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Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-09-27T23:36:56Z No. of bitstreams: 1 TeseSamuelRepositorio.pdf: 3244821 bytes, checksum: ea48149fd77a79707f7f89046d220d32 (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado, Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: Veja o template em: https://www.ibilce.unesp.br/#!/biblioteca/servicos-oferecidos/consulte-a-estrutura-do-trabalho-academico/ 1 – Nas folhas pré-textuais, na “natureza da pesquisa”, use o mesmo tamanho de fonte. Há algo diferente entre as folhas. O trabalho todo deverá ser escrito no mesmo tipo de fonte, variando o seu tamanho conforme a regra. 2 – Nos agradecimentos, segundo a Portaria nº 206, de 4 de setembro de 2018, todos os trabalhos que tiveram financiamento/BOLSA CAPES deve constar a expressão exata: O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. [é necessário inserir este código]. Porque não cita a bolsa BEPE na folha de rosto e de aprovação? Ela não financiou essa pesquisa diretamente? Se não financiou, mantenha como está. 3 - Epígrafe é uma citação, sugiro adequar à norma ABNT NBR 10520 e listar como referência. Observe a regra de citação (p. 16) e referência (p. 45), do “Manual de Normalização de Trabalhos Acadêmicos: citação e referência: ABNT”, em https://drive.google.com/file/d/1auB4wt9daF8l25Q5A57rkVQG_3o94VBi/view. 4 - Palavras-chave e Keywords: separar as palavras por ponto. 5 – Lista de figuras: A lista deve transcrever os títulos das figuras conforme aparecem no texto. Ex.: Figura 2.1: Da esquerda pra direita: cuspidal edge, rabo de andorinha e cuspidal cross cap, dadas na Definição 2.2.12....................................................19 Figuras devem ter seu título acima delas e a sua fonte bibliográfica descrita abaixo. A fonte deve ser descrita na lista de referências, salvo se for “Elaborado pelo autor”. 6 – A numeração das páginas, segundo a norma, deverá estar no canto superior direito. 7 – Seções: A palavra “capítulo” não é necessária antes de cada título de seção primária, no corpo do texto. Note que ela não consta no sumário. Esse é constituído pela transcrição das seções, inclusive em destaques gráficos, como letras maiúsculas para as seções primárias. Agradecemos a compreensão. on 2022-10-05T18:48:24Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-07T18:37:39Z No. of bitstreams: 1 TeseSamuelRepositorio.pdf: 3197510 bytes, checksum: 608f6516b89401481ad286cddf37edce (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado, Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: 1 - O trabalho todo deverá ser escrito no mesmo tipo de fonte. 2 - Reorganizar as seções, que perderam a sequência correta. Agradecemos a compreensão. on 2022-10-07T20:42:32Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-10T13:01:53Z No. of bitstreams: 1 Tese Samuel Repositorio.pdf: 2628054 bytes, checksum: 2cf4ef79393d70ec13b3ae9e84fd0c3c (MD5) Rejected by Vivian Letícia Duarte Parisi (vivian.parisi@unesp.br), reason: Sua submissão será devolvida para que você possa fazer as correções. 1. Falta a FICHA CATALOGRÁFICA (Obrigatório pela ABNT NBR14724), informamos que é imprescindível que coloque a ficha gerada pelo sistema: Você poderá elaborar a sua ficha, acessando o Sistema Gerador de Fichas Catalográficas online. Na página da Biblioteca encontrará as informações necessárias: https://www.ibilce.unesp.br/#!/biblioteca/servicos-oferecidos/crie-sua-ficha-catalografica/ https://www.biblioteca.unesp.br/ficha/ 2. Notei várias marcações no texto, em vermelho e verde, não sei se era intencional, ou se foi esquecido. Lembramos que o arquivo depositado no repositório deve ser igual ao impresso, o rigor com o padrão da Universidade se deve ao fato de que o seu trabalho passará a ser visível mundialmente. Agradecemos a compreensão. Estamos à disposição caso necessite esclarecer alguma dúvida ou necessite algum auxílio para efetuar as correções. Atenciosamente, Repositório Institucional UNESP UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Rua Cristóvão Colombo, 2265 - Jd. Nazareth São José do Rio Preto – SP. on 2022-10-10T19:03:38Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-10T21:25:37Z No. of bitstreams: 1 Samuel Repositorio Tese.pdf: 2700102 bytes, checksum: d837f0d260baadfad84a6b657a4ff1aa (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado Samuel, A ficha catalográfica deve ser inserida após a folha de rosto, aquela que tem a "natureza da pesquisa". Favor efetuar a correção e trocar o arquivo. Atenciosamente, on 2022-10-11T15:14:56Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-11T18:58:11Z No. of bitstreams: 1 Samuel Repositorio Tese.pdf: 2673646 bytes, checksum: 018f3d35cb965a602c9712d3fcd96261 (MD5) Approved for entry into archive by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br) on 2022-10-11T22:47:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 santos_sp_dr_sjrp.pdf: 2525151 bytes, checksum: d3e5b14a86d56c002115840fcf71ff74 (MD5) Made available in DSpace on 2022-10-11T22:47:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 santos_sp_dr_sjrp.pdf: 2525151 bytes, checksum: d3e5b14a86d56c002115840fcf71ff74 (MD5) Previous issue date: 2022-08-31 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) Este trabalho busca estudar a geometria diferencial de algumas classes de superfícies com singularidades que não são necessariamente não degeneradas ou frentes. Dentre elas, estudamos a superfície singular D4, que é uma frente com singularidade degenerada, determinada por um conjunto bifurcação de uma certa deformação. Estudamos também uma classe de frontais chamadas de σ-edges, que podem ser não frentes ou apresentar singularidades não degeneradas apenas em casos específicos. Por fim, estudamos a geometria do conjunto focal de frontais puras, que são superfícies singulares que não são frentes em todos os seus pontos singulares. This work seeks to study the geometry of some especific classes of singular surfaces which are not necessarily fronts or non-degenerated singularities. We study the singular surfaces D4 , when it is given as a bifurcation set of a deformation; this surface is a front which has a degenerated singular point. We also study a class of singular surfaces called σ-edges, which are frontals, but are fronts or non-degenerated singular points in very specific cases. At last, we study the geometry of the focal set of singular surface which are frontal but not front in every singular point; such surfaces are called pure frontals. FAPESP: 2018/17712-7 FAPESP: 2019/10156-4

