technology: multiple receivers system design and multi-size-heliostat field design. Both are challenging problems due to their high complexity. The heuristic algorithm in Chapter 2 has been modified and combined with different optimization procedures in order to furnish a solution which, although not optimal, is competitive and can be considered as a good solution. Along all the chapters, the results have been compared to the state-ofthe- art results, when available. This has allowed to validate the proposed algorithms. The general conclusions and some comments on further work are commented in the last chapter.

Esta tesis se centra en derivar métodos robustos o dispersos bajo la perspectiva de la optimización para problemas que tradicionalmente se engloban en los campos de la Estadística o de la Investigación Operativa. Concretamente, el objetivo de esta tesis doctoral es fusionar técnicas de optimización con conceptos estadísticos para desarrollar metodologías innovadorass que puedan mejorar a los métodos ya existentes y que aúnen las matemáticas teóricas con los problemas de la vida real. Por una parte, los métodos robustos propuestos facilitarán un nuevo enfoque sobre el modelado y la interpretación de problemas clásicos del área de la Investigación Operativa, produciendo soluciones que sean resistentes a varios tipos de incertidumbre. Por otra parte, las estrategias dispersas desarrolladas para resolver problemas notorios del área de Estadística tendrán forma de Problemas No Lineales Mixtos (es decir, problemas de optimización con algunas variables enteras o binarias y función objetivo no lineal, denotados MINLP a partir de ahora). Se mostrará que los métodos propuestos no solamente son manejables computacionalmente, sino que además realzan la interpretabilidad y obtienen una buena calidad de predicción. Específicamente, el Capítulo 1 se centra en descubrir causalidades potenciales en series temporales multivariantes. Esto se lleva a cabo formulando el problema como un MINLP donde las restricciones modelan distintos aspectos de la dispersión, incluyendo restricciones que no permiten la aparición de relaciones espúreas en el modelo. El método muestra un buen rendimiento en términos de poder de predicción y de recuperación del modelo original. Análogamente, el objetivo del Capítulo 2 es descubrir cuáles son los predictores relevantes en un problema de regresión lineal, sin llevar a cabo tests de significación ya que éstos pueden fallar si existe multicolinealidad. Para ello, se formulan MINLPs que restringen los métodos de estimación seleccionados, añadiendo restricciones que miden la importancia de los predictores y que están diseñadas para evitar los problemas que produce la multicolinearidad en los datos. Los modelos restringidos muestran un buen equilibrio entre interpretabilidad y precisión. Por otra parte, en el Capítulo 3 se generaliza el problema clásico del vendedor de periódicos, asumiendo demandas correladas. En particular, una estrategia de inventario robusta, donde no se asumen hipótesis distribucionales sobre la demanda, se formula como un problema de optimización. Para el modelado de dicho problema se hace uso de técnicas que ligan conceptos estadísticos con conjuntos de incertidumbre. Las soluciones obtenidas son robustas ante la presencia de ruido con alta variabilidad en los datos, mientras evitan el exceso de conservadurismo. En el Capítulo 4 se extiende esta formulación para series temporales multivariantes. El escenario es, además, más complejo: no solamente se busca fijar los niveles de producción, sino que se quiere determinar la localización de instalaciones y la asignación de clientes a las mismas. Empíricamente se muestra que, para diseñar una cadena de suministros eficiente, es importante tener en cuenta la correlación y la variabilidad de los datos multivariantes, desarrollando técnicas basadas en los datos que hagan uso de métodos de predicción robustos. Un examen más exhaustivo de las características específicas del problema y de los conjuntos de incertidumbre se lleva a cabo en el Capítulo 5, donde se estudia el problema de selección de portfolios con costes de transacción. En este capítulo se obtienen resultados teóricos que relacionan los costes de transacción con diferentes maneras de protección ante la incertidumbre de los retornos. Como consecuencia, los resultados numéricos muestran que calibrar la penalización de los costes de transacción produce resultados que son resistentes a los errores de estimación. This thesis is focused on deriving robust or sparse approaches under an optimization perspective for problems that have traditionally fell into the Operations Research or the Statisics fields. In particular, the aim of this Ph.D. dissertation is to merge optimization techniques with statistical concepts, leading to novel methods that may outperform the classic approaches and bridge theoretical mathematics