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Orientadores: Jose Mario Martinez, Sandra Augusta Santos Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Em ciência e engenharia existe uma vasta classe de problemas que consistem em resolver um sistema de equações diferenciais parciais para encontrar as variáveis (como velocidade, temperatura, deslocamento, etc), dada a informação de decisão necessária (como domínio, condições iniciais e de contorno, etc). Entretanto, para os problemas reais são muito comuns situações em que a informação de decisão seja incompleta e contenha erros, e, por outro lado, exista alguma informação sobre as variáveis de estado, obtida de uma outra simulação ou de algum tipo de observação (dados observados). Uma forma natural de resolver esse tipo de problema, utilizando toda a informação de decisão, é interpretá-lo como um problema de otimização. Ou seja, minimizar alguma função objetivo escolhida como a distância entre os dados observados e as variáveis de estado, sujeito à discretização do sistema. Neste trabalho propomos um método Quase-Newton para resolver o problema EDP restrito utilizando como modelos a equação unidimensional de Rossby-Obukhov e a equação de Kortewegde Vries. Um aspecto muito importante do método é não ter restrição de estabilidade para escolha dos passos na discretização das equações diferenciais. Um outro é poder utilizar passos maiores, em comparação com os métodos tradicionais evolutivos como diferenças finitas. Foi realizado um grande número de testes computacionais. Os resultados obtidos foram muito promissores, mostrando a robustez do método e a possibilidade de resolver problemas de grande porte. Abstract: In science and engeneering there is a wide class of problems that consist in solving a system of partial differential equations to find variables (such as velocity, temperature, displacement, etc.), given the necessary decision information (such as domain, initial and boundary conditions, etc.). However,it is very common for real problems that the decision information is incomplete and contains errors. On the other hand, there is some additional information about state variables, which come from other simulation or some kind of observations (observed data). A natural way to solve this kind of problem, using all the decision information, is to interpret it as an optimization problem. That is, minimize an objective function chosen such as distance between the observed data and the state variables, subject to the system discretization. In this work, we propose a Quasi-Newton method to solve the PDE-constrained problem using as models the unidimensional Rossby-Obukhov and Korteweg-de Vries equations. A very importante aspect of the method is that there is no stability restriction for the stepsize in the differential equations discretization. Another aspect is to be able to use stepsizes larger than the ones used in traditional evolutive methods such as finite differences. A large number of computational test was performed. The results were promising and showed the robustness of the method and its ability to solve large scale problems. Doutorado Otimização Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto Tese (doutorado )- Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Nos últimos anos, a otimização topológica vem sendo amplamente adotada nas indústrias automotiva e aeroespacial, e no projeto de um tipo especial de estruturas, denominado mecanismo flexível. Grande parte dos trabalhos na área de otimização topológica considera que a estrutura possui uma relação linear entre deformações e deslocamentos, ou seja, supõe-se que os deslocamentos sofridos pela estrutura sejam pequenos. Todavia, para algumas estruturas, essa hipótese não é válida, sendo necessário supor que os deslocamentos são grandes, o que implica numa relação não linear entre deformações e deslocamentos. Nesse caso, dizemos que a estrutura está sob não linearidade geométrica. O objetivo desta tese de doutorado é a obtenção da topologia ótima de estruturas e de mecanismos flexíveis sob não linearidade geométrica através um novo algoritmo de otimização, denominado Programação Linear por Partes Sequencial (PLPS). Este método consiste na resolução de subproblemas de programação linear por partes convexas, onde são introduzidas informações sobre a diagonal da matriz Hessiana da função objetivo. Para acelerar o algoritmo, tais subproblemas são convertidos em problemas de programação linear. Provamos que a PLPS é globalmente convergente a pontos estacionários. Além disso, nossos experimentos numéricos realizados com estruturas e mecanismos flexíveis sujeitos a grandes deslocamentos mostram que a PLPS é eficiente e robusta Abstract: In the last years, topology optimization has been broadly applied in the automotive and aerospatial industries, and to a special kind of structure, named compliant mechanism. Most papers on topology optimization consider that the structure has a linear relation between strains and displacements, meaning that the displacements of the structure are small. However, for some structures this assumption is not valid, and it is necessary to suppose that the displacements are large, implying in a nonlinear relation between strains and displacements. In this case, we say that the structure is under geometrical nonlinearity. The objective of this doctoral thesis is to obtain the optimum topology of structures