In this work, the minimal surfaces are studied and presented in a way that arouses curiosity about the theme so that it can be reached by mathematicians, architects, students and people who are interested in the subject. We will introduce the historical context in order to arouse the reader's curiosity for the theory, ranging from the experiments with soap films and their applications, to the mathematical concepts that involve the minimal surfaces. The countless applications of these surfaces are accompanied by a natural beauty that pleases and arouses the interest of any observer. The challenge, which has intrigued mathematicians for centuries, of finding the surface of the smallest area given a fixed outline, nature solves and shows ways to apply it in our homes and living spaces in general. In this sense, the theory is followed by applications with an emphasis on architecture and its main exponents. Finally, the results of our own experiments with soap films will be presented, as well as suggestions for activities to be done with high school students that motivate the study of our theme. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho, as superfícies mínimas são estudas e apresentadas de maneira que se desperte a curiosidade pelo tema para que este seja alcançável a matemáticos, arquitetos, alunos do ensino básico e pessoas que se interessem pelo assunto. Vamos introduzir o contexto histórico a fim de despertar a curiosidade do leitor pela teoria, indo desde os experimentos com películas de sabão e suas aplicações, até os conceitos matemáticos que envolvem as superfícies mínimas. As inúmeras aplicações dessas superfícies são acompanhadas de uma beleza natural que agrada e desperta o interesse de qualquer observador. O desafio, que intrigou matemáticos por séculos, de encontrar a superfície de menor área dado um contorno fixado, a natureza soluciona e mostra caminhos para aplicarmos em nossas moradias e espaços de convívio de uma maneira geral. Neste sentido, a teoria é seguida das aplicações com ênfase na arquitetura e seus principais expoentes. Por fim, serão apresentados os resultados dos nossos próprios experimentos com películas de sabão bem como sugestões de atividades para serem feitas com alunos do ensino médio que motivem o estudo de nosso tema.

Quando se estuda as geometrias plana e analítica, é comum se deparar com os termos “retas paralelas” e “circunferências concêntricas”, porém, não é corriqueiro se falar em parábolas, ou outra curva qualquer, paralelas. A pesquisa traz elementos da geometria diferencial, visando o estudo de uma classe especial de curvas planas: as paralelas a uma curva dada. Para isso, foram recordados os conceitos de vetor e de curva parametrizada – as curvas estudadas estão nessa forma –, ambos da geometria analítica; e também é introduzido o conceito de derivada, apresentando as regras de derivação de alguns tipos de funções reais e vetoriais. São apresentadas as parametrizações de algumas curvas, dentre as quais a elipse, a cicloide e a hipocicloide, que, junto com a parábola, foram os exemplos principais no estudo das paralelas. No âmbito da geometria diferencial, são exibidas as propriedades geométricas das curvas planas parametrizadas, destacando o sistema de Frenet, a curvatura e a evoluta (curva que contém os centros de curvatura de uma curva dada). As curvas paralelas, também conhecidas como offsets ou wavefronts, tiveram seus primeiros estudos com Leibniz, por volta de 1692 (FAROUKI; NEFF, 1990). Nesse contexto histórico, são mostradas algumas de suas aplicações, e então propõe-se um estudo analítico e geométrico de suas propriedades. Ao final, é proposta uma sequência didática destinada à aplicação do conteúdo aqui tratado em uma turma do 3_ ano do ensino médio. O recurso metodológico consiste de um conjunto de atividades a ser trabalhado, exclusivamente, no laboratório de informática, que tem como objetivo a inclusão de uma ferramenta computacional (TikZ) que auxilie no processo de ensino e aprendizagem das curvas paralelas, e que propicie aos estudantes o desenvolvimento da habilidade de produção de algoritmos durante a elaboração das figuras. A execução de tal proposta se baseia na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), onde enfatiza-se a necessidade do desenvolvimento do pensamento computacional nos estudantes; e também em Ávila (1991), que considera a importância do ensino da disciplina de Cálculo no ensino secundário. Studying the planar and analytical geometry, it is common to come across terms like parallel lines and concentric circles. More rarely, however, one encounters terms like parallels of a parabola – or of any other curve, for that matter. This thesis treats elements from diferential geometry of parameterized planar curves: the parallels of a given curve. We start by establishing the concepts of vectors and parameterized curves, and the concept of derivative is also introduced, presenting the derivation rules of some types of real and vector functions. We present parametrizations of a number of curves, including ellipsis, cycloid as well as hypercicloids, which along with the parabola, represents the main examples presented. Within the concepts of differential geometry, we introduce geometrical properties of parameterized planar curves, such as Frenet system, curvature and evolute (the curve of traced by the center of curvatures of a given curve). Parallel curves, also known as offsets or wavefronts, was first studied by Leibniz, around 1692 (FAROUKI; NEFF, 1990). Within this historical context, we present a few applications, based on which we proceed with a more detailed analytical and geometrical study of their propeties. At the end, a didactic sequence is proposed for the application of the content treated here in a class of the 3rd year of high school. The methodological resource consists of a set of activities to be worked, exclusively, in the computer lab, which aims to include a computational tool (TikZ) that helps in the process of teaching and learning the parallel curves, and that provides students with the development of the ability to produce algorithms during the elaboration of the figures. The implementation of such a proposal is based on the National Common Curricular Base (BNCC), where it emphasizes the need for the development of computational thinking in students; and also in Ávila (1991), which considers the importance of teaching the subject of Calculus in secondary education.

