Search

International audience; In this paper we venture a new look at the linear isotropic indeterminate couple stress model in the general framework of second gradient elasticity and we propose a new alternative formulation which obeys Cauchy-Boltzmann's axiom of the symmetry of the force stress tensor. For this model we prove the existence of solutions for the equilibrium problem. Relations with other gradient elastic theories and the possibility to switch from a {4th order} (gradient elastic) problem to a 2nd order micromorphic model are also discussed with a view of obtaining symmetric force-stress tensors. It is shown that the indeterminate couple stress model can be written entirely with symmetric force-stress and symmetric couple-stress. The difference of the alternative models rests in specifying traction boundary conditions of either rotational type or strain type. If rotational type boundary conditions are used in the partial integration, the classical anti-symmetric nonlocal force stress tensor formulation is obtained. Otherwise, the difference in both formulations is only a divergence--free second order stress field such that the field equations are the same, but the traction boundary conditions are different. For these results we employ a novel integrability condition, connecting the infinitesimal continuum rotation and the infinitesimal continuum strain. Moreover, we provide the complete, consistent traction boundary conditions for both models.

In a series of papers which are either published [A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Couple stress theory for solids, Int. J. Solids Struct. 48, 2496-2510, 2011; A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Fundamental solutions for isotropic size-dependent couple stress elasticity, Int. J. Solids Struct. 50, 1253-1265, 2013] or available as preprints Hadjesfandiari and Dargush have reconsidered the linear indeterminate couple stress model. They are postulating a certain physically plausible split in the virtual work principle. Based on this postulate they claim that the second-order couple stress tensor must always be skew-symmetric. Since they use an incomplete set of boundary conditions in their virtual work principle their statement contains unrecoverable errors. This is shown by specifying their development to the isotropic case. However, their choice of constitutive parameters is mathematically possible and still yields a well-posed boundary value problem., arXiv admin note: text overlap with arXiv:1504.00868

В работе рассмотрены нелокальные теории упругости, включая модели сред с полями дефектов, градиентные теории упругости и гибридные нелокальные теории упругости. Проведен анализ градиентных теорий, исследованы признаки их корректности, построены прикладные теории, удовлетворяющие условиям корректности, приведено тестирование известных прикладных градиентных теорий на свойства корректности. Развита новая нелокальная обобщенная теория, для которой оператор уравнений баланса представляется в виде произведения оператора равновесия классической теории упругости и оператора Гельмгольца. Показано, что такая теория является однопараметрической и единственной из класса гибридных моделей, строящихся по полной системе уравнений для сил и моментов. В отличие от классической упругости, в которой нет масштабных параметров, характеризующих внутреннюю структуру материала, в нелокальных теориях упругости такие параметры появляются естественным образом. Поэтому они подходят для моделирования масштабных эффектов и находят применение при решении многочисленных прикладных задач для неоднородных структур с развитой границей раздела фаз, где степень влияния масштабных эффектов связана плотностью межфазных границ. Особенно привлекательными нелокальные модели сплошных сред являются при моделировании свойств различных микро/наноструктур, упругих свойств композиционных материалов и структурированных материалов с субмикронными и наноразмерными внутренними структурами, в которых эффективные свойства в значительной степени определяются масштабными эффектами (эффектами ближнего взаимодействия когезии и адгезии). Обобщенные теории упругости даже для изотропных материалов включают много дополнительных физических постоянных, экспериментальное определение которых затруднено или вовсе не возможно. В связи с этим значительный интерес представляют прикладные теории с малым числом дополнительных физических параметров. Однако процесс редукции нелокальных теорий, имеющий цель уменьшить число дополнительных параметров, является не вполне тривиальным и может приводить к некорректным результатам. Целью данной работы является исследование свойств симметрии в градиентных теориях, анализ корректности градиентных теорий и развитие прикладных однопараметрических теорий упругости., The paper discusses nonlocal theories of elasticity, including models of media with defect fields, gradient theories of elasticity and hybrid nonlocal theories of elasticity. Gradient theories are analyzed and their correctness characteristics are studied. Applied theories that satisfy the correctness conditions are developed and known applied gradient theories are verified for the correctness characteristics. A new nonlocal generalized theory has been developed for which the operator of the balance equation is represented as the product of the equilibrium operator of the classical theory of elasticity and Helmholtz operator. It is shown that this theory is one-parameter and the only representative of hybrid models constructed by a complete system of equations for forces and torques. Unlike classical elasticity that is free from scale parameters characterizing the internal structure of the material, nonlocal theories of elasticity naturally incorporate these parameters. That is why they are suitable for the modeling of scale effects and find application in the solution of numerous applied problems for heterogeneous structures with developed phase interfaces where the degree of influence of scale effects is related to the density of phase boundaries. Nonlocal continuum models are especially attractive for modeling the properties of various micro/nanostructures, elastic properties of composite materials and structured materials with submicronand nanosized internal structures in which effective properties are to a great extent defined by scale effects (short-range interaction effects (cohesion) and adhesion). Generalized theories of elasticity even for isotropic materials contain many additional physical constants that are difficult or impossible to determine experimentally. Applied models with a small number of additional physical parameters are therefore of great interest. However, the reduction of nonlocal theories aimed at reducing the number of additional parameters is a nontrivial task and may lead to incorrect theories. The goal of this paper is to study the symmetry properties in gradient theories, to analyze the correctness of gradient theories and to develop applied one-parameter theories of elasticity.