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Your search keyword '"Michel Vaquié"' showing total 18 results
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18 results on '"Michel Vaquié"'

2. Famille admise associée à une valuation de K(X)

Author

Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), ANR-17-CE40-0014,CatAG,Catégorification en géométrie algébrique(2017), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Computer Science::Computer Science and Game Theory, Mathematics::Commutative Algebra, General Mathematics, [MATH.MATH-AC]Mathematics [math]/Commutative Algebra [math.AC], 010102 general mathematics, extension, Mathematics - Commutative Algebra, 01 natural sciences, Valuation (logic), Mathematics - Algebraic Geometry, 13A18, 12J10, 14E15, famille admise, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, [MATH]Mathematics [math], Humanities, valuation, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

Let K be a field with a valuation $\nu$ and let L = K(x) be a transcendental extension of K, then any valuation $\mu$ of L which extends $\nu$ is determined by its restriction to the polynomial ring K[x]. We know how to associate to this valuation $\mu$ a family of valuations A = ($\mu$i)i$\in$I of K[x], called the associated admise family, which converges in a certain sense towards the valuation $\mu$. Although the definition of this family, as well as the notion of convergence, essentially imply the structure of the polynomial ring, in particular the degree of polynomials, we show in this note that the family A of valuations of L do not depend on the chosen generator x., Comment: in French

Published
2020
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3. Groupe fondamental des champs algébriques, inertie et action galoisienne

Author

Pierre Lochak, Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG (UMR_7586)), Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
010102 general mathematics, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, General Medicine, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, 01 natural sciences, Mathematics
Abstract

International audience; Annales de la faculté des sciences de Toulouse Volume , n o 27, 2018 pp. 199-264Groupe fondamental des champs algébriques, inertie et action galoisienne (*) Pierre Lochak (1) et Michel Vaquié (2) RÉSUMÉ.-Nous étudions l'action du groupe de Galois arithmétique sur l'inertie géométrique attachée au groupe fondamental d'un (1-)champ algébrique, dans un contexte modéré. La situation est analogue mais aussi foncièrement distincte et plus complexe que celle, essentiellement bien comprise, qui concerne l'étude des groupes d'inertie procycliques associés aux composantes d'un diviseur à croisements normaux. Une grande partie du texte est consacrée à mettre en place les outils nécessaires à cette étude, elle-même en partie motivée par et appliquée à l'exemple important des champs de modules de courbes, dans lequel les groupes d'inertie en question correspondent aux automorphismes des courbes algébriques du type classifié par le champ. ABSTRACT.-We study the action of the arithmetic Galois group on the geometric inertia subgroups of the fundamental group, in a tame but typically stacky context. The problem is analogous but more involved than the by now fairly well-understood situation of the procyclic inertia subgroups associated with the components of a divisor with normal crossings. A significant part of the text is devoted to introducing the necessary tools for a study which is in part motivated by and applied to the important example of the moduli stacks of curves, where the geometric inertia groups correspond to the automorphisms of algebraic curves of the type classified by the stack.

Published
2018

4. Shifted Poisson structures and deformation quantization

Author

Tony Pantev, Michel Vaquié, Gabriele Vezzosi, Damien Calaque, Bertrand Toën, Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG), Université de Montpellier (UM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut Universitaire de France (IUF), Ministère de l'Education nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche (M.E.N.E.S.R.), Department of Mathematics [Philadelphia], University of Pennsylvania, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Jussieu (IMJ), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), University of Pennsylvania [Philadelphia], Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Pure mathematics, 010102 general mathematics, Poisson structures, symplectic structures, quantization, Differential calculus, Context (language use), Poisson distribution, 01 natural sciences, Moduli space, Section (fiber bundle), Mathematics - Algebraic Geometry, symbols.namesake, Quantization (physics), Poisson manifold, 0103 physical sciences, symbols, FOS: Mathematics, Algebraic Topology (math.AT), Mathematics - Algebraic Topology, 010307 mathematical physics, Geometry and Topology, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, Algebraic Geometry (math.AG), Mathematics, Symplectic geometry
Abstract