Using phase transition theory we will present a criterium to determining minimal interfaces. In order to do this, we will look at the results of geometric measure theory as prerequisite and to conclude the work, we will present a beautiful argument due to MODICA to prove a well known conjecture of GURTIN. CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Utilizando teoria de transição de fase apresentaremos um critério para determinação de interfaces mínimas. Para isso veremos como pré-requisito alguns resul- tados de teoria geométrica da medida e ao final, provaremos o critério para interface de perímetro mínimo conjecturado em GURTIN, E. e provado por MODICA, L.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , Santo André, 2018. Seja x : M = Rn+1 uma imersão de uma variedaden-dimensional orientável M no espaço euclidiano Rn+1. A condição que x tem curvatura média constante não-nula H =H0 é conhecida ser equivalente ao fato que x é um ponto crítico de um problema variacional. Um procedimento padrão de encontrar pontos críticos de tais problemas é, análogo ao método dos multiplicadores de Lagrange, olhar para os pontos críticos de um certo operador definido em termos dos funcionais variacionais. Resulta dessas considerações que a definição de estabilidade para imersões com curvatura média constante não-nula deve exigir que a segunda variação para tal operador seja não-negativa, para variações com suporte compacto que satisfaçam a condição de média nula. Assim, o objetivo desse trabalho é estudar as imersões estáveis compactas com curvatura média constante não-nula ¿ resultado apresentado como o Teorema de Barbosa¿Carmo. Let x : M = Rn+1 be an immersion of an orientablen-dimensional manifoldM into the euclidian space Rn+1. The condition thatx has nonzero constant mean curvature H =H0 is known to be equivalent to the fact thatx is a critical point of a variational problem. A standard proceduce of ?nding the critical points of such a problem is, in analogy to the Lagrange multipliers method, to look for the critical of points of an operator defined in terms of variational functionals. It follows from the above considerations that the definition of stability for immersions with nonzero constant mean curvature should require that such operator be nonnegative, for compactly supported variations that satisfy the zero mean condition. Thus, the objective of this work is to study the compact stable immersions with nonzero constant mean curvature ¿ result presented as the Barbosa and Carmo¿s theorem.

Neste trabalho, estudaremos algumas curvas diferenciais como a Cicloide, Hélice e Espiral de Arquimedes. Mostraremos como algumas curvas geométricas representam fenômenos da natureza, com a intenção de motivar e despertar a curiosidade matemática. No decorrer deste estudo faremos um breve levantamento histórico, passando por conhecimentos matemáticos e geométricos das curvas e suas aplicações práticas. In this work, we will study some differential curves like Cycloid, Helix and Spiral of Archimedes. We show how some geometric curves represent phenomena of nature, with the intention to motivate and awaken mathematical curiosity. In the course of this study we will make a brief historical survey, passing through mathematical and geometric knowledge of the curves and their practical applications. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES

In this work we study the geometric aspects of Lie groups from the view point of the Riemannian geometry, by means of invariant geometric structures associated. We present some properties on curvatures of metrics left invariants and bi-invariant one on Lie groups. We also present a treatment of the Lie algebras unimodular, including the tridimensional case. Most of the results studied are from the article of John Milnor: Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups. Neste trabalho estudamos os aspectos geometricos de grupos de Lie, do ponto de vista da geometria Riemanniana, por meio de estruturas geometricas invariantes associadas. Nos apresentamos algumas propriedades de curvaturas com metricas invariante a esquerda e aquelas bi-invariantes em grupos de Lie. Apresentamos tambem um tratamento das algebras de Lie unimodulares, incluindo o caso tridimensional. A maioria dos resultados estudados foram retirados do artigo de John Milnor: Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups. Mestre em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Sinuê Dayan Barbero Lodovici Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2014. O objetivo principal deste texto é apresentar o teorema de Hopf 3.16 nos espaços R3, H3 e S3, resultado clássico sobre superfícies com curvatura média constante (CMC). Antes disto, apresentamos alguns conceitos importantes de Geometria Diferencial, entre eles o Teorema de Gauss-Bonnet 2.13 e o Teorema de Hadamard 2.36. Por fim, de maneira breve, enunciamos o teorema de Hopf em espaços produto (H2XR e S2XR). The main objective of this paper is to present the Hopf's theorem (3.16) in spaces R3, H3 and S3, a classical result on surfaces with constant mean curvature (CMC). Before this, we present some important concepts of Differential Geometry, including the Gauss- Bonnet Theorem (2.13) and Hadamard's Theorem (2.36). Finally, and briefly, we state the Hopf's theorem in product spaces (H2XR and S2XR).

