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Orientador: Gabriel Ponce Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta dissertação tem como principal objetivo estudar as propriedades fundamentais dos sistemas dinâmicos centrando nossa atenção nos difeomorfismos de Anosov de classe C2. Faremos observações sobre caraterísticas relevantes para esta classe de difeomorfismo, sendo nosso resultado principal a ergodicidade destes difeomorfismos. A demonstração da ergodicidade de tais difeomorfismos será feita a partir de uma análise geométrica, usando o argumento de Hopf, mostrando primeiro a existência e continuidade absoluta das folheações estável e instável e então usando o argumento de Hopf concluir a ergodicidade dos difemorfismos de Anosov Abstract: This thesis aims to study of the fundamental properties of the dynamical systems focusing our attention on the Anosov diffeomorphism of class C2. We will make observations about relevant characteristics of this class of diffeomorphism, being our main result that these diffeomorphisms are ergodic. The proof of the ergodicity of Anosov diffeomorphismos will be made from a geometric analysis using the Hopf argument showing first the existence and absolute continuity of the stable and unstable foliations, and then using Hopf¿s argument to conclude the ergodicity of Anosov¿s difemorphisms Mestrado Matemática Mestra em Matemática FAEPEX 2242/17

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Considere uma variedade folheada M e uma equação diferencial estocástica (EDE) cujas trajetórias sobre uma folha compacta. Neste trabalho, estudaremos o comportamento de uma pequena perturbação transversal. Uma estimativa para a taxa de convergência nas folhas será dada. No segundo capítulo deste trabalho, um princípio da média é aplicado para se mostrar que a componente transversal às folhas converge para a solução de uma EDO determinística na direção transversal. Por fim, no terceiro capítulo, o princípio anunciado para semimartingales contínuos, será generalizado para processos de Levy que contém uma componente de salto (na direção horizontal) Abstract: Consider an Stochastic Differential Equation (SDE) driven by continuous semimartingales on a foliated manifold whose trajectories lay on compact leaves. We study the effective behavior of a small transversal perturbation . An estimate of the rate of convergence is given. In the second chapter, an average principle is shown to hold such that the component transversal to the leaves converges to the solution of a deterministic ODE . After that, in the third chapter, we generalize the principle established for continuous semimartingales to Lévy diffusions containing a jump component. We give upper bounds for the rates of convergence and illustrate these results for the random rotations on the circle Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 134552/2016-4

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) O objetivo principal deste trabalho é apresentar alguns resultados recentes na teoria de folheações polares, também chamadas de folheações riemannianas singulares com seções, em variedades de curvatura não positiva, presentes no artigo [24]. As ações polares também são estudadas, pois são objetos de pesquisa ativa que motivam e ilustram o estudo das folheações polares. Fornecemos uma demonstração de que não existem folheações polares próprias em variedades compactas de curvatura não positiva. Além disso, apresentamos um resultado que descreve globalmente as folheações polares próprias em variedades de Hadamard. Abordamos este resultado também no contexto particular das ações polares, utilizando a teoria de subvariedades taut. As ações adjunta e por conjugação são brevemente estudadas como exemplos clássicos de ações polares. This work aims at presenting some recent results on the theory of polar foliations, also know as singular riemannian foliations with sections, on nonpositively curved manifolds, as seen in T oben [24]. Polar actions are also studied, for they are active research subject that motivate and illustrate polar foliations. We give a proof of the nonexistence of proper polar foliations on compact manifolds of nonpositive curvature. Then we present a result that globally describes proper polar foliations on Hadamard manifolds. We prove this same result in the special case of polar actions by using the theory of taut submanifolds. The adjoint and conjugation actions are brie y presented as classical examples of polar actions.

Orientador: Paulo Régis Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Seja (M,?) uma variedade Riemanniana compacta folheada. Consideramos uma família de semigrupos Feller compatível em C(Mn) associada as leis de um processo Markoviano de n-pontos. Com algumas condições (Le Jan e Raimond [34]) existe um fluxo estocástico de aplicações mensuráveis em M. Estudamos aqui a degenerescência desses semigrupos tais que o fluxo de aplicações seja folheado, ou seja, cada trajetória permanece na folha em que começou q.s. e portanto cria uma obstrução geométrica natural para a coalescência de trajetórias em folhas distintas. Como uma aplicação dessa teoria, um princípio de médias é provado para uma perturbação de primeira ordem transversal as folhas. Estimativas de taxas de convergências também são dadas Abstract: Let (M,?) be a compact Riemannian foliated manifold. We consider a family of compatible Feller semigroups in C(Mn) associated to laws of the n-point motion. Under some assumptions (Le Jan and Raimond [34]) there exists a stochastic flow of measurable mappings in M. We study the degeneracy of these semigroups such that the flow of mappings is foliated, i.e. each trajectory lays in a single leaf of the foliation a.s, hence creating a geometrical obstruction for coalescence of trajectories in different leaves. As an application, an averaging principle is proved for a first order perturbation transversal to the leaves. Estimates for the rate of convergence are calculated Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese, estudamos um princípio de médias em equações diferenciais estocásticas sobre variedades folheadas com folhas compactas. Começaremos introduzindo o princípio de médias sobre equações diferenciais ordinárias reais. A título de comparação vamos rever conceitos básicos de variedade simplética com a finalidade de comparar/estender os resultados obtidos por Xue-Mei Li sobre um princípio de médias para um sistema Hamiltoniano estocástico completamente integrável. Nosso principal resultado é generalizar estas idéias para o caso de uma variedade M = (-a; a)n x N, onde N é uma variedade compacta sem bordo. Em particular mostraremos nossos resultados para o caso que a folheação é gerada por uma submersão de M sobre Rn. Finalmente apresentamos alguns exemplos Abstract: In this thesis, we study the averaging principle for stochastic differential equations on foliated manifolds with compact leaves. We begin by introducing the averaging principle over real ordinary differential equations. For comparison we will review basic concepts of symplectic manifold in order to compare/extend the results obtained by Xue-Mei Li about a averaging principle for a completely integrable stochastic Hamiltonian system. Our main result is to generalize these ideas to the case of a manifold M = (-a; a)n x N, where N is a compact manifold without boundary. In particular our results show for the case that foliation is generated by an submersion of M over Rn. Finally we present some examples Doutorado Matemática Doutor em Matemática