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We provide an effective version of Katz’ criterion for finiteness of the monodromy group of a lisse, pure of weight zero, -adic sheaf on a normal variety over a finite field, depending on the numerical complexity of the sheaf.

Class field theory studies abelian extensions of a given field using only intrinsic data of the field itself. Moreover, it gives information about the Galois groups of these extensions along with some functorial properties. Currently, global class field theory is constructed from local class field theory. For this reason, it is customary to focus first on the local aspects of class field theory. In this way, the present project compiles full proofs of the core results of local class field theory following the method of Iwasawa [Iwa86] as presented by Yoshida [Yos08]. Instead of focusing on the analogies between elliptic curves and Lubin-Tate groups, this work stresses the algebraic aspects of the theory by visualizing the construction as a kind of “categorification” that gives rise to the comparison of uniformizing elements by algebraic means. Once the main results of local class field theory has been proved, these notable results are subsequently used to prove the Kronecker-Weber theorem following Safareviˇc [ ˇ S51 ˇ , Cas86]. Due to space limitation and for the sake of clarity, the scope of this project is limited to providing only the proofs of the main theorems without justifying every step of the construction of the relative Lubin-Tate groups. In addition to the technical results, a brief outline of the history of class field theory is included for the purpose of showing how trascendental this theory has been for the mathematical community. The relevant bibliography for this part is [Conb, Lem00, PS04, Tak94]., La teoría de cuerpos de clase estudia las extensiones abelianas de un cuerpo dado usando únicamente información intrínseca del cuerpo. Además, da información sobre los grupos de Galois de dichas extensiones junto con algunas propiedades funtoriales. Hoy en día, la teoría de cuerpos de clase global se construye a partir de la teoría de cuerpos de clase local. Por esta razón, es usual concentrarse primero en los aspectos locales de la teoría de cuerpos de clase. De esta forma, el presente trabajo recoge pruebas completas de los resultados centrales de la teoría de cuerpos de clase local siguiendo el método de Iwasawa [Iwa86] tal y como lo expone Yoshida [Yos08]. En lugar de concentrarse en las analogías entre las curvas elípticas y los grupos de Lubin-Tate, este trabajo resalta los aspectos algebraicos de la teoría visualizando la construcción como cierta “categorificación” que permite la comparación de los parámetros de uniformización de una forma algebraica. Una vez los resultados principales de la teoría de cuerpos de clase local hayan sido demostrados, estos resultados profundos se usan posteriormente para probar el teorema de Kronecker-Weber siguiendo Safareviˇc [ ˇ S51 ˇ , Cas86]. Por la limitación de espacio y en beneficio de la claridad, el ámbito de este proyecto se limita a probar los resultados más importantes de la teoría de cuerpos de clase sin justificar todos los pasos de la construcción de los grupos de Lubin-Tate relativos. Además de los resultados técnicos, se añade un resumen de la historia de la teoría de cuerpos de clase con el objetivo de mostrar cómo de trascendente ha sido esta teoría para la comunidad matemática. La bibliografía relativa a esta parte es [Conb, Lem00, PS04, Tak94].

La función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito se define como la función generatriz asociada a la sucesión obtenida al contar el número de puntos racionales de la variedad en las sucesivas extensiones finitas del cuerpo base. Dicho objeto codifica las propiedades aritméticas de la variedad y permite establecer una asombrosa conexión entre las mismas y la topología de la variedad cuando la vemos sobre los números complejas a través de las conjeturas de Weil, uno de los resultados matemáticas más importantes del siglo XX. En este trabajo estudiamos las principales características de la función zeta y demostramos las conjeturas en dos de los casos que motivaron al propio Weil a enunciarlas: las hipersuperficies diagonales y el caso de curvas., The zeta function of a variety over a finite field is defined as the generating function associated with the sequence obtained by counting the number of rational points of the variety over the successive finite extensions of the ground field. This object encodes the arithmetic properties of the variety and allows us to establish an amazing connection between them and the topology of the variety when we see it over the complex numbers through the Weil’s conjectures, one of the most important mathematical results of the 20th century. In this dissertation we study the main characteristics of the zeta function and prove the conjectures in two of the cases that motivated Weil himself to state them: the diagonal hypersurfaces and the case of curves.