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos os aspectos geométricos dos grupos de Lie do ponto de vista da geometria Riemanniana, geometria Hermitiana e geometria Kähler, através das estruturas geométricas invariantes associadas. Exploramos resultados relacionados às curvaturas da variedade Riemanniana subjacente a um grupo de Lie através do estudo de sua álgebra de Lie correspondente. No contexto da geometria Hermitiana e geometria Kähler, para um caso concreto de grupo de Lie complexo, investigaram suas curvaturas seccionais holomorfas e verificamos a existência de uma estrutura pseudo-Kähler invariante por sua forma real compacta Abstract: In this dissertation, we study the geometric aspects of Lie groups from the viewpoint of Riemannian geometry, Hermitian geometry, and Kähler geometry through its associated invariant geometric structures. We explore results related to curvatures of Riemannian manifold underlying a Lie group by studying its corresponding Lie algebra. In the context of Hermitian geometry and Kähler geometry, for a complex Lie group case, we investigate its holomorphic sectional curvatures and verify the existence of pseudo-Kähler structure invariant for its compact real form Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientadores: Alcibiades Rigas, Carlos Eduardo Duran Fernandez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesse trabalho estudaremos a geometria e a topologia de algumas variedades homeomorfas, porém não difeomorfas, à esfera padrão Sn, chamadas esferas exóticas. Realizaremos duas dessas variedades como quocientes isométricos de fibrados principais com métricas de conexão sobre esferas de curvatura constante. Através disso, apresentaremos simetrias desses espaços e exemplos explícitos de difeomorfismos não isotópicos a identidade, usando-os para o cálculo de grupos de homotopia equivariante. Como mais uma aplicação dessa construção, provaremos que, se uma esfera homotópica de dimensão 15 é realizável como um fibrado linear sobre S8, então a mesma esfera é realizável como um fibrado linear sobre a esfera exótica de dimensão 8 com as mesmas funções de transição. No ultimo capítulo lidaremos com a geometria de fibrados induzidos, deduzindo uma condição necessária sobre a função indutora para que a métrica da conexão induzida tenha curvatura seccional não-negativa Abstract: In this work we study the geometry and topology of manifolds homemorphic, but not diffeomorphic, to the standard sphere Sn, the so called exotic spheres. We realize two of these manifolds as isometric quotients of principal bundles with connection metrics over the constant curved sphere. Through this, we present symmetries in these spaces and explicit examples of diffeomorphisms not isotopic to the identity, using them for the calculation of equivariant homotopy groups. As another application, we prove that, if a homotopy 15-sphere is realizeble as the total space of a linear bundle over the standard 8-sphere, then, it is realizeble as the total space of a linear bundle over the exotic 8-sphere with the same transition maps. In the last chapter we deal with the geometry of pull-back bundles, deducing a necessary condition on the pull-back map for nonnegative curvature of the induced connection metric Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Marcelo da Silva Montenegro Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho apresentamos resultados sobre o fluxo de curvatura média, Gauss e harmônica de superfícies de revolução sujeito a condições de fronteira do tipo Dirichlet, Neumann ou singular. Soluções de alguns dos fluxos de curvatura com alguma destas condições de fronteira ou se anulam em tempo finito ou existem globalmente no tempo convergindo a um segmento de reta Abstract: In this thesis we present results on mean curvature flow, Gaussian curvature flow and harmonic mean curvature flow subject to boundary conditions of Dirichlet type, Neumann or singular. Solutions to some of curvature flows with some of these boundary conditions quench in finite time or exist globally in time and converge to a straight line Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:09Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-10-15Bitstream added on 2014-06-13T20:47:45Z : No. of bitstreams: 1 delbem_nf_me_rcla.pdf: 885461 bytes, checksum: 9ba35dff1d53b0378c1e134087c575b7 (MD5) Universidade Estadual Paulista (UNESP) Esta dissertação tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira precisa os conceitos matemáticos de variedade diferenciável e de tensores envolvidos no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para o modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um texto didático que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduação em Matemática como de Física para uma disciplina optativa de Introdução Matemática à Cosmologia The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathematical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker model under the point of view of the General Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in an undergraduate course of Physics and Mathematics

Orientador: Carlos Eduardo Durán Fernández Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos a geometria de curvas de n-subespaços em Rkn, onde k é um natural qualquer, usando a mesma abordagem introduzida por J. C. Álvarez e C. Durán. Para isso generalizamos o endomorfismo fundamental e o descrevemos como um mergulho equivariante dos (k-1)-jets de curvas na Grassmanniana na álgebra de Lie de Gl(kn). Para descrição da geometria das curvas, analisamos as invariantes lineares obtidos do endomorfismo fundamental, comparados com os invariantes obtidos dos sistemas de equações diferenciais ordinárias de ordem k associados à curva. Como conseqüências, obtemos ainda uma solução para o problema de congruência de curvas na Grassmanniana e alguns casos especiais de curvas. Abstract: In this work we study the geometry of curves of n-subspaces in Rkn, where k is any natural number. We use the same approach introduced by J. C. Álvarez e C. Durán. In order to this, we generalize the fundamental endomorphism and we describe it as a equivariant embedding of (k-1)-jets of curves in Grassmannian manifold to the Lie Algebra of Gl(kn). We describe the curve geometry analyzing the linear invariants that we obtain from the fundamental endomorphism and from the ordinary differential systems of equations with order k associated with the curve. We obtain in consequence the solution of the congruence problem for curves in the Grassmannian and some special cases of curves. Doutorado Geometria Diferencial Doutor em Matemática

This MSc will explore hypersurfaces n-dimensional (lines) in Euclidean space Rn +1 and in the hyperbolic space Hn +1. Consider that the hypersurfaces have constant mean curvature and are plated by (n-1)-hyperspheres. We will need results classics as Alexandrov's theorem and a theorem of symmetry. Basically answer the following question: When a hypersurface of dimension n with constant mean curvature and sliced by a ball in the space above is a hypersurface of revolution? Moreover, in Rn +1 the spheres will be contained in parallel hyperplanes and in horoesferas Hn +1. Nesta dissertação de Mestrado, exploraremos hipersuperfícies n-dimensionais (conexas) no espaço Euclidiano Rn+1 e no espaço hiperbólico Hn+1. Consideraremos que as hipersuperfícies possuem curvatura média constante e são folheadas por (n-1)-hiperesferas. Necessitaremos de resultados clássicos como o teorema de Alexandrov e um teorema de simetria. Basicamente responderemos à seguinte pergunta: Quando uma hipersuperfície de dimensão n com curvatura média constante e folheada por esferas em um dos espaços acima citados é uma hipersuperfície de revolução? Além disso, em Rn+1 as esferas estarão contidas nos hiperplanos paralelos e em Hn+1 nas horoesferas.

