Search

In this work, we study Banach spaces with tight bases and we prove dichotomies involving different types of minimality and new types of tightness. We introduce the notion of admissible system of blocks to code various kinds of embeddings between Banach spaces with Schauder bases. We extend the definition of tight Schauder basis and tight-with-constants Schauder basis to the case of Banach spaces with transfinite basis. We give characterizations of these notions in this context and study their properties. No presente trabalho, estudamos espaços de Banach com bases apertadas e provamos dicotomias que envolvem noções diferentes de minimalidade e novos tipos de bases apertadas. Introduzimos a noção de sistema admissível de blocos para codificar diferentes tipos de mergulhos entre espaços de Banach com base de Schauder. Também estendemos a definição de base de Schauder apertada e de base de Schauder apertada com constantes para o caso de espaços de Banach com base transfinita. Damos caracterizações de tais noções neste contexto e estudamos suas propriedades.

Esta dissertação discute alguns tópicos de teoria descritiva de conjuntos. Os assuntos abordados são árvores, seu espaço de ramos, jogos infinitos e sua determinação, em particular abordamos os teoremas de Gale-Stewart e da determinação de Borel. Em seguida a dissertação discute espaços poloneses, categoria topológica e suas interações com medida e combinatória, com interesse especial nas propriedades perfeita, de Baire e Lebesgue-mensurabilidade. Por fim, o texto aborda as consequências de alguns jogos topológicos sobre as propriedades perfeita e de Baire para subconjuntos de espaços poloneses. This dissertation discusses some topics of descriptive set theory. The subjects of interest are trees and their branch spaces, infinite games and their determinacy, in particular the theorems of Gale-Stewart and of Borel determinacy. Next the text develop some basic topological aspects of polish spaces, topological category and its interactions with measure and combinatorics, with special interest on the perfect property, Baire and Lebesgue measurability. Finally, we focus on consequences of determinacy, of three particular topological games, over the the perfect and Baire properties of subsets of polish spaces.

Este trabalho é uma contribuição ao estudo da geometria de larga escala de espaços de Banach e de grupos topológicos. Embora esses dois campos sejam tradicionalmente estudados de forma independente, em 2017, Christian Rosendal mostrou que eles podem ser encarados como faces distintas de algo maior: a geometria grosseira de grupos topológicos. Uma ferramenta essencial para o desenvolvimento dessa nova abordagem é a noção de estrutura coarse, introduzida por John Roe em 2003, a qual pode ser vista como a contraparte de larga escala do conceito de estrutura uniforme. Por essa razão, os capítulos iniciais da dissertação destinam-se a apresentar uma introdução elementar à teoria dos espaços uniformes e dos espaços coarse, destacando os conceitos-chave para a compreensão dos demais capítulos e conferindo particular atenção ao estudo de uniformidades e estruturas coarse associadas a grupos topológicos, dentre as quais são enfatizadas as estruturas uniforme à esquerda e coarse à esquerda de um grupo topológico. No capítulo 5, são discutidos resultados recentes de Christian Rosendal acerca da existência de mergulhos uniformes e mergulhos grosseiros entre espaços de Banach. Dois dos mais importantes afirmam que, se existir uma função f uniformemente contínua e não colapsada entre os espaços de Banach (X, ||·||_X) e (E, ||·||_E), então, para todo p em [1, + infty[, existirá um mergulho uniforme de (X, ||·||_X) em (l_p(E), ||·||_p) o qual é, também, um mergulho grosseiro, e que, se f for, também, limitada, existirá um mergulho grosseiro uniformemente contínuo de (X, ||·||_X) em (ExE, ||·||_(ExE)). Já no capítulo 6, estuda-se a classe das estruturas coarse invariantes à esquerda sobre grupos. Inicialmente, mostra-se como uma estrutura coarse invariante à esquerda em um grupo (G, · ) pode ser descrita em função de um certo ideal sobre G, e vice-versa. Em seguida, utiliza-se esse resultado para caracterizar a estrutura coarse à esquerda E_L de um grupo topológico (G, · , T) em termos da coleção dos conjuntos grosseiramente limitados em (G, E_L) e, com isso, provar que a estrutura coarse à esquerda associada ao grupo aditivo de um espaço normado coincide com a estrutura coarse limitada induzida pela norma. This work is a contribution to the study of large-scale geometry of Banach spaces and topological groups. Although these two fields are traditionally studied independently, in 2017, Christian Rosendal showed they can be regarded as different aspects of a more general theory: the coarse geometry of topological groups. An essential tool for the development of this new approach is the notion of coarse structure, introduced by John Roe in 2003, which can be seen as the large-scale counterpart of the concept of uniform structure. For this reason, the initial chapters of this work intend to present an elementary introduction to both uniform and coarse spaces theory, highlighting the key concepts for the understanding of the other chapters and paying particular attention to the study of uniform and coarse structures associated with topological groups, and, mainly, to the left-uniform and the left-coarse structures of a topological group. In Chapter 5, we discuss Rosendal\'s recent results on the existence of uniform and coarse embeddings between Banach spaces. Two of the most important state that, if there is an uncollapsed uniformly continuous function f between the Banach spaces (X, ||·||_X) and (E, ||·||_E), then, for all p in [1, + infty[, (X, ||·||_X) admits a simultaneously uniform and coarse embedding into (l_p(E), ||·||_p), and that, if, in addition, we assume that f maps into a bounded set, then (X, ||·||_X) also admits a uniformly continuous coarse embedding into (ExE, ||·||_(ExE)). On the other hand, in chapter 6, we focus our attention on the class of left-invariant coarse structures on groups. In the first section, we show how a left-invariant coarse structure on a group (G, · ) can be described in terms of a certain ideal on G, and vice versa. After that, we use this result to characterize the left-coarse structure E_L of a topological group (G, · , T) in terms of the collection of the coarsely bounded sets of (G, E_L) and, with this, we prove that the left-coarse structure associated with the additive group of a normed space is simply the bounded coarse structure induced by its norm.