and compliant mechanisms under geometrical nonlinearity through a new optimization algorithm, named Sequential Piecewise Linear Programming (SPLP). This method consists in the solution of convex piecewise linear programming subproblems that contain information about the diagonal of the Hessian matrix of the objective function. To speed up the algorithm, these subproblems are converted into linear programming ones. We prove that the SPLP is globally convergent to stationary points. Besides, our numerical experiments with structures and compliant mechanisms under large displacements also show that the SPLP is efficient and robust Doutorado Matemática Aplicada - Otimização Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Sandra Augusta Santos, José Mário Martinez Pérez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho apresentamos o estudo de dois algoritmos baseados em regiões de confiança para minimização de problemas suaves com restrições lineares. O primeiro algoritmo proposto, com uma estratégia de restrições ativas, foi desenvolvido a partir do trabalho de Gay. O segundo algoritmo apresentado explora a técnica de pontos interiores presente nos métodos de barreira. Ambos são acompanhados de respectivos resultados de boa definição e de convergência global e local. Os dois algoritmos foram testados para a resolução de problemas de distribuição de pontos em polígonos, utilizando o algoritmo de Rojas, Santos e Sorensen, livre de fatorações de matrizes, para resolver os subproblemas internos de região de confiança. O problema dos pontos no polígono não foi encontrado na literatura para o teste de algoritmos de otimização e pode ser visto como uma modificação do problema de distribuição de pontos em caixas, sugerido por Powell. Embora possua estrutura favorável para a geração de problemas com dimensão variável, e potencialmente de grande porte, no contexto livre de fatorações, trata-se de um problema difícil e desafiador, com uma grande quantidade de minimizadores locais. Experimentos numéricos comparativos entre as propostas foram feitos e analisados, indicando que os algoritmos são efetivos na obtenção de pontos estacionários de segunda ordem, com ligeira vantagem para o desempenho do algoritmo baseado em restrições ativas, em termos do tempo computacional empregado Abstract: In this work two trust-region-based algorithms are analyzed for linearly constrained minimization. The first one is an active-set method, based on Gay's ideas. The second one uses interior-point techniques of barrier methods. Both algorithms are proved to be well defined and accompanied by the respective convergence results. The implementation was developed resting upon Rojas, Santos and Sorensen matrix-free algorithm for solving the inner trust-region subproblems. The family of adopted test-problems involves the distribution of points in a polygon, a modification of Powell's problem of distributing points in a square. Despite its favorable structure for generating instances with variable and potentially large dimension, in the matrix-free context, the problem is indeed hard and challenging, with many local minimizers. Comparative computational experiments illustrate the performance of the proposed algorithms, showing that both are effective to obtain second-order stationary points, with a slight advantage of the active-set-based algorithm when it comes to the CPU time spent Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Jose Mario Martinez Perez, Sandra Augusta Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Este trabalho aborda o problema de Otimizaçâo do Valor Ordenado e tem por objetivo investigar o papel desempenhado pelas estratégias de ordenação, com vistas a aplicações na área de avaliação de risco. São apresentados alguns métodos clássicos de ordenação, bem como algoritmos e adaptações para determinar o elemento que ocupa uma dada posição num vetor. Por meio de experimentos numéricos, foi possével comparar o desempenho desses métodos e verificar qual mostrou-se mais eficiente para o problema de determinação de uma dada estatística de ordem Abstract: This paper deals with the Order-Value Optimization problem and it aims to investigate the role played for the sorting strategies, with sights the applications in the area of risk evaluation. Some classic methods for sorting are presented, as well as algorithms and adaptations to determine the element that occupies a given position in a vector. Throughout numerical experiments, it was possible to compare the performance of these methods and to verify which of them revealed more efficient towards the problem of determination of a given order statistics Mestrado Otimização Mestre em Matemática Aplicada