with real life problems. On one hand, the proposed robust approaches will provide new insights into the modelling and interpretation of classic problems in the Operations Research area, yielding solutions that are resilient to uncertainty of various kinds. On the other hand, the sparse approaches derived to address some up-to-the-minute topics in Statistics will take the form of Mixed Integer Non-Linear Programs (i.e. optimization problems with some integer or binary variables and non linear objective function, denoted as MINLP thereafter). The proposed methods will be shown to be computationally tractable and to enhance interpretability while attaining a good predictive quality. More specifically, Chapter 1 is focused on discovering potential causalities in multivariate time series. This is undertaken by formulating the estimation problem as a MINLP in which the constraints model different aspects of the sparsity, including constraints that do not allow spurious relationships to appear. The method shows a good performance in terms of forecasting power and recovery of the original model. Analogously, in Chapter 2 the aim is to discover the relevant predictors in a linear regression context without carrying out significance tests, since they may fail in the presence of strong collinearity. To this aim, the preferred estimation method is tightened, deriving MINLPs in which the constraints measure the significance of the predictors and are designed to avoid collinearity issues. The tightened approaches attain a good trade-off between interpretability and accuracy. In contrast, in Chapter 3 the classic newsvendor problem is generalized by assuming correlated demands. In particular, a robust inventory approach with distribution-free autoregressive demand is formulated as an optimization problem, using techniques that merge statistical concepts with uncertainty sets. The obtained solutions are robust against the presence of noises with high variability in the data while avoiding overconservativeness. In Chapter 4 this formulation is extended to multivariate time series in a more complex setting, where decisions over the location-allocation of facilities and their production levels are sought. Empirically, we illustrate that, in order to design an efficient supply chain or to improve an existent one, it is important to take into account the correlation and variability of the multivariate data, developing data-driven techniques which make use of robust forecasting methods. A closer examination of the specific characteristics of the problem and the uncertainty sets is undertaken in Chapter 5, where the portfolio selection problem with transaction costs is considered. In this chapter, theoretical results that relate transaction costs with different ways of protection against uncertainty of the returns are derived. As a consequence, the numerical experiments show that calibrating the transaction costs term yields to results that are resilient to estimation error.

En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. 4 hacemos uso de técnicas diferentes a las empleadas en los capítulos anteriores para probar la compacidad asintótica. Los problemas analizados en los capítulos restantes de esta tesis, concretamente en los capítulos 6 y 7, están planteados en un marco multivaluado, ya que no podemos garantizar la unicidad de solución bajo las hipótesis impuestas. Para ello, en el Capítulo 5, estudiamos algunos resultados abstractos sobre sistemas dinámicos multivaluados para procesos. Dénimos algunos conceptos básicos y estudiamos varios resultados que nos permiten garantizar la existencia de atractores pullback en este nuevo marco y establecer relaciones entre estas familias. A continuación, en el Capítulo 6, estudiamos una ecuación de reacción-difusión no local sin unicidad de solución con una pequeña perturbación en el término de difusión y en la fuerza no autónoma. Demostramos la existencia de solución débil y fuerte, así como la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Además estudiamos la propiedad de semicontinuidad superior de la familia de atractores pullback dependiente del parámetro cuando éste tiende a cero. En el Capítulo 7, analizamos un problema autónomo en el que el término de difusión está constituido por un operador no local y el p-Laplaciano, generalizando así la difusión con respecto a los capítulos anteriores, en los que todos los análisis se hicieron para el Laplaciano. En primer lugar, demostramos la existencia de solución débil, a través de un cambio de variable temporal, así como una propiedad de regularización del problema analizado. Además estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones demostrando la existencia del atractor global en L2(). Para analizar este proyecto, proporcionamos una lista de problemas y cuestiones abiertas que estamos analizando o que queremos abordar próximamente en el marco no local.