Orientadores: Francesco Mercuri, Irene Ignazia Onnis Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: o objetivo deste trabalho é o estudo dos gráficos mínimos no grupo de Heisenberg de dimensão três. Primeiramente fizemos uma descrição deste grupo como grupo de Lie e sua álgebra de Lie. Verificamos que a aplicação exponencial é um difeomorfismo global entre a álgebra de Lie e o grupo de Heisenberg. Seguindo o ciclo natural, passamos a estudar a geometria Riemanniana do grupo de Heisenberg com métrica invariante à esquerda, calculando os campos invariantes à esquerda, as curvaturas, as geodésicas, os campos de Killing e o grupo de isometrias deste espaço. Subseqüentemente, estudamos a aplicação normal de Gauss para gráficos no grupo de Heisenberg, concluindo, entre outras propriedades, a não existência de superfícies totalmente umbílicas neste grupo. Classificamos todas as superfícies mínimas cujo posto da aplicação de Gauss é zero ou um e concluindo que tais superfície são regradas. Finalizando, analisamos alguns exemplos de gráficos mínimos completos cuja aplicação de Gauss tem posto dois. A classificação de gráficos mínimos com aplicação de Gauss de posto dois é ainda um problema em aberto Abstract: The purpose of this work is study minimal surfaces in tri-dimensional Heisenberg group. Firstly, we made a description of Heisenberg group as Lie group and its Lie algebra. We examined that the exponential application is a global difeomorfism between Lie algebra and Heisenberg group. Thereafter, we investigate Riemann Geometry of left invariant metric Heisenberg group, weconsider left invariant fields, curvatures, geodesics, Killing fields and isometry group of this space. Subsequently, we examined the Gauss normal application to surfaces in Heisenberg group and weconclude a series of peculiarity as, for example, the not existence of umbilic surfaces in this group. We classified all minimal surfaces with rank-zero Gauss application ar rank-one Gauss application and we conclude that these surfaces are ruled. To put an end, we analyzed some examples of complete minimal surfaces with rank-two Gauss application. The classification of minimal surfaces with rank-two Gauss application is a open problem Mestrado Mestre em Matemática

Esta dissertação está baseada em dois trabalhos sobre variedades quase Einstein. O primeiro, publicado em 2000, por M. C. Chaki e R. K Maity, sobre variedades quase Einstein que não são conformemente flat, e determinam condições suficientes para que as mesmas sejam conformemente conservativas. Já o segundo trabalho, publicado por U. C. De e Gopal Chandra Ghosh, em 2004, estabelece uma relação entre as variedades de curvatura quase constante e as variedades quase Einstein, encontra condições necessárias e suficientes para uma variedade quase Einstein ser de curvatura quase constante, em seguida prova um teorema de existência sobre variedades quase Einstein e relaciona o conceito de variedades quase Einstein com outras variedades tais como variedades fracamente simétricas e Ricci semi-simétrica. This dissertation is based about two works on quase Einstein manifolds. The first, published in 2000, by M. C. Chaki and R. K. Maity, on quase Einstein manifolds which are not conformally flat, and they determine sufficient condition so that the same ones are conformally flat. Already the second work, published by U. C. De and Gopal Chandre Ghosh, in 2004, establish a relation between the manifolds of amost constant curvature and the quasi Einstein manifolds, find necessary and sufficient conditions for a quasi Einstein manifolds to be of almost constant curvature, in follow prove an existence theorem on quase Einstein manifolds with other such manifolds like weak symmetries and semi-symmetries Ricci.

Orientadores: Francesco Mercuri, Stefano Montaldo Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho estudamos superfícies em variedades Riemannianas homogêneas tridimensionais com condições sobre a geometria intrínseca e/ou extrínseca. Em particular: 1. Resolvemos o Problema de Bjõrling para superfícies mínimas que contêm uma dada faixa analítica em grupos de Lie munidos de uma métrica invariante à esquerda. 2. Classificamos as superfícies de curvatura média constante no produto do plano hiperbólico com a reta real, que são invariantes pela ação de um subgrupo a umparâmetro do grupo das isometrias do espaço ambiente. 3. Classificamos as superfícies de curvatura Gaussiana constante em variedades Riemannianas homogêneas de dimensão três, com particular atenção ao caso do grupo de Heisenberg e do espaço dado pelo produto do plano hiperbólico com a reta real Abstract: In this work we study surfaces in homogeneous Riemannian manifolds of dimension three with conditions on the intrinsic and/or the extrinsic geometry. En particular: 1. We solve the Bjõrling Problem for minimal surfaces which contain an analytical strip in Lie groups with a left invariant metric. 2. We classify constant mean curvature surfaces in the product of the hyperbolic plane with the realline, which are invariant under the action of a one-parameter subgroup of the isometries group of the ambient space. 3. We classify constant Gaussian curvature surfaces of homogeneous Riemannian manifolds of dimension three, with particular attention for the case of the Heisenberg group and for the product of the hyperbolic plane and the realline Doutorado Geometria Diferencial Doutor em Matemática