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Um problema clássico na otimização topológica é a minimização da flexibilidade de uma estrutura estática sujeita a um carregamento externo, com um volume predefinido. O método das densidades ou Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) foi usado para resolver esse problema em conjunto com alguns métodos de otimização não linear. No caso de o problema em questão ter múltiplos materiais, generalizações do método SIMP podem ser adotados para encontrar a solução do problema, incrementando o número de variáveis de projeto para representar os materiais. Recentemente, o método SIMP ordenado foi introduzido para resolver o problema de otimização topológica com múltiplos materiais sem adicionar variáveis para representar os materiais. Outra estratégia adotada que utiliza a generalização do método SIMP é o algoritmo da fase ativa alternada. O objetivo desta tese de doutorado é obter a topologia ótima de estruturas com múltiplos materiais usando um novo algoritmo da fase ativa alternada. O presente algoritmo descompõe o problema de otimização com múltiplos materiais numa serie de subproblemas de otimização topológica com dois materiais que são resolvidos de forma inexata, de maneira sequencial, por algum método de otimização não linear. As coordenadas da solução inexata são atualizadas através da estrategia do método de descida coordenado por blocos, conhecido como método de Gauss - Seidel. As principais características desse algoritmo são sua fácil implementação e a eficiência para resolver problemas de otimização topológica de grande porte com múltiplos materiais. Os resultados numéricos apresentados mostram o bom desempenho do algoritmo para resolver problemas de otimização topológica em duas dimensões. Abstract: A classical problem in topology optimization is the minimization of the compliance of a static structure subject to an external loading, with a predefined volume. The Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) method was used to solve this problem in combination with some nonlinear optimization methods. In case the problem has multiple materials, generalizations of the SIMP method can be adopted to find the solution of the problem by increasing the number of design variables to represent the materials. Recently, the ordered SIMP method was introduced to solve multimaterial topology optimization problems without additional variables to represent the materials. Another strategy that uses a generalization of the SIMP method is the alternating active phase algorithm. The objective of this doctoral thesis is to obtain the solution of multimaterial topology problems using a new alternating active phase algorithm. This algorithm splits the multimaterial topology optimization into a series of topology optimization subproblems with two materials that are inexactly solved in a sequential manner by some nonlinear optimization method. The coordinates of the inexact solution are updated using the block coordinate descend method, also known as the Gauss - Seidel method. The main characteristics of this algorithm are its easy implementation and its efficiency to solve large multimaterial topology optimization problems. The numerical results show the success of the algorithm for the solution of topology optimization problems in two dimensions. Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada CAPES 001

Orientador: Luis Felipe Cesar da Rocha Bueno Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho propõe uma abordagem didática acerca de otimização não linear irrestrita e com restrições de igualdade, assim como um guia para o leitor que necessita instalar e utilizar o software ALGENCAN. Prezando por explorar ideias intuitivas do tema, o texto foca em estudar, muitas vezes geometricamente, problemas irrestritos e problemas com restrições de igualdade. Para o caso sem restrições é enfatizada a relação entre métodos de otimização e métodos para zeros de sistemas não lineares, destacando o Método de Newton. Métodos do tipo Lagrangiano Aumentado são o enfoque principal, particularmente em ALGENCAN, que é uma de suas implementações mais bem estabelecidas na literatura. As dificuldades encontradas em métodos computacionais para resolver problemas simétricos de otimização não linear com restrições também são estudadas. São apresentados vários exemplos simples de como a simetria do problema afeta o bom desempenho do método e as alternativas para contornar estes obstáculos. Além do mais, testes mais completos usando a coleção CUTEst comprovam que o algoritmo modificado que introduzimos é, pelo menos, tão competitivo quanto a versão original de ALGENCAN Abstract: This work proposes a didactic approach concerning nonlinear unconstrained optimization and nonlinear equality constrained optimization, as well as a guide for the readers who need to install and use the ALGENCAN software. Exploring intuitive ideas of the subject, the focus of the text is to study, often in a geometric way, unconstrained problems and problems with equality constraints. For the case of unconstrained problems, it will be emphasized the relationship between optimization methods and methods for nonlinear systems, highlighting the Newton's Method. The main focus will be on the Augmented Lagrangian Method, particularly on ALGENCAN, which is one of the most well-established implementations in the literature. The difficulties found in computational methods to solve symmetric problems of nonlinear constrained optimization will be also studied. It will be shown, through several simple examples, how the symmetry of the problem affects the good performance of the method and the alternatives to overcome these difficulties. Moreover, more complete tests using CUTEst will be done, which will confirm that the modified algorithm introduced by us is, at least, as efficient as the original version of ALGENCAN Mestrado Matemática Aplicada e Computacional Mestre em Matemática Aplicada e Computacional