Falta palabras claves Esta tesis se enmarca dentro de la Teoría de Nudos. En los Capítulos 1 y 2 se usan herramientas clásicas para estudiar las propiedades de ciertas familias de enlaces y las relaciones de inclusión entre ellas. En los Capítulos 3 y 4 se estudian nuevas aproximaciones a invariantes homológicos de enlaces introducidos en este siglo. En 1983 Louis Kauffman conjeturó que las familias de enlaces alternativos y pseudoalternantes eran iguales. En el Capítulo 1 se prueba esta conjetura para el caso de enlaces cuyo primer número de Betti es menor que 3. También se dan dos contraejemplos que muestran que, en general, la conjetura no es cierta. El polinomio de Conway de los enlaces positivos es positivo. En el Capítulo 2 se extiende esta propiedad a la familia de enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza 3. Asímismo, se prueba que esta propiedad no puede ser extendida a los enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza mayor que 5. El Capítulo 3 se centra en los intentos de dar una definición de la homología Knot Floer en términos de los estados FKT de Kaffman. Concretamente, se muestra la no invariancia de una propuesta de Y. Rong bajo el movimiento de Reidemeister II. En el Capítulo 4 se da una definición geométrica de la cohomología extrema de Khovanov, en términos del grafo de Lando asociado al diagrama de un enlace. Este nuevo punto de vista permite construir una familia de nudos H-gruesos cuya cohomología extrema de Khovanov cuenta con tantos grupos no triviales como se desee. Los conceptos y resultados básicos asociados a cada capítulo se encuentran recogidos en sus respectivas introducciones. Asímismo, al final de cada uno de ellos se incluyen cuestiones abiertas a las que da lugar el trabajo desarrollado. This thesis falls within the scope of Knot Theory. In Chapters 1 and 2 we use classical tools for studying the properties and relations among some families of links. In Chapters 3 and 4 we discuss new approaches to homological link invariants introduced in this century. In 1983 Louis Kauffman conjectured that the families of alternative and pseudoalternating links coincide. In Chapter 1 we prove that this conjecture holds for the special case of links whose first Betti number is at most 2. We also disprove the conjecture for the general case by showing two counterexamples. Positive links have positive Conway polynomial. In Chapter 2 we extend this property to the family of strongly quasipositive links whose braid index equals 3. Moreover, we prove that this result cannot be extended when considering strongly quasipositive links whose braid index is greater than 5. Chapter 3 focuses in the attemps of giving a definition of Knot Floer homology in terms of Kauffman FKT-states. Namely, we show that the definition given by Y. Rong is not invariant under the Reidemeister II move. In Chapter 4 we give a geometric realization of the extreme Khovanov cohomology in terms of the Lando graph associated to a link diagram. This new approach allows us to give a family of H-thick knots with any number of nontrivial extreme Khovanov cohomology modules. Each chapter has its own introduction containing its associated motivation and background. Moreover, at the end of each of them we have included open questions related to the results exposed in the chapter. Premio Extraordinario de Doctorado US

Falta palabras clave The freight-transport industry has made enormous progress in the development and application of logistics techniques that has transformed its operation, giving raise to impressive productivity gains and improved responsiveness to its consumers. While the separation of passenger and freight traffic is a relatively new concept in historic terms, recent approaches point out that most freight-logistics techniques are transferable to the passenger-transport industry. In this sense, passenger logistics can be understood as the application of logistics techniques in urban contexts to the passenger-transport industry. The design of an urban logistic network integrates decisions about the emplacement, number and capacities of the facilities that will be located, the flows between them, demand patterns and cost structures that will validate the profitability of the process. This strategic decision settles conditions and constraints of latter tactical and operative decisions. In addition, different criteria are involved during the whole process so, in general terms, it is essential an exhaustive analysis, from the mathematical point of view, of the decision problem. The optimization models resulting from this analysis require techniques and mathematical algorithms in constant development and evolution. Such methods demand more and more a higher number of interrelated elements due to the increase of scale used in the current logistics and transportation problems. This PhD dissertation explores different topics related to Mathematical models for the design and planning of transportation on demand in urban logistics networks. The contributions are divided into six main chapters since and, in addition, Chapter 0 offers a basic background for the contents that are presented in the remaining six chapters. Chapter 1 deals with the Transit Network Timetabling and Scheduling Problem (TNTSP) in a public transit line. The TNTSP aims at determining optimal timetables for each line in a transit network by establishing departure and arrival times of each vehicle at each station. We assume that customers know departure times of line runs offered by the system. However, each user, traveling later of before their desired travel time, will give rise to an inconvenience cost, or a penalty cost if that user cannot be served according to the scheduled timetable. The provided formulation allocates each user to the best possible timetable considering capacity constraints. The problem is formulated using a p-median based approach and solved using a clustering technique. Computational results that show useful applications of this methodology are also included. Chapter 2 deals with the TNTSP in a public transit network integrating in the model the passengers' routings. The current models for planning timetables and vehicle schedules use the knowledge of passengers' routings from the results of a previous phase. However, the actual route a passenger will take strongly depends on the timetable, which is not yet known a priori. The provided formulation guarantees that each user is allocated to the best possible timetable ensuring capacity constraints. Chapter 3 deals with the rescheduling problem in a transit line that has suffered a eet size