Let x be an isometric immersion in its second fundamental form. Newton's polynomials are defined inductively by Po = I, Pk = Sk I-A Pk-1, where Sk is the immersion k-curvature. This work defines k-umbilicity by the proviso that the product of A by the Newton polynomial of k-1 is a multiple of identity. As a general consequence of the k-umbilicity concept, it is shown that if a k-umbilical isometric immersion has a zero main curvature, then it has n-k + 1 null principal curvatures and also shows that in every k-umbilical immersion the perk Lk is elliptical whenever Sk is nonzero, considering Lk (f) = dash (Pk Hess (f)) a second-order differential operator. For the case k = 2, it shows that all 2-umbilical immersion in spatial forms has S2 constant. It also partially classifies the closed 2-umbilical hypersurfaces on the unit sphere, exhibiting an enumerable family of such immersions. Seja x uma imersão isométrica a A sua segunda forma fundamental. Os polinômios de Newton são definidos indutivamente po Po=I, Pk=Sk I-A Pk-1, onde Sk é a k-curvatura de imersão. Este trabalho define k-umbilicidade pela condição de que o produto de A pelo polinômio de Newton de ondem k-1 é um múltiplo de identidade. Como consequencias gerais do conceito de k-umbilicidade demonstra que, se uma imersão isométrica k-umbílica tem uma curvatura principal nula, então tem n-k+1 curvaturas principais nulas e demonstra também que em toda imersão k-umbílica o perador Lk é elíptico sempre que Sk seja não nulo, considerando Lk(f)=traço(Pk Hess(f)) um operador diferencial de segunda ordem. Para o caso k=2, demostra que toda imersão 2-umbílica em formas espaciais tem S2 constante. Classifica ainda parcialmente as hipersuperfícies 2-umbílicas fechadas na esfera unitária, exibindo uma família enumerável de tais imersões.

This work consists of three chapters addressing different subjects about compact hypersurfaces of the unit Euclidean sphere Sn + 1. In the first chapter, we will prove that a compact hypersurface of Sn + 1 with non-negative Ricci curvature and infinite fundamental group is isometric to a torus of constant mean curvature. Next, we will consider the surface hypersurfaces of Sn + l with two different main curvatures and also approach a case in which one main curvature has the signal different from the others. In the second chapter, we will apply the Minakshisundaram-Pleijel heat core expansion formula to characterize compact hypersurfaces of Sn + 1 through the Laplacian spectra of the p-forms, for some p values. Finally, in the third chapter, we will use the Bochner-Lichnerowicz formula to obtain estimates of the norm of the second fundamental form of a compact minimal hypersurface of Sn + 1 as a function of first eigenvalue of the Laplacian and the dimension of Mn, and, using formula of Reilly, we obtain an estimate for the first eigenvalue of the Laplacian of a closed and dipped hypersurface of a compact Riemannian manifold whose Ricci curvature is bounded lower by a positive constant. Este trabalho consiste de três capítulos abordando diferentes assuntos sobre hipersuperfícies compactas da esfera Euclidiana unitária Sn+1. No primeiro capítulo, provaremos que uma hipersuperfície compacta de Sn+l com curvatura de Ricci não negativa e grupo fundamental infinito é isométrico a um toro de curvatura média constante. Em seguida, trataremos de hipersuperfícies de Sn+l com duas curvaturas principais distintas e também abordaremos um caso em que uma curvatura principal tem o sinal diferente das demais. No segundo capítulo, aplicaremos a fórmula da expansão do núcleo do calor de Minakshisundaram-Pleijel para caracterizar hipersuperfícies compactas de Sn+1 através dos espectros do Laplaciano das p-formas, para alguns valores de p. Finalmente, no terceiro capítulo, usaremos a fórmula de Bochner-Lichnerowicz para obter estimativas da norma da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície mínima compacta de Sn+1 em função do primeiro autovalor do Laplaciano e da dimensão de Mn, e, usando a fórmula de Reilly, obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor do Laplaciano de uma hipersuperfície fechada e mergulhada de uma variedade Riemanniana compacta, cuja curvatura de Ricci é limitada inferiormente por uma constante positiva.

O problema de se determinarem as geodésicas de uma superfície é um tópico da Geometria Diferencial e Cálculo Tensorial. Tradicionalmente, o problema, posto em termos do comprimento de uma linha, é colocado, por meio de manipulações analíticas, em forma de uma solução de um sistema de equações diferenciais parciais acopladas de difícil solução. A Teoria da Complexidade propõe uma maneira inversa de se interpretar a natureza, primeiro modelando regras locais simples, que agentes elementares devem seguir, e, a partir das interações entre eles, chegar ao comportamento do todo. Nesse trabalho, uma regra local baseada no Princípio de Huygens é proposta, e com ela é possível se acharem geodésicas de uma superfície. Usando essa regra, problemas considerados difíceis podem ser resolvidos de maneira intuitiva. The problem of finding geodesics of a surface is a topic of Differential Geometry and Tensor Calculus. Traditionally, by means of analytical manipulation, the problem originally put in terms of length of a line is restated into a set of coupled partial differential equations of difficult solution. Complexity theory proposes the reverse way of viewing nature, first stating simple local rules that elementary agents must follow, and then from the interactions at the local level, to predict the behavior of the whole. In this paper a local rule based on the Huygens Principle is proposed that can be used to find geodesics of any surface. By using the rule, problems once considered difficult can be solved in an intuitive way.