Orientadores: Roberto Andreani, Santos, Sandra Augusta Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese apresentamos estratégias para resolver uma classe importante de problemas de tomada de decisões. Nosso propósito consiste em minimizar uma determinada função objetivo escalar F(x), com conjunto viável um conjunto propriamente eficiente do problema multiobjetivo min f(x), com f(x) função vetorial. Este problema é formulado como um problema em dois níveis, onde com um escalamento conveniente, podemos garantir pontos propriamente eficientes do problema vetorial do níivel inferior, usando resultados de Geoffrion (1968). Este tipo particular de ponto é útil para a tomada de decisões ótimas sem negligenciar nenhum dos objetivos da função vetorial. Também analisamos uma dificuldade presente nos métodos de Restauração Inexata na resolução de problemas com restrições de complementaridade e, mostramos o artifício para contornar a complicação. Para resolver o problema em dois níveis apresentamos estratégias de Restauração Inexata (RI) e as comparamos com a estratégia da reformulação, na qual se utilizam as condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) do problema do segundo nível como restrições de um problema de programação não linear. Também apresentamos resultados numéricos que evidenciam que as estratégias de RI são melhores que a reformulação KKT Abstract: In this thesis, we present strategies for solving an important class of problems in the decision making. The problem consists in minimising a determinate objective function scalar F(x), where x is a properly efficient point of the multiobjective problem min f(x), with f(x) vectorial function. This problem is formulated as a bilevel problem, where with a convenient scaling, we can guarantee points properly efficient of the vectorial problem of the inferior level, cf. Geoffrion (1968). This particular type of point is useful for making optimum decisions without neglecting any of the objectives of the vectorial function. We have also detected a difficulty of the Inexact Restauration methods in the resolution of problems with complementarity constraints and show an artifice for solving the complication. To solve the bilevel problem, we present strategies of Inexact Restoration and compare them with the traditional strategy that uses the KKT conditions of the problem from the second level. We also present numerical experiments that evidence that the RI strategies are better than the traditional method Doutorado Matemática Aplicada Doutora em Matemática Aplicada CNPQ

Orientador: José Mario Martínez Pérez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, serão propostos modelos matemáticos para problemas de empacotamento não reticulado de esferas em regiões limitadas por quadráticas no plano e no espaço. Uma técnica para construir representações ou parametrizações será introduzida, mediante a qual será possível encontrar um sistema de desigualdades que determinam o empacotamento de um número fixo de esferas. Desta forma, resolvemos o problema de empacotamento de esferas através de uma sequência de sistemas de desigualdades. Finalmente, para obter resultados eficientes, minimizaremos a função de sobreposição, usando o método do Lagrangiano Aumentado Abstract: In this work, we will propose mathematical models for not latticed packing of spheres problems in regions bounded by quadratic in the plane and in the space. A technique to construct representations or parameterizations will be introduced, by which it will be possible to find a system of inequalities which determine the packing of a fixed number of spheres. Thus, we solve the problem of packing spheres through a sequence of systems of inequalities. Finally, to obtain effective results, we will minimize the overlay function using the Augmented Lagrangian Method Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: José Mario Martínez Pérez, Margarida Pinheiro Mello Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos inicialmente o problema da reconstrução 3D de uma proteína dadas as distâncias entre pares de átomos de sua estrutura. Formulamos a situação como um problema de otimização não linear com função objetivo contínua no domínio de variáveis e mostramos através de experimentos computacionais que a estrutura original da proteína é recuperada mesmo quando admitimos conhecidas apenas um subconjunto de distâncias intra- átomos. Em seguida, estudamos problema da representação de um conjunto de proteínas comparadas em relação as suas estruturas tridimensionais. Propomos algumas formulações para este problema onde as proteínas são representadas por objetos em espaços euclidianos e elaboramos também um procedimento para classificar proteínas novas sem a necessidade de realizar exaustivas comparações estruturais envolvendo as proteínas analisadas Abstract: In this work we initially study the problem of reconstruct the 3D structure of a protein given the distances between pairs of its atoms. We formulate this situation as a nonlinear optimization problem with a continuous objective function over the domain of variables. We show by computational experiments that the original protein structure is recovered even when we do not use all the distances between its atoms. Next, we study the problem of representing a set of proteins. The proteins are compared with respect to their 3D structures. We propose some formulations to this problem, where the proteins are represented by objects in euclidean spaces and we elaborate also a form of use these representations to classify new proteins without perform many