reduction. We present different modelling possibilities depending on the assumptions that need to be included in the modelization and we show that the problem can be solved rapidly by using a constrained maxcost- ow problem whose coe_cient matrix we prove is totally unimodular. We test our results in a testbed of random instances outperforming previous results in the literature. An experimental study, based on a line segment of the Madrid Regional Railway network, shows that the proposed approach provides optimal reassignment decisions within computation times compatible with real-time use. In Chapter 4 we discuss the multi-criteria p-facility median location problem on networks with positive and negative weights. We assume that the demand is located at the nodes and can be different for each criterion under consideration. The goal is to obtain the set of Pareto-optimal locations in the graph and the corresponding set of non-dominated objective values. To that end, we first characterize the linearity domains of the distance functions on the graph and compute the image of each linearity domain in the objective space. The lower envelope of a transformation of all these images then gives us the set of all non-dominated points in the objective space and its preimage corresponds to the set of all Pareto-optimal solutions on the graph. For the bicriteria 2-facility case we present a low order polynomial time algorithm. Also for the general case we propose an efficient algorithm, which is polynomial if the number of facilities and criteria is fixed. In Chapter 5, Ordered Weighted Average optimization problems are studied from a modeling point of view. Alternative integer programming formulations for such problems are presented and their respective domains studied and compared. In addition, their associated polyhedra are studied and some families of facets and new families of valid inequalities presented. The proposed formulations are particularized for two well-known combinatorial optimization problems, namely, shortest path and minimum cost perfect matching, and the results of computational experiments presented and analyzed. These results indicate that the new formulations reinforced with appropriate constraints can be effective for efficiently solving medium to large size instances. In Chapter 6, the multiobjective Minimum cost Spanning Tree Problem (MST) is studied from a modeling point of view. In particular, we use the ordered median objective function as an averaging operator to aggregate the vector of objective values of feasible solutions. This leads to the Ordered Weighted Average Spanning Tree Problem (OWASTP), which we study in this work. To solve the problem, we propose different integer programming formulations based in the most relevant MST formulations and in a new one. We analyze several enhancements for these formulations and we test their performance over a testbed of random instances. Finally we show that an appropriate choice will allow us to solve larger instances with more objectives than those previously solved in the literature. Premio Extraordinario de Doctorado US

Texto completo descargado desde Teseo In this thesis we present a series of result that are framed in the theory of Matrix Orthogonal Polynomials, a branch of the very celebrated subject of Orthogonal Polynomials. In particular we study families of matrix valued orthogonal polynomials satisfying differential, difference or q-difference equations. The search for examples of matrix polynomials which are also eigenfunctions of certain matrix operators is a rather dificult issue. This dificulty is due to several reasons. The most important of these reasons is the increase of the difficulties in the computations related with the non-commutativity of the matrix product, and the existence of singular matrices. However, having a wide set of examples of matrix orthogonal polynomials has shown to be decisive in the study and discovery of new phenomena happening in the matrix orthogonality. This has been the case with the examples of matrix orthogonal polynomials satisfying differential equations. An example of the increasing knowledge about these families of orthogonal polynomials is shown in the last chapter of this memory. There, lot of tools developed in the last decades are used to build and study in deep an interesting family of matrix orthogonal polynomials satisfying second order differential equations. Moreover, these families are shown to satisfy first order differential equations as well. In the case of matrix orthogonal polynomials satisfying difference equations, very little was known. Apart from some examples in size 2x2 (and some others reducible to the scalar case) there were no examples of such matrix orthogonal polynomials. With this thesis this lack of examples starts to be solved. Moreover, we introduce a method to construct examples of matrix orthogonal polynomials satisfying second order difference equations, and by making use of it we give a variety of examples. Having such a method is of the main importance, because we skip the complexity in the computations that made the search of examples so difficult, and now dealing with matrix orthogonal polynomials and matrix difference equations becomes much easier to handle. The method profits of the factorization of a weight matrix and the symmetry equations for a discrete weight matrix and a difference operator. These symmetry equations are the starting point to develop the method. By making use of the examples obtained by this method, we explore new features and properties satisfied by this objects. For the case of matrix orthogonal polynomials satisfying q-difference equations, even less was known. In this thesis we establish the symmetry equations for the q-difference case, and we adapt the method developed for the difference case to obtain the first non-trivial examples of matrix orthogonal polynomials satisfying second order q-difference operator. That emphasizes the power of the method to build examples for the difference case. With our method we construct an example of matrix orthogonal polynomials satisfying q-difference equations, but this method can easily be used to get a wider class of examples and to explore their properties. With the content of this thesis we get a more complete view of the theory of matrix orthog- onal polynomials, and many questions can now be tackled, such as those concerning limiting relations among matrix orthogonal polynomials satisfying second order difference equations (or q-difference) and matrix orthogonal polynomials satisfying second order differential equa- tions.