Megrelishvili defines light groups of isomorphisms of a Banach space as the groups on which the weak and strong operator topologies coincide and proves that every bounded group of isomorphisms of Banach spaces with the point of continuity property (PCP) is light. We investigate this concept for isomorphism groups G of classical Banach spaces X without the PCP, especially isometry groups, and relate it to the existence of G-invariant LUR or strictly convex renormings of X. We give an example of a Banach space X and an infinite countable group of isomorphisms G < GL(X) which is SOT-discrete but such that X does not admit a distinguished point for G, providing a negative answer to a question of Ferenczi and Rosendal. We also prove that every combinatorial Banach space is (V)- polyhedral. In particular, the Schreier spaces of countable order provide new solutions to a problem proposed by Lindenstrauss concerning the existence of an infinite-dimensional Banach space whose unit ball is the closed convex hull of its extreme points. Megrelishvili define grupos leves de isomorfismos de um espaço de Banach como os grupos em que as topologias fraca e forte do operador coincidem e prova que todo grupo limitado de isomorfismos de espaços de Banach com a propriedade do ponto de continuidade (PCP) é leve. Investigamos esse conceito para grupos de isomorfismos de espaços de Banach clássicos sem PCP, especialmente grupos de isometrias, e o relacionamos com a existência de renormações G-invariantes LUR ou uniformemente convexas. Damos um exemplo de um espaço de Banach X e um grupo enumerável infinito de isomorfismos G < GL(X) que é SOT-discreto mas tal que X não admite ponto distinto em relação a G, fornecendo uma resposta negativa a uma questão de Ferenczi e Rosendal. Também provamos que todos espaços de Banach combinatórios são (V)-poliedrais. Em particular, os espaços de Schreier de ordem enumerável fornecem novas soluções para um problema proposto por Lindenstrauss sobre a existência de um espaço de Banach de dimensão infinita cuja bola unitária seja igual a envoltória convexa fechada de seus pontos extremos.