comparisons between the analyzed structures Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: José Mario Martínez Pérez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Algoritmos de programação não-linear práticos podem convergir para pontos inviáveis mesmo quando o problema a ser resolvido é viável. Quando isso ocorre, é natural que o usuário mude o ponto inicial e/ou parâmetros algorítmicos e reaplique o método na tentativa de encontrar uma solução viável e ótima. Desta forma, o ideal é que um algoritmo não só seja eficiente em encontrar soluções viáveis, mas também que detecte rapidamente quando ele está fadado a convergir para um ponto inviável. Na tentativa de atingir esse objetivo, apresentamos modificações em um algoritmo baseado em Lagrangiano aumentado de modo que, no caso de convergência para um ponto inviável, os subproblemas são resolvidos com tolerâncias moderadas e, mesmo assim, as propriedades de convergência global são mantidas. Experimentos numéricos são apresentados Abstract Practical Nonlinear Programming algorithms may converge to infeasible points even when the problem to be solved is feasible. When this occurs, it is natural for the user to change the starting point and/or algorithmic parameters and reapply the method in an attempt to find a feasible and optimal solution. Thus, the ideal is that an algorithm is eficient not only in finding feasible solutions, but also in quickly detecting when it is fated to converge to an infeasible point. In pursuit of this goal, we present modifications of an algorithm based on Augmented Lagrangians so that, in the case of convergence to an infeasible point, the subproblems are solved with moderate tolerances and, even then, the global convergence properties are maintained. Numerical experiments are presented Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: José Mario Martínez Perez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Resumo: Nesse trabalho serão propostos métodos de Lagrangiano Aumentado para tratar problemas com restrições do tipo LOVO, serão propostos novos métodos de Restauração Inexata e será introduzido o conceito de Equilíbrio Inverso de Nash. Teoremas sobre condições de otimalidade para problemas do tipo LOVO serão apresentados. Um algoritmo do tipo Lagrangiano Aumentado será proposto para abordar esse problema e teoremas de convergência global serão demonstrados. Resultados computacionais serão realizados para uma aplicação em otimização de carteiras em investimentos de grande impacto. Um método híbrido de Restauração Inexata será proposto combinando uma modificação, que usa o Lagrangiano Afiado como função de mérito, do método global de Fischer e Friedlander e o método local de Birgin e Martínez. Teoremas de convergência global e local serão apresentados. Um método de Restauração Inexata para problemas em que as derivadas da função objetivo não estejam disponíveis será introduzido. Nesse método todas as ferramentas da otimização tradicional serão usadas na fase de restauração e uma regularização será feita na fase de otimização. Teoremas de convergência global serão demonstrados e resultados numéricos apresentados. O conceito de Equilíbrio Inverso de Nash será introduzido e um método de Restauração Inexata será proposto para abordar esse problema. Esse método será uma extensão de um novo método de Restauração Inexata para problemas em dois níveis que também será proposto neste trabalho. Exemplos ilustrativos para uma aplicação para o problema de equilíbrio de Arrow-Debreu serão exibidos Abstract: In this work an Augmented Lagrangian method will be proposed to deal with LOVO constraints, also some new Inexact Restoration methods will be presented and the Inverse Nash Equilibrium concept will be introduced. Theorems about optimality conditions for LOVO-like problems will be presented. Three Augmented Lagrangian algorithms will be proposed to approach this problem and global convergence theorems will be proved. Computational results will be performed for an application in portfolio optimization with impact. A modification of the Fischer-Friedlander global method using the Sharp Lagrangian as a merit function will be proposed. A hybrid Inexact Restoration method combining this modification and the Birgin-Martínez local method will be introduced. Global and local convergence theorems will be presented. An Inexact Restoration method for problems in which the derivatives of the objective function are not available will be introduced. In this method it will be used all the optimization traditional tools in the restoration process as well as a regularization strategy in the optimization phase. Global convergence theorems will be demonstrated and numerical results will be presented. The concept of Inverse Nash Equilibrium will be introduced and an Inexact Restoration method will be proposed to deal with this problem. This method is an extension of a new Inexact Restoration method for bilevel programming that will also be proposed in this work. Some illustrative examples for an application for the Arrow- Debreu equilibrium problem will be given Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Sandra Augusta Santos, Márcia Aparecida Gomes-Ruggiero Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho propomos modificações globalmente convergentes para o Método das Assíntotas Móveis (MMA), baseadas no parâmetro espectral para a construção das aproximações das funções