This paper is the sequel to [PTVV] (IHES Vol. 117, 2013). We develop a general and flexible context for differential calculus in derived geometry, including the de Rham algebra and polyvector fields. We then introduce the formalism of formal derived stacks and prove formal localization and gluing results. These allow us to define shifted Poisson structures on general derived Artin stacks, and prove that the non-degenerate Poisson structures correspond exactly to shifted symplectic forms. Shifted deformation quantization for a derived Artin stack endowed with a shifted Poisson structure is discussed in the last section. This paves the way for shifted deformation quantization of many interesting derived moduli spaces, like those studied in [PTVV] and probably many others., Comment: 111 pages. Minor changes, to appear in Journal of Topology

Published
2017
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5. Stacks and Categories in Geometry, Topology, and Algebra

Author

Tony Pantev, Carlos Simpson, Bertrand Toën, Michel Vaquié, Gabriele Vezzosi, Tony Pantev, Carlos Simpson, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi

Subjects
Algebraic stacks--Congresses, Algebraic topology--Congresses, Geometry--Congresses, Algebra--Congresses, Algebraic geometry--Families, fibrations--Stac, Algebraic geometry--(Co)homology theory--Sheav, Category theory-- homological algebra--Abelian ca, Category theory-- homological algebra--Categories, Category theory-- homological algebra--Homologica
Abstract

This volume contains the proceedings of the CATS4 Conference on Higher Categorical Structures and their Interactions with Algebraic Geometry, Algebraic Topology and Algebra, held from July 2–7, 2012, at CIRM in Luminy, France. Over the past several years, the CATS conference series has brought together top level researchers from around the world interested in relative and higher category theory and its applications to classical mathematical domains. Included in this volume is a collection of articles covering the applications of categories and stacks to geometry, topology and algebra. Techniques such as localization, model categories, simplicial objects, sheaves of categories, mapping stacks, dg structures, hereditary categories, and derived stacks, are applied to give new insight on cluster algebra, Lagrangians, trace theories, loop spaces, structured surfaces, stability, ind-coherent complexes and 1-affineness showing up in geometric Langlands, branching out to many related topics along the way.

Published
2015

6. SYSTEMES DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES SATUREES

Author

Bertrand Toën, Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
010102 general mathematics, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, General Medicine, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, 01 natural sciences
Abstract

International audience; Dans ce travail nous considérons le problème de réaliser géométriquement les catégories triangulées (plutôt les dg-catégories triangulées) comme des catégories dérivées de variétés algébriques. Pour cela, on introduit la notion de système de points dans une dg-catégorie saturée T. Nous montrons que la donnée d'un tel syst eme permet de construire un espace algébrique MP , de type fini, lisse et séparé, ainsi qu'un dg-foncteur de T vers une version tordue de la dg-catégorie dérivée de MP. On montre de plus que ce dg-foncteur est uné equivalence si et seulement si MP est propre. Tout au long de ce travail nous etudions les t-structures sur les familles algébriques d'objets dans T , ce qui possède possiblement un intérêt en soi indépendant du thème de ce travail.

Published
2016

7. Exposer en mathématiques

Author

Michel Vaquié

Subjects
General Earth and Planetary Sciences, General Environmental Science
Abstract

La présente étude décrit les conditions et les modalités concrètes de différents types d’exposés en mathématiques : de l’exposé écrit pour une publication aux diverses formes d’exposition orale, qu’elles soient de vulgarisation, ou qu’elles s’adressent à un public général de mathématiciens ou restreint à la petite communauté de spécialistes d’un champ de recherche particulier. Elle montre combien la persuasion mise en oeuvre lors de l’exposé d’un résultat renvoie, pour l’orateur ou pour le lecteur, à la possibilité d’en rejouer la démonstration, soit de rester en position active vis-à-vis de l’énonciation., This analysis describes the conditions and the actual modalities of different types of displays in mathematics: written displays in published articles as well as oral presentations directed to a public with some or no specific knowledge in the field, or an address given within a small circle of experts in a specific field of research. The article shows how the persuasiveness of the presentation, for orator and reader alike, depends on being able to replay the demonstration, to remain active to what’s being said.

Published
2010
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8. Extensions de valuation et polygone de Newton

Author

Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Polynomial, Algebra and Number Theory, 13A18 (12J10 14E15), 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Field (mathematics), Newton polygon, Extension (predicate logic), 01 natural sciences, Combinatorics, Kernel (algebra), Principal ideal, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, Geometry and Topology, Limit (mathematics), 0101 mathematics, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Valuation (finance), Mathematics
Abstract

— Let (K, ν) be a valued field and L a finite cyclic extension of K defined by L = K[x]/(P ), then any valuation of L which extends ν defines a pseudo-valuation ζ onK[x] whose kernel is the principal ideal (P ). We know how to associate to ζ a family of valuations on K[x], called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations. We give a necessary and sufficient condition for a valuation of K[x] to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation ζ which corresponds to a valuation of L, this condition depends only on the polynomial P . On the way we can determine all the valuations of L which extend the valuation ν of K. To give this condition we define the Newton polygon associated to P , to a polynomial φ and to a valuation μ of K[x].