We use methods of equivariant geometry to study and classify the hypersurfaces of R2p + 2 with null scalar curvature, invariant by the action of group O (p + 1) x O (p + 1), with p> 1. First we classify these hypersurfaces according to their generative curve, and we show that there are complete and immersed examples. We then study the Morse index of the full examples showing, in particular, that there are globally stable examples. These stable examples give counter-examples, in odd dimensions greater than or equal to 9, for a Bernstein conjecture, in the stable class, for immersions with zero scalar curvature. Usamos métodos da geometria equivariante para estudar e classificar as hipersuperfícies de R2p+2 com curvatura escalar nula, invariantes pela ação do grupo O(p+1) x O(p+1), com p >1. Primeiro classificamos essas hipersuperfícies de acordo com sua curva geratriz, e mostramos que existem exemplos completos e mergulhados. Depois, estudamos o índice de Morse dos exemplos completos mostrando, em particular, que existem exemplos globalmente estáveis. Esses exemplos estáveis dão contra-exemplos, em dimensão ímpar maior do que ou igual a 9, para uma conjectura do tipo Bernstein, na classe estável, para imersões com curvatura escalar nula.

The work that we present is my monograph of master's degree, presented with partial requirement to obtain the master degree in math. It is based on work due to Jacob Burbea and C. Radhakishna Rao [10] One of the objectives of this work is to relate the differential information with the classic Bergman metric. For this purpose, we define a functional phi-entropy on the probability distribution space and in then we calculate the Hessian matrix along a direction of space tangent. We also use the ideas of divergent measures to differential metric of information. Finally, we define nucleus reproduced and we analyzed the differential information metric using Bergman cores. O trabalho que hora apresentamos constitui minha monografia de mestrado, apresentada com requisito parcial para a obtenção do grau de mestre em matemática. Ele esta baseado no trabalho devido a Jacob Burbea e C. Radhakishna Rao [10] Um dos objetivos deste trabalho é relacionar a métrica diferencial de informação com a clássica métrica de Bergman. Para este propósito, definimos um funcional phi-entropia sobre o espaço de distribuição de probabilidades e em seguida calculamos a matriz Hessiana ao longo de uma direção do espaço tangente. Usamos, também as ideias de medidas divergentes para calcularmos a métrica diferencial de informação. Finalmente, definimos núcleo reproduzido e analisamos a métrica diferencial de informação usando núcleos de Bergman.

This work is based on the study done by Hilário Alencar on minimum hypersurfaces of R2m, invariant by the canonical action of the group SO (m) x SO (m). We rewrite this study, enriching it with details and generalizing, in some cases, results therein exposed. Este trabalho tem como base fundamental o estudo feito por Hilário Alencar sobre hipersuperfícies mínimas do R2m, invariantes pela ação canônica do grupo SO(m) x SO(m). Nós reescrevemos este estudo, enriquecendo-o com detalhes e generalizando, em alguns casos, resultado ali expostos.

The work is based on a work due to Jacob Burbea and C. Radhakrishna Rao presented in the reference. One of the objectives of the work is the measurement of probability spaces by introducing a quadratic differential metric into the parameter space of probability distributions. For this purpose, a fi-enthalpy functional is defined on the probability space and then its Hessian along a direction of the space tangent to the space of parameters is considered as a metric in the sense of Riemannian Geometry. The distance between two probability distributions is considered to be the geodetic distance between its parameters induced by the metric. It is important to define such a distance because in drawing parameters from a probability distribution with known form we are actually a curve in a function space density and the precision in determining this function requires the existence of a measure in such a space. It was Rao himself who in 1945 noted the importance of the Differential Geometric approach. He introduced the Riemannian metric into the (differentiable) variety of a statistical model and calculated the geodesic distance between two distributions for various statistical models. These ideas have made a huge impact on the mathematical and statistical community. However, due mainly to the mathematical difficulty in this theory, it remained inert for some time. Recently properties of the Riemannian variety of a statistical model were studied by a large number of researchers independently. Even so, the statistical implications of many concepts in this geometric theory are not yet known. For example, the concept (basic in Riemannian Geometry) of curvature of a model is still devoid of statistical significance. Our work is organized as follows: In the first chapter, we present concepts necessary for the understanding of the subjects studied here. this is done in an attempt to make the work self-sufficient. In the second chapter, we present the functional fi-entropy and its hessian. Then we define the differential metric of the fi-entropy obtained from the Hessian. The chapter is finished with two examples where they are calculated at distances between two elements in their respective spaces. Finally, in the third chapter a study of the divergence measures J, K and L is made with the sole purpose of using their respective hessians to obtain the fi-entropy metric. O trabalho é baseado em um trabalho devido a Jacob Burbea e C. Radhakrishna Rao apresentado na referência. Um dos objetivos do trabalho é a metrização de espaços de probabilidade através da introdução de uma métrica diferencial quadrática no espaço de parâmetros das distribuições de probabilidade. Para esse propósito, um funcional fi-entalpia é definido sobre o espaço de probabilidade e em seguida seu Hessiano ao longo de uma direção do espaço tangente ao espaço de parâmetros é considerado como uma métrica no sentido da Geometria Riemanniana. A distância entre duas distribuições de probabilidade é considerada como sendo a distância geodésica entre seus parâmetros induzida pela métrica. É importante a definição de uma tal distância pois ao estiparmos parâmetros de uma distribuição de probabilidade com forma conhecida estamos na verdade uma curva num espaço de funções densidade e a precisão na determinação desta função requer a existência de uma medida num tal espaço. Foi o próprio Rao que em 1945 notou a importância do enfoque Geométrico Diferencial. Ele introduziu a métrica Riemanniana na variedade (diferenciável) de um modelo estatístico e calculou a distância geodésica entre duas distribuições para vários modelos estatísticos. Essas ideias causaram um enorme impacto na comunidade matemática e estatística. No entanto, devido principalmente às dificuldade matemáticas nessa teoria, ela permaneceu inerte por algum tempo. Recentemente propriedades da variedade Riemanniana de um modelo estatístico foram estudadas por um grande número de pesquisadores independentemente. Mesmo assim, as implicações estatísticas de muitos conceitos nessa teoria geométrica, ainda não são conhecidas. Por exemplo, o conceito (básico em Geometria Riemanniana) de curvatura de um modelo ainda é desprovido de significado estatístico. Nosso trabalho está organizado da seguinte maneira: No primeiro capítulo, apresentamos conceitos necessários para a compreensaõ dos assuntos aqui estudados. isto é feito na tentativa de tornar o trabalho auto-suficiente. No segundo capítulo, apresentamos o funcional fi-entropia e seu hessiano. Em seguida definimos a métrica diferencial da fi-entropia obtida a partir do hessiano. O capítulo é finalizado com dois exemplos onde são calculadas a distâncias entre dois elementos nos seus respectivos espaços. Finalmente, no terceiro capítulo é feito um estudo das medidas de divergência J, K e L com o objetivo único de utilizar seus respectivos hessianos para se obter a métrica da fi-entropia.