originais e na relaxação da condição conservadora. A informação de segunda ordem presente no parâmetro espectral é incluída nas aproximações racionais da função objetivo e das restrições não-lineares no início de cada iteração, de modo a melhorar a qualidade dos modelos. A condição conservadora é relaxada por meio de uma seqüência forçante controlada somável, de maneira que a convergência global é mantida. Também, propomos uma nova estratégia para resolver os subproblemas MMA por meio do problema dual, usando uma técnica de região de confiança. Os experimentos numéricos realizados comprovam a eficiência das estratégias propostas. Ainda, por trabalharmos com um problema aumentado associado à formulação padrão para o problema de programação não-linear com restrições de desigualdade, estabelecemos relações entre os pontos KKT do problema aumentado e os pontos correspondentes do problema original associado Abstract: In this work we propose globally convergent versions for the Method of Moving Asymptotes (MMA), based on the spectral parameter for updating the approximations of the original functions and on relaxing the conservative condition. The second-order information present in the spectral parameter is included in the rational approximations of the objective function and of the nonlinear constraints in the beginning of each iteration, so as to improve the quality of the models. The conservative condition is relaxed by means of a summable controlled forcing sequence, so that global convergence is maintained. Also, we propose a new strategy to solve the MMA subproblems by means of the dual problem, using a trust-region technique. The performed numerical experiments confirm the efficiency of the proposed strategies. In addition, by working with an extended problem associated with the standard formulation for the nonlinear programming problem with inequality constraints, we have established relationships between the KKT points of the extended problem and the corresponding points of the associated original problem Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Jose Mario Martinez Perez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Quando resolvemos problemas de programação não linear por meio de algoritmos que utilizam o Lagrangiano Aumentado, um fenômeno chamado voracidade pode ocorrer. Quando isto ocorre o método busca pontos muito infactíveis com valores de função muito pequenos, em geral, nas primeiras iterações, assim o parâmetro de penalidade cresce excessivamente, de tal forma que prejudica o condicionamento do problema. Neste trabalho 'e sugerida uma abordagem de regularização para superar esta dificuldade. Um método de Lagrangiano Aumentado é definido, com a adição de um termo regularizador que inibe a possibilidade do iterando se afastar demasiadamente do ponto de referência. Provamos convergência e apresentamos exemplos numéricos. Abstract: When one solves Nonlinear Programming problems by means of algorithms that use merit criteria combining the objective function and penalty feasibility terms, a phenomenon called greediness may occur. Unconstrained minimizers attract the iterates at early stages of the calculations and, so, the penalty parameter needs to grow excessively, in such a way that ill conditioning harms the overall convergence. In this work a regularization approach is suggested to overcome this dificulty. An Augmented Lagrangian method is defined with the addition of a regularization term that inhibits the possibility that the iterates go far from a reference point. Convergence proofs and numerical examples are given. Doutorado Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Jose Mario Martinez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Algoritmos robustos e numericamente viáveis para resolver problemas de otimização têm sido cada vez mais solicitados em problemas práticos que aparecem em engenharia, química, física, entre outras áreas. Com isso em mente, este trabalho apresenta um novo método globalmente convergente baseado em região de confiança para resolver sistemas não-lineares indeterminados (mais incógnitas do que equações) com restrições de caixa, podendo, portanto, ser aproveitado para a fase de viabilidade nos algoritmos baseados em restauração periódica. É mostrado que esse método apresenta, sob certas hipóteses, convergência localmente quadrática. Em uma outra parte deste trabalho é apresentado um novo algoritmo globalmente convergente, o qual se baseia em região de confiança, para resolver problemas de otimização do tipo min f(x); s:a: x 2 D; onde f : Rn ! R é assumida para ser continuamente diferenciável e D C Rn, um subconjunto fechado arbitrário. Em vez de considerar a região de confiança explicitamente nos subproblemas, esse método introduz um parâmetro de regularização que busca imitar a região de confiança. Com essa caracterização, os subproblemas consistem em minimizar um modelo quadratico de f sujeito ao subconjunto D. Uma importante aplicação desse novo algoritmo aparece em química quântica e resultará em um novo algoritmo globalmente convergente, robusto e numericamente viável para calcular estruturas eletrônicas de átomos e moléculas Abstract: Abstract Robust and numerically feasible algorithms for solving optimization problems have been demanded for solving practice problems that appear in Engineering, Chemistry, Physics and others. This work present a new globally convergent method based