O principal objetivo desse trabalho é o estudo da questão da existência de isomorfismos entre as classes de Baire sobre [0,1]. Para isso, desenvolvemos os principais resultados concernentes às relações entre as classes de Baire sobre [0,1]. A saber: (1) As classes de Baire são isométricas como álgebras de Banach a espaços da forma C(K); (2) As classes de Baire são subespaços próprios umas das outras, até o primeiro ordinal não enumerável, onde elas estabilizam; (3) As classes de Baire não são subespaços complementados umas das outras; (4) As classes de Baire não são isométricas umas às outras como espaços de Banach. Por fim, apresentamos as respostas conhecidas para a questão isomórfica, sendo que para tal, utilizamos os resultados mencionados acima. The main purpose of this work is the study of the question about the existence of isomorphisms between the Baire classes on [0,1]. In order to do that, we develop the most important results concerning the relations between the Baire classes on [0,1]. Those results are: (1) The Baire classes are isometric as Banach algebras to spaces of the form C(K); (2) The Baire classes are proper subspaces each one of the others, until the first uncountable ordinal, when they stabilise; (3) The Baire classes aren\'t complemented subspaces each one of the others; (4) There aren\'t linear isometries between the Baire classes. Finally we presente the known answers to the isomorphic question, using for this the results mentioned above.

In this work we study twisted sums induced by complex interpolation, of Banach spaces as well as of operator spaces. In the first part of the thesis we focus on Banach spaces, and clarify how interpolation of families, as of couples, induces an extension of the interpolation space, called the derived space. We study how the types and cotypes of the spaces being interpolated determine the triviality or singularity of the derived space, and we apply the results to the study of submodules of the Schatten classes and in the obtainment of nontrivial twisted sums in which all of the three spaces in the short exact sequence do not have the approximation property. In the second part we develop the theory of twisted sums in the category of operator spaces and present many examples of twisted sums which are completely singular and completely nontrivial. In particular, we solve two versions of Palais\' problem for operator spaces. Neste trabalho estudamos somas torcidas induzidas por interpolação complexa, tanto de espaços de Banach como de espaços de operadores. Na primeira parte da tese focamos em espaços de Banach, e esclarecemos como a interpolação de famílias, assim como a de pares, gera uma extensão do espaço interpolado, chamada de espaço derivado. Estudamos como os tipos e cotipos dos espaços sendo interpolados influenciam na trivialidade ou singularidade do espaço derivado, e aplicamos os resultados para o estudo de submódulos das classes de Schatten e para a obtenção de somas torcidas não-triviais em que os três espaços da sequência exata curta não possuem a propriedade da aproximação. Na segunda parte, desenvolvemos a teoria de somas torcidas na categoria de espaços de operadores, e apresentamos vários exemplos de somas torcidas completamente singulares e completamente não-triviais nessa categoria. Em particular, resolvemos duas versões do problema de Palais para espaços de operadores.

Neste trabalho fazemos um estudo do conceito de soma torcida de F-espaços. Apresentamos algumas propriedades e simplificações na construção de somas torcidas de F-espaços localmente limitados. Em particular, estudamos uma condição suficiente para que uma soma torcida de espaços de Banach seja um espaço de Banach. Finalmente aplicamos esses conceitos para definir o espaço construído por N. J. Kalton, que é um exemplo de um espaço de Banach não isomorfo ao conjugado complexo. Este espaço X de Kalton corresponde a uma soma torcida de espaços de Hilbert, isto é, X possui um subespaço fechado E tal que E e X/E são isomorfos a espaços de Hilbert. In this work we study the concept of twisted sum of F-spaces. We also study some properties and simplifications in the construction of twisted sums of locally bounded F-spaces. In particular, we study a sufficient condition for a twisted sum of Banach spaces to be a Banach space. Finally we apply these concepts to define the space constructed by N. J. Kalton, which is an example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate. The Kalton space X is a twisted sum of Hilbert spaces, i.e. X has a closed subspace E such that E and X/E are isomorphic to Hilbert spaces.

Neste trabalho apresentamos alguns resultados da teoria de extrapolação desenvolvida pelo Nigel Kalton usando os conceitos de somas torcidas e espaço interpolado. In this paper we present some results of extrapolation theory developed by Nigel Kalton using the concepts of twisted sums and interpolated space.