With these notes we intend to study the First and Second Formulas of the Variation in a Riemannian manifold as well as to give a concrete application to the case of a surface of the R to the cube. The problem of determining whether a certain surface with a given boundary has the smallest possible area is treated. The work consists of four chapters. The first chapter is a basic exposition of varieties immersed in a Riemannian variety. The concepts and results of Riemannieana Geometry that would be used later were sufficiently treated here. Chapters II and III are demonstrations of the First and Second Formulas of Variation. Chapter IV is an application of these formulas Com estas notas temos o propósito de estudar a Primeira e a Segunda Fórmulas da Variação em uma variedade Riemanniana bem como dar uma aplicação concreta ao caso de uma superfície do R ao cubo. O problema de determinar se uma certa superfície com dada fronteira tem área a menor possível é tratado. O trabalho consiste de quatro capítulos. O primeiro capítulo é uma exposição básica de variedades imersas em uma variedade Riemanniana. Os conceitos e resultados de Geometria Riemannieana que seriam utilizados posteriormente foram aqui suficientemente tratados. Os capítulos II e III são demonstrações da Primeira e da Segunda Fórmulas de Variação. O capítulo IV é uma aplicação destas fórmulas

In the study of hypersurfaces in Riemannian varieties the concept of stiffness plays an important role, namely to classify hypersurfaces less than rigid movements of the ambient space. Our work is divided into three parts. In the first one we fix the notations and describe some basic concepts necessary to the general understanding of the work. In the second part, we find the construction of the Gauss parametrization and we show that a hypersurface has Gauss parameterization, if, if only, it has constant relative nullity. In the third and last we study the theorems of stiffness and among these are the main result mentioned above. No estudo das hipersuperfícies em variedades Riemannianas o conceito de rigidez desempenha importante papel, a saber, o de classificar as hipersuperfícies a menos de movimentos rígidos do espaço ambiente. O nosso trabalho se divide em três partes. Na primeira fixamos as notações e descrevemos alguns conceitos básicos necessários ao entendimento geral do trabalho. Na segunda parte, encontra-se a construção da parametrização de Gauss e mostramos que uma hipersuperfície possui parametrização de Gauss, se, só se, tem nulidade relativa constante. Na terceira e última estudamos os teoremas de rigidez e entre estes encontram-se o resultado principal acima mencionado.

Our purpose in this work will be to prove Radó's theorem in a much more general way, as we will see in paragraph 4 of this monograph. This paper consists of four paragraphs. The first paragraph is an information about the Plateau problem. In the second paragraph we will demonstrate the Principle of Maximal Theorem for quasi-linear partial differential operators. In the third paragraph we will try to prove the Theorem of Existence for Quasi-Linear Partial Differential Operators. And finally, in the fourth paragraph we give a demonstration of Radó's Theorem. Nosso propósito neste trabalho será provar o teorema de Radó de uma maneira bem mais geral, como veremos no parágrafo 4 desta monografia. Este trabalho consiste em quatro parágrafos. O primeiro parágrafo é uma informação sobre o problema de Plateau. No segundo parágrafo faremos uma demonstração do Teorema do Princípio do Máximo para operadores diferenciais parciais quase-lineares. No terceiro parágrafo trataremos de provar o Teorema de Existência para Operadores Diferenciais Parciais Quase-Lineares. E por fim, no quarto parágrafo damos uma demonstração do Teorema de Radó.

We divide this work into two chapters. In Chapter 1, we give the preliminaries about surfaces in R3 and Riemann surfaces without much demonstration since the subject has already been exhaustively presented in several books. Also in chapter 1, we will demonstrate the theorem I. In chapter 2, we present some basic facts about the geometry of surfaces in R4 and because it is a subject not very seen we demonstrate almost everything that is affirmed. Finally, we conclude the chapter with the proof of Theorem II, the main objective of this monograph. Dividimos este trabalho em dois capítulos. No capítulo 1, damos os preliminares sobre superfícies em R3 e superfícies de Riemann sem muitas demonstrações uma vez que o assunto já foi exaustivamente apresentado em vários livros. Ainda no capítulo 1, demonstraremos o teorema I. No capítulo 2, apresentamos alguns fatos básicos sobre a geometria de superfícies em R4 e por tratar-se de um assunto não muito visto demonstramos quase tudo que é afirmado. por último, encerramos o capítulo com a demonstração do teorema II, objetivo principal desta monografia.