on trust regions for solving box-constrained underdetermined nonlinear systems (more unknowns than equations), that can be used on the feasibility fase of algorithms based on periodic restoration. Under some assumptions, it will be proved locally quadratic convergence. In other part of this work, a new globally convergent algorithm is introduced, based on trust regions, for solving the optimization problem min f(x); s:t: x 2 D; where f : Rn ! R is continuously dierentiable and D C Rn is an arbitrary closed subset. Instead of considering explicitly the trust region on the subproblems, the method introduces a regularization parameter that mimics the trust region. With this characterization, the subproblems consist on minimizing a quadratic model of f subject to D. numerically feasible globally convergent algorithm for electronic structure calculations is obtained. Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Roberto Andreani Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Esta dissertação trata da aplicação de um método de tipo Newton generalizado aos sistemas KKT. Graças às funções chamadas de NCP, o sistema KKT pode ser reformulado como uma equação do tipo H(z) = O, onde H é uma função semi-suave. Nos preliminares teóricos apresentamos os conceitos importantes para a análise desse tipo de sistema quando a função involvida não é diferenciável. Trata-se de subdiferencial, semi-suavidade, semi-derivada. Então, usando um ponto de vista global, descrevemos de uma vez só as diferentes generalizações do método de Newton, apresentando as condições suficientes de convergência local. Uma versão globalizada do método é também detalhada. Com o fim de aplicar o algoritmo à reformulação semi-suave do sistema KKT, estudamos as propriedades da função H, primeiro independentemente da função NCP usada. Então analisamos o caso de três funções NCP particulares: a função do Mínimo, a função de Fischer-Burmeister, a função de Fischer-Burmeister Penalizada. Apresentamos os resultados de testes numéricos que comparam o desempenho do algoritmo quando usa as diferentes funções NCP acima Abstract: This work deals with the use of generalized Newton type method to solve KKT systems. By the mean of so called NCP functions, any KKT system can be writen as an equation of type H(z) = O, where H is a semismooth function. In a teorical preliminaries part, we present some key notions for the analysis of such a type of system, whose the involved function is not differentiable. It deals with subdifferential, semismoothness, semiderivative. Then, tackling the problem with a very general point of view, we make a unified description of different generalizations of N ewton method, giving sufficient local convergence conditions. More over, we detail a possible globalization of such methods. In order to use this global algorithm to solve semismooth form of KKT systems, we study some of the H function's properties, first without specifying any underlying NCP function, and then in the case of three known NCP functions: the minimum function, the Fischer-Burmeister function and the penalized Fischer-Burmeister function. Finally, we give the results of numerical tests, which compare the algorithm's performance for each of these three NCP functions Mestrado Matemática Aplicada Mestre em Matemática Aplicada

Orientador: Paulo José da Silva e Silva Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho apresenta um novo modelo robusto de máquina de suporte vetorial (MSV) que tem a capacidade de suprimir a influência de \textit{outliers} para os casos de classificação linear e não linear. Esse modelo será chamado de MSVdc e está baseado no modelo LOVO-MSV, que usa amostragem seletiva. A construção do modelo utiliza resultados teóricos de dualidade para programação de diferença de convexas levando à resolução de um problema de otimização quadrático indefinido. Assim sendo, se tornará possível usar o \textit{truque do núcleo} para estender resultados e construir um classificador não linear robusto que ignore a influencia dos \textit{outliers}. Ademais, apresentam-se resultados computacionais para alguns dados artificiais e reais que confirmam que, em comparação com as máquinas de suporte vetorial de margens suaves, o modelo proposto neste trabalho é menos sensível a dados com presença de erros. Neste trabalho, a implementação computacional que compara a MSVdc e a MSV de margens suaves foi feita em Matlab2018 Abstract: In this work, a new robust model based on the Low Order Value measure Optimization for support vetor machines (LOVO-SVM) is presented. This model will be called MSVdc and has the ability of suppressing the influence of outliers by using selective sampling. The final model, after a transformation based on duality for difference of convex optimization, is trained solving a quadratic indefinite optimization problem. This way, it will be possible to use the \textit{kernel trick} to extend results and build a robust nonlinear classifier that ignores the influence of \textit{outliers}. In addition, results for artificial and real data are presented. They confirm that the LOVO-SVM model to be more stable in the presence of \textit{outliers}, compared to a soft marging suport vector machine. In this work, the computational implementation that compares the MSVdc and the smooth margin MSV was done in Matlab2018 Doutorado Matemática Aplicada Doutora em Matemática Aplicada CNPQ 141810/2016-5 CAPES