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La plupart des modèles en statistique classique repose sur une hypothèse sur la distribution des données ou sur une distribution sous-jacente aux données. La validité de cette hypothèse permet de faire de l’inférence, de construire des intervalles de confiance ou encore de tester la fiabilité du modèle. La problématique des tests d’ajustement vise à s’assurer de la conformité ou de la cohérence de l’hypothèse avec les données disponibles. Dans la présente thèse, nous proposons des tests d’ajustement à la loi normale dans le cadre des séries chronologiques univariées et vectorielles. Nous nous sommes limités à une classe de séries chronologiques linéaires, à savoir les modèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA ou VARMA dans le cas vectoriel). Dans un premier temps, au cas univarié, nous proposons une généralisation du travail de Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004) dans le cas où la moyenne est inconnue et estimée. Nous avons estimé les paramètres par une méthode rarement utilisée dans la littérature et pourtant asymptotiquement efficace. En effet, nous avons rigoureusement montré que l’estimateur proposé par Brockwell et Davis (1991, section 10.8) converge presque sûrement vers la vraie valeur inconnue du paramètre. De plus, nous fournissons une preuve rigoureuse de l’inversibilité de la matrice des variances et des covariances de la statistique de test à partir de certaines propriétés d’algèbre linéaire. Le résultat s’applique aussi au cas où la moyenne est supposée connue et égale à zéro. Enfin, nous proposons une méthode de sélection de la dimension de la famille d’alternatives de type AIC, et nous étudions les propriétés asymptotiques de cette méthode. L’outil proposé ici est basé sur une famille spécifique de polynômes orthogonaux, à savoir les polynômes de Legendre. Dans un second temps, dans le cas vectoriel, nous proposons un test d’ajustement pour les modèles autorégressifs à moyenne mobile avec une paramétrisation structurée. La paramétrisation structurée permet de réduire le nombre élevé de paramètres dans ces modèles ou encore de tenir compte de certaines contraintes particulières. Ce projet inclut le cas standard d’absence de paramétrisation. Le test que nous proposons s’applique à une famille quelconque de fonctions orthogonales. Nous illustrons cela dans le cas particulier des polynômes de Legendre et d’Hermite. Dans le cas particulier des polynômes d’Hermite, nous montrons que le test obtenu est invariant aux transformations affines et qu’il est en fait une généralisation de nombreux tests existants dans la littérature. Ce projet peut être vu comme une généralisation du premier dans trois directions, notamment le passage de l’univarié au multivarié ; le choix d’une famille quelconque de fonctions orthogonales ; et enfin la possibilité de spécifier des relations ou des contraintes dans la formulation VARMA. Nous avons procédé dans chacun des projets à une étude de simulation afin d’évaluer le niveau et la puissance des tests proposés ainsi que de les comparer aux tests existants. De plus des applications aux données réelles sont fournies. Nous avons appliqué les tests à la prévision de la température moyenne annuelle du globe terrestre (univarié), ainsi qu’aux données relatives au marché du travail canadien (bivarié). Ces travaux ont été exposés à plusieurs congrès (voir par exemple Tagne, Duchesne et Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) pour plus de détails). Un article basé sur le premier projet est également soumis dans une revue avec comité de lecture (Voir Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016))., Several phenomena from natural and social sciences rely on distribution’s assumption among which the normal distribution is the most popular. The validity of that assumption is useful to setting up forecast intervals or for checking model adequacy of the underlying model. The goodness-of-fit procedures are tools to assess the adequacy of the data’s underlying assumptions. Autoregressive and moving average time series models are often used to find the mathematical behavior of these phenomena from natural and social sciences, and especially in the finance area. These models are based on some assumptions including normality distribution for the innovations. Normality assumption may be helpful for some testing procedures. Furthermore, stronger conclusions can be drawn from the adjusted model if the white noise can be assumed Gaussian. In this work, goodness-of-fit tests for checking normality for the innovations from autoregressive moving average time series models are proposed for both univariate and multivariate cases (ARMA and VARMA models). In our first project, a smooth test of normality for ARMA time series models with unknown mean based on a least square type estimator is proposed. We derive the asymptotic null distribution of the test statistic. The result here is an extension of the paper of Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004), where they supposed the mean known and equal to zero. We use the least square type estimator proposed by Brockwell et Davis (1991, section 10.8) and we provide a rigorous proof that it is almost surely convergent. We show that the covariance matrix of the test is nonsingular regardless if the mean is known. We have also studied a data driven approach for the choice of the dimension of the family and we gave a finite sample approximation of the null distribution. Finally, the finite and asymptotic sample properties of the proposed test statistic are studied via a small simulation study. In the second project, goodness-of-fit tests for checking multivariate normality for the innovations from vector autoregressive moving average time series models are proposed. Since these time series models may rely on a large number of parameters, structured parameterization of the functional form is allowed. The methodology also relies on the smooth test paradigm and on families of orthonormal functions with respect to the multivariate normal density. It is shown that the smooth tests converge to convenient chi-square distributions asymptotically. An important special case makes use of Hermite polynomials, and in that situation we demonstrate that the tests are invariant under linear transformations. We observed that the test is not invariant under linear transformations with Legendre polynomials. A consistent data driven method is discussed to choose the family order from the data. In a simulation study, exact levels are studied and the empirical powers of the smooth tests are compared to those of other methods. Finally, an application to real data is provided, specifically on Canadian labour market data and annual global temperature. These works were exposed at several meeting (see for example Tagne, Duchesne and Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) for more details). A paper based on the first project is submitted in a refereed journal (see Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016)).

This thesis is divided into three parts with an additional introduction. In the first part, we propose a smooth goodness-of-fit test for the Pareto distribution family. This test is based on LeCam's theory of local asymptotic normality (LAN). We establish the behaviour of our test statistic firstly under the null hypothesis that the sample follows a Pareto distribution and secondly under local alternatives using the LAN framework. We also expose some simulation results in order to study the finite sample behaviour of the test statistic. In the next chapter, we are interested in the topic of extreme value theory under random censoring. We propose an estimator of the two parameters of the generalized Pareto distribution based on the Newton-Raphson algorithm for which we establish the asymptotic normality. A simulation study illustrates its behaviour and also compares our estimator to the maximum likelihood estimator. In the last chapter, we deal with an autoregressive model adapted to the Gumbel distribution to take the dependence between maxima into account. We derive some theoretical properties of this model and present some simulation results in order to assess the quality of our model on finite samples. Finally, since this model is motivated by practical applications in atmospheric sciences, we fit it on daily and weekly maxima of carbon dioxide and methane., Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.

This thesis is divided into three parts with an additional introduction. In the first part, we propose a smooth goodness-of-fit test for the Pareto distribution family. This test is based on LeCam's theory of local asymptotic normality (LAN). We establish the behaviour of our test statistic firstly under the null hypothesis that the sample follows a Pareto distribution and secondly under local alternatives using the LAN framework. We also expose some simulation results in order to study the finite sample behaviour of the test statistic. In the next chapter, we are interested in the topic of extreme value theory under random censoring. We propose an estimator of the two parameters of the generalized Pareto distribution based on the Newton-Raphson algorithm for which we establish the asymptotic normality. A simulation study illustrates its behaviour and also compares our estimator to the maximum likelihood estimator. In the last chapter, we deal with an autoregressive model adapted to the Gumbel distribution to take the dependence between maxima into account. We derive some theoretical properties of this model and present some simulation results in order to assess the quality of our model on finite samples. Finally, since this model is motivated by practical applications in atmospheric sciences, we fit it on daily and weekly maxima of carbon dioxide and methane.; Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.