No presente trabalho, estudamos alguns aspectos da teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Demonstramos que se um espaço de Banach real $X$ tem a propriedade $P$, então todas as estruturas complexas em $X$ também satisfazem $P$, quando $P$ é qualquer uma das seguintes propriedades: propriedade de aproximação limitada, \\emph{G.L-l.u.st}, ser injetivo e ser complementado num espaço dual. Abordamos o problema da unicidade de estruturas complexas em espaços de Banach com base subsimétrica, provando que um espaço de Banach real $E$ com base subsimétrica e isomorfo ao espaço de sequências $E[E]$ admite estrutura complexa única. Por outro lado, apresentamos um exemplo de espaço de Banach com exatamente $\\omega$ estruturas complexas distintas. Também usamos a teoria de estruturas complexas para estudar o clássico problema dos hiperplanos no espaço $Z_2$ de Kalton-Peck. Com o propósito de distinguir $Z_2$ de seus hiperplanos nos perguntamos se os hiperplanos admitem estrutura complexa. Nesse sentido, provamos que os hiperplanos de $Z_2$ contendo a cópia canônica de $\\ell_2$ não admitem estruturas complexas que sejam extensões de estruturas complexas em $\\ell_2$. Também construímos uma estrutura complexa em $\\ell_2$ que não pode-se estender a nenhum operador em $Z_2$. In this work, we study some aspects of the theory of complex structures in Banach spaces. We show that if a real Banach space $X$ has the property $P$, then all its complex structures also satisfy $P$, where $P$ is any of the following properties: bounded approximation property, \\emph{G.L-l.u.st}, being injective and being complemented in a dual space. We address the problem of uniqueness of complex structures in Banach spaces with subsymmetric basis by proving that a real Banach space $E$ with subsymmetric basis and isomorphic to the space of sequences $E [E]$ admits a unique complex structure. On the other hand, we show an example of Banach space with exactly $\\omega$ different complex structures. We also use the theory of complex structures to study the classical problem of hyperplanes in the Kalton-Peck space $Z_2$. In order to distinguish between $Z_2$ and its hyperplanes we wonder whether the hyperplanes admit complex structures. In this sense we prove that no complex structure on $\\ell_2$ can be extended to a complex structure on the hyperplanes of $Z_2$ containing the canonical copy $l_2$. We also constructed a complex structure on $l_2$ that can not be extended to any operator in $Z_2$.

No presente trabalho, estudamos a propriedade da c0-extensão no contexto de espaços de funções contínuas denidas numa reta compacta e tomando valores em R. Nosso principal resultado é que se K é uma reta compacta, então todo subespaço fechado e com dual separável de C(K) possui a propriedade da c0-extensão em C(K) e portanto, o espaço C(K) tem a propriedade de Sobczyk. Também apresentamos uma caracterização das funções phi: K --> L contínuas, crescentes e sobrejetoras entre retas compactas para as quais a subálgebra de Banach phi*C(L) possui a propriedade da c0-extensão em C(K). In this work, we study the c0-extension property in the context of spaces of continuous real-valued functions defined in a compact line. Our main result states that if K is a compact line, then every closed subspace of C(K) with separable dual has the c0-extension property in C(K) and therefore, the space C(K) has the Sobczyk property. We also present a characterization of the continuous order-preserving surjective maps phi : K --> L between compact lines such that the Banach subalgebra phi*C(L) has the c0-extension property in C(K).

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C0(K1,X) é isomorfo a C0(K2,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C. Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1,X) em C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo n ∈ N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1) em um subespaço de C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3, então a cardinalidade do α-ésimo derivado de K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do α-ésimo derivado de K1, para todo ordinal α. Em seguida, seja n um inteiro positivo, Γ um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K,X) e C0(Γ,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,ωnk],X) e C0(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970. Para um ordinal enumerável α, denotando por C(α) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, α], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωnk), 1 < n, k < ω, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(ω) e cada um dos espaços C(α), &omega