We consider the nonlinear Dirac equation in 1+1 dimension with scalar-scalar self interaction $ \frac{g^2}{\kappa+1} ({\bar \Psi} \Psi)^{\kappa+1}$ and with mass $m$. Using the exact analytic form for rest frame solitary waves of the form $\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-i \omega t}$ for arbitrary $ \kappa$, we discuss the validity of various approaches to understanding stability that were successful for the nonlinear Schr\"odinger equation. In particular we study the validity of a version of Derrick's theorem, the criterion of Bogolubsky as well as the Vakhitov-Kolokolov criterion, and find that these criteria yield inconsistent results. Therefore, we study the stability by numerical simulations using a recently developed 4th-order operator splitting integration method. For different ranges of $\kappa$ we map out the stability regimes in $\omega$. We find that all stable nonlinear Dirac solitary waves have a one-hump profile, but not all one-hump waves are stable, while all waves with two humps are unstable. We also find that the time $t_c$, it takes for the instability to set in, is an exponentially increasing function of $\omega$ and $t_c$ decreases monotonically with increasing $\kappa$., Comment: 35 pages, 13 figures

El principal objetivo de esta Tesis es el estudio de desigualdades con pesos para diferentes operadores del análisis armónico en dos ambientes diferentes: los espacio de tipo homogéneo y en el contexto euclídeo multilineal. La primera parte del presente trabajo se centra en el estudio de acotaciones fuertes y débiles con pesos de operadores de Calderón-Zygmund que generalizan a espacios de tip o homogéneo la situación del espacio euclídeo Rn. Nuestro objetivo es la obtención de cotas formadas por al menos dos constantes Ap diferentes de manera que estas cotas mixtas sean estrictamente más pequeñas que las clásicas formadas por una constante. Asimismo, se generalizan desigualdades como la de John-Nirenberg y la desigualdas de Hölder al revés, las cuales serán herramientas fundamentales de cara a determinar acotaciones óptimas para los operadores de Calderón-Zygmund y los conmutadores de estos operadores con funciones de BMO. La segunda parte de esta monografía se centra en el estudio de las desigualdades con pesos para la función maximal y multilineal y operadores integrales singulares multilineales así como la determinación de las constantes óptimas para la acotación de dichos operadores. Con respecto al problema de determinación de las constantes óptimas para la función maximal multilineal, se consigue una cota mixta que mezcla la constante múltiple Ap con un producto de constantes A∞. También se extienden total o parcialmente otros resultados en el contexto múltiple de uno y dos pesos como los teoremas de S. Buckley y E. Sawyer, respectivamente. Asimismo, se establece el control en norma de los operadores multilineales de Calderón-Zygmund e integrales singuales multilineales con núcleos no suaves por operadores multilineales de tipo sparse. Como consecuencia de este resultado se deriva un análogo del teorema A2 para ambos tipos de operadores. Finalmente, se estudia la compacidad de los conmutadores de diferentes operadores con símbolos en un subespacio de BMO. Por un lado, el estudio se centra en los conmutadores de una clase de operadores bilineales que extiende el caso de los operadores de Calderón-Zygmund. También se estudia el caso de los conmutadores de una familia de operadores bilineales fraccionarios más singulares que pueden verse como la versión fraccionaria de la transformada de Hilbert bilineal. Por otro lado, se estudian las clases de pesos múltiples para los cuales se tiene que los conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund bilineales son compactos en espacios de Lebesgue con pesos.