Prime numbers aroused the curiosity of many for centuries, and they keep answering many questions that come up currently. Euclid carried out the first prove about the infinitude of prime numbers in his time. What we now call Euclid’s Theorem drove numerous proves of itself. In the XVIII century, Euler achieved the connection of the study of prime numbers with the Riemann Zeta function with the help of the Euler product 휁(푠) = ∑ 푛∈ℕ 1 푛 푠 = ∏ 푝 푃 푟푖푚표 1 1 − 푝 −푠 proving the Euclid’s theorem with this new tool. Our aim is to generalise this result to the arithmetic sequences {푎 + 푚푘 | 푎, 푚 ∈ ℕ xed, gcd(푎, 푚) = 1, 푘 ∈ ℕ0 } This is the Dirichlet’s Theorem on arithmetic progressions, which states the existence of infinite prime numbers in each of this sets. We will give a classical prove making use of some results on Analytic Number Theory regarding the Riemann Zeta function and its derivatives applied to some Algebraic Number Theory issues on cyclotomic extensions, guiding ourselves primarily by Ribenboim’s book[7]. We will start going over extensions in algebraic number fields and Dedekind domains, which we can find in the Neukirch book[5], followed by a brief introduction to ideal clases and the group of units of a number field. Understanding this concepts and applying them on cyclotomic fields is key to show the relationship between prime ideals and Dirichlet’s theorem, the goal of this dissertation. Once we are finish with the main issue we can proceed with some extra results on the density of this families of prime numbers, which is related to the Euler’s totient function, as well as getting closer with more general results like Chevotarev’s density making the same observations over any number field, Los números primos han suscitado la curiosidad de muchos durante siglos, y siguen dando respuesta a muchas de las preguntas que surgen en la actualidad. Euclides desarrollo en su época la primera prueba sobre la infinitud de los números primos. Lo que hoy llamamos Teorema de Euclides impulsó numerosas pruebas del mismo. En el siglo XVIII, Euler consiguió relacionar el estudio de los números primos con la función Zeta de Riemann con lo que llamamos producto de Euler 휁(푠) = ∑ 푛∈ℕ 1 푛 푠 = ∏ 푝 푃 푟푖푚표 1 1 − 푝 −푠 llegando a probar el Teorema de Euclides con su nueva herramienta de estudio. Nuestro objetivo es generalizar este resultado a series aritméticas de la forma {푎 + 푚푘 | 푎, 푚 ∈ ℕ jados, gcd(푎, 푚) = 1, 푘 ∈ ℕ0 } Se trata del teorema de Dirichlet para progresiones aritméticas, el cual dice que existen infinitos primos en cada uno de estos conjuntos. Daremos una demostración clásica usando algunos resultados sobre Teoría Analítica de Números respecto a la función Zeta de Riemann y sus derivados aplicados a resultados algebraicos sobre extensiones ciclotómicas guiándonos principalmente por el libro de Ribenboim[7]. Empezaremos haciendo un repaso sobre las extensiones de cuerpos de números algebraicos y dominios de Dedekind con resultados que podremos encontrar en el libro de Neukirch[5], seguido del desarrollo breve de las clases de ideales o el grupo de unidades de un cuerpo de números. Entender estos conceptos y aplicarlos correctamente a extensiones ciclotómicas será la clave para ver la relación entre los ideales primos en ellas y el teorema de Dirichlet, objetivo de nuestro trabajo. Una vez finalizado el tema principal podremos dar algún resultado extra sobre la densidad de familias de números primos, que tendrá que ver con la función indicatriz de Euler, además de aproximarnos ligeramente a resultados más generales como el densidad de Chevotarev que hace estas mismas observaciones sobre un cuerpo de números cualquiera.

Given a prime p and an integer d > 1, we give a numerical criterion to decide whether the ℓ-adic sheaf associated to the one-parameter exponential sums t 7→P x ψ(xd + tx) over Fp has finite monodromy or not, and work out some explicit cases where this is computable.

We exhibit a rigid local system of rank six on the affine line in characteristic p = 5 whose arithmetic and geometric monodromy groups are the finite group 2.J2 (J2 the Hall-Janko sporadic group) in one of its two (Galois-conjugate) irreducible representation of degree six.

One problems which has lead the advance of number theory since the 20th century until now, is Hilbert’s twelfth problem, a problem which aims to find explicit generators for the maximal abelian extension of each number field. This problem has been solved in the case of quadratic imaginary number fields and has been extended to fields with complex multiplication. The objective of this thesis is to give the proof of the quadratic imaginary case. In order to do that, the tools needed will be studied. Those tools are: class field theory, modular forms and elliptic curves., Uno de los problemas abiertos que ha guiado el avance de la teoría de números desde el siglo XX hasta ahora, es el problema duodécimo de Hilbert, un problema que pretende encontrar generadores explícitos para la extensión abeliana maximal de cada cuerpo de números. Este problema se ha resuelto en el caso de los cuerpos de números cuadráticos imaginarios y se ha extendido a los cuerpos con multiplicación compleja. El objetivo de esta memoria será llegar a la prueba del caso cuadrático y para ello, se estudiarán las herramientas necesarias que son: la teoría de cuerpos de clase, las funciones modulares y las curvas elípticas.

We give explicit formulas for the local multiplicative convolution functors, which express the local monodromies of the convolution of two ℓ-adic sheaves on the torus Gm over the algebraic closure of a finite field in terms of the local monodromies of the factors. As a particular case, we recover Fu’s formulas for the local Fourier transform.

In order to study some number theoretical problems, algebraic number fields and their ring of integers have being introduced. In this dissertation rings of integers and their arithmetic properties will be studied. Since they don’t have unique factorization, in the second chapter ideals will be used to generalize it as unique factorization of ideals. This will be proved in the more general case of Dedekind domains. Afterwards, it will be given a measure of “how far” they are from being principal ideal domains called the class number. Since the moment all those concepts are introduced, the objective of this dissertation will be to give a formula which relates the class number with the zeta functions. In order to do this, in chapter 3, it will be proved Minkowski theorem which will be used to find a bound to the discriminant (an invariant of the number fields) and in chapter 4 it will be proved the Dirichlet’s unit theorem which gives the structure of the group of units in the ring of integers. Finally, in chapter 5 we get the formula., Para estudiar algunos problemas de teoría de números, se han introducido los cuerpos de números algebraicos y sus anillos de enteros. En esta memoria se estudiarán los anillos de enteros y sus propiedades aritméticas. Como estos no tienen necesariamente factorización única, en el segundo capítulo se usarán los ideales para generalizarlo como factorización única de ideales. Se probará en el caso más general de dominios de Dedekind. Después, se dará una medida de “cómo de lejos” están de ser dominio de ideales principales llamada número de clases. Desde el momento en el que todos estos conceptos se han introducido, el objetivo de la memoria será el de dar una fórmula que relacione el número de clases con las funciones zeta. Para hacer esto, en el capítulo 3, se probará el teorema de Minkowski que será usado para encontrar una cota del discriminante (un invariante de los cuerpos de números) y en el capítulo 4, se probará el teorema de Dirichlet que da la estructura del grupo de unidades en el anillo de enteros. Finalmente, en el capítulo 5 obtendremos la fórumla.