Published
2008
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9. Au-dessous de SpecZ

Author

Michel Vaquié, Bertrand Toën, Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné (JAD), Université Nice Sophia Antipolis (... - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Nice Sophia Antipolis (1965 - 2019) (UNS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Discrete mathematics, Pure mathematics, Algebra and Number Theory, Functor, Group (mathematics), 010102 general mathematics, Natural number, Algebraic geometry, Field with one element, 01 natural sciences, Spectrum (topology), 14A20 (14A15 18D10 18G55), Base change, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, Geometry and Topology, 0101 mathematics, Element (category theory), ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

In this article we use the theories of relative algebraic geometry and of homotopical algebraic geometry (cf. [HAGII]) to construct some categories of schemes defined under Specℤ. We define the categories of ℕ-schemes, 1-schemes, -schemes, +-schemes and 1-schemes, where (from an intuitive point of view) ℕ is the semi-ring of natural numbers, 1 is the field with one element, is the ring spectra of integers, + is the semi-ring spectra of natural numbers and 1 is the ring spectra with one element. These categories of schemes are linked together by base change functors, and all of them have a base change functor to the category of ℤ-schemes. We show that the linear group Gln and the toric varieties can be defined as objects in these categories.

Published
2009
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10. Algébrisation des variétés analytiques complexes et catégories dérivées

Author

Michel Vaquié, Bertrand Toën, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
18E30 (14A20 32C99), General Mathematics, Mathematics::Category Theory, 010102 general mathematics, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, 16. Peace & justice, 01 natural sciences, Humanities, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

International audience; We prove that a compact complex analytic variety is algebraizable if and only if its bounded derived dg-category of coherent sheaves is saturated.

Published
2008
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11. Famille admissible de valuations et défaut d'une extension

Author

Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Combinatorics, Algebra and Number Theory, 13A18, 010102 general mathematics, 0103 physical sciences, Extension de valuation, 010307 mathematical physics, 0101 mathematics, Défaut, 01 natural sciences, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

Resume A toute valuation ou pseudo-valuation μ de l'anneau des polynomes K [ x ] prolongeant une valuation ν de K donnee, nous savons associer une famille de valuations de K [ x ] , appelee famille admissible, construite de facon explicite a partir de valuations augmentees et de valuations augmentees limites. Nous definissons le saut total s tot ( A ) d'une famille admissible, c'est un nombre rationnel que nous calculons a partir des degres des polynomes-cles et polynomes-cles limites definissant les valuations de la famille A . Dans le cas ou L est une extension monogene finie de K , L = K ( θ ) , pour toute valuation μ de L prolongeant ν , nous relions le saut de la famille admissible A associee a μ a l'indice de ramification e ( μ / ν ) et au degre residuel f ( μ / ν ) . Plus precisement nous avons l'egalite : [ L : K ] = e ( μ / ν ) f ( μ / ν ) s tot ( A ) . En particulier si μ est l'unique prolongement de ν a L , le saut total de la famille A permet de calculer le defaut de l'extension ( L , μ ) / ( K , ν ) .

Published
2007
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12. Extension d'une valuation

Author

Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Discrete mathematics, Polynomial, Rank (linear algebra), Irreducible polynomial, Applied Mathematics, General Mathematics, 010102 general mathematics, Separable extension, 12J10, Field (mathematics), Rational function, 01 natural sciences, Factorization, 0103 physical sciences, Countable set, 010307 mathematical physics, 0101 mathematics, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

We want to determine all the extensions of a valuation ν \nu of a field K K to a cyclic extension L L of K K , i.e. L = K ( x ) L=K(x) is the field of rational functions of x x or L = K ( θ ) L=K(\theta ) is the finite separable extension generated by a root θ \theta of an irreducible polynomial G ( x ) G(x) . In two articles from 1936, Saunders MacLane has introduced the notions of key polynomial and of augmented valuation for a given valuation μ \mu of K [ x ] K[x] , and has shown how we can recover any extension to L L of a discrete rank one valuation ν \nu of K K by a countable sequence of augmented valuations ( μ i ) i ∈ I \bigl (\mu _i\bigr ) _{i \in I} , with I ⊂ N I \subset \mathbb N . The valuation μ i \mu _i is defined by induction from the valuation μ i − 1 \mu _{i-1} , from a key polynomial ϕ i \phi _i and from the value γ i = μ ( ϕ i ) \gamma _i = \mu ( \phi _i ) . In this article we study some properties of the augmented valuations and we generalize the results of MacLane to the case of any valuation ν \nu of K K . For this we need to introduce simple admissible families of augmented valuations A = ( μ α ) α ∈ A {\mathcal A} = \bigl ( \mu _{\alpha } \bigr ) _{\alpha \in A} , where A A is not necessarily a countable set, and to define a limit key polynomial and limit augmented valuation for such families. Then, any extension μ \mu to L L of a valuation ν \nu on K K is again a limit of a family of augmented valuations. We also get a “factorization” theorem which gives a description of the values ( μ α ( f ) ) ( \mu _{\alpha } (f)) for any polynomial f f in K [ x ] K[x] .

Published
2007
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13. Valuations and local uniformization

Author

Michel Vaquié

Subjects
Discrete mathematics, Pure mathematics, Computer Science::Computer Science and Game Theory, resolution of singularities, 14B05, Rank (linear algebra), Mathematics::Commutative Algebra, Group (mathematics), 14E15, 13A18, 12J20, Field (mathematics), Resolution of singularities, local uniformization, Uniformization (probability theory), valuations, Mathematics::Algebraic Geometry, Residue field, Algebraic surface, Variety (universal algebra), 14J17, Mathematics
Abstract

We give the principal notions in valuation theory, the value group and the residue field of a valuation, its rank, the compositions of valuations, and we give some classical examples. Then we introduce the Riemann-Zariski variety of a field, with the topology defined by Zariski. In the last part we recall the result of Zariski on local uniformization and give a sketch of the proof in the case of an algebraic surface.

Published
2006

14. Moduli of objects in dg-categories

Author

Bertrand Toën, Michel Vaquié, Laboratoire Émile Picard (LEP), Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Discrete mathematics, Pure mathematics, Triangulated category, General Mathematics, 010102 general mathematics, Quiver, 01 natural sciences, Moduli space, Moduli, Moduli of algebraic curves, Mathematics - Algebraic Geometry, 18G55 (14D20 18E30), Mathematics::Category Theory, 0103 physical sciences, D-module, FOS: Mathematics, 010307 mathematical physics, [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG], 0101 mathematics, Algebraic number, Equivalence (formal languages), Algebraic Geometry (math.AG), ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

To any dg-category $T$ (over some base ring $k$), we define a $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ in the sense of \cite{hagII}, classifying certain $T^{op}$-dg-modules. When $T$ is saturated, $\mathcal{M}_{T}$ classifies compact objects in the triangulated category $[T]$ associated to $T$. The main result of this work states that under certain finiteness conditions on $T$ (e.g. if it is saturated) the $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ is locally geometric (i.e. union of open and geometric sub-stacks). As a consequence we prove the algebraicity of the group of auto-equivalences of a saturated dg-category. We also obtain the existence of reasonable moduli for perfect complexes on a smooth and proper scheme, as well as complexes of representations of a finite quiver., 64 pages. Minor corrections. Section 3.4 including some corollaries has been added. Sections 1 and 2.5 added, as well as some remarks. To appear in Annales de l'ENS

Published
2005
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15. Algèbre graduée associée à une valuation de K[x]

Author

Michel Vaquié, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Pure mathematics, Computer Science::Computer Science and Game Theory, resolution of singularities, 14B05, Mathematics::Commutative Algebra, 13A18 (12J20 14B05 14E15), 14E15, 13A18, 010102 general mathematics, 12J20, Resolution of singularities, 01 natural sciences, local uniformization, valuations, 0103 physical sciences, 010307 mathematical physics, 0101 mathematics, 14J17, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics
Abstract

We extend some results on augmented valuations and key-polynomials to limit augmented valuations and limit key-polynomials. As any valuation $\mu$ of $K[x]$ is obtained as a limit of an admissible family of valuations, we deduce a description of the graded algebra associated to $\mu$.

Published
2004

Catalog

Books, media